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分块矩阵的Krylov子空间方法在特征值计算中的应用

**分块矩阵的Krylov子空间方法在特征值计算中的应用** **题目描述** 考虑大型稀疏矩阵A的特征值计算问题。由于A的规模很大，直接使用QR算法等稠密矩阵方法计算所有特征值成本过高。分块Krylov子空间方法通过构建一组向量（称为块向量）张成的子空间，将原大规模特征值问题投影到一个小规模子空间上求解，从而高效计算矩阵的部分特征值（如最大或最小模特征值）。给定初始块向量X ∈ ℝⁿ×p（p为块大小），该方法通过迭代扩展Krylov子空间𝒦ₖ(A, X) = span{X, AX, A²

2025-11-06 05:42:10

排序算法之：Brick Sort（砖排序）的并行化特性与边界条件处理

**排序算法之：Brick Sort（砖排序）的并行化特性与边界条件处理** **题目描述** Brick Sort（砖排序）是奇偶排序（Odd-Even Sort）的一种变体，其核心思想是通过多轮交替比较相邻元素对来实现排序。在每一轮中，算法会交替处理奇数索引对（如索引1-2、3-4等）和偶数索引对（如索引0-1、2-3等），直到整个数组有序。与奇偶排序不同，砖排序在并行计算中可能表现出更规则的访问模式，适合分析其并行化潜力及边界条件（如空数组、已排序数组）下的行为。 **解题过程**

2025-11-06 05:31:36

LeetCode 990. 等式方程的可满足性

**LeetCode 990. 等式方程的可满足性** **题目描述** 给定一个由字符串方程组成的数组 `equations`，每个方程 `equations[i]` 的长度为 4，采用以下两种形式之一：`"a==b"` 或 `"a!=b"`。这里的 `a` 和 `b` 是小写字母，代表变量。你需要判断这些方程是否能够同时成立。换句话说，就是为所有变量分配一个数字（或更抽象地说，分配一个“值”），使得所有等号方程成立，同时所有不等号方程也成立。如果可以，返回 `true`，否则返回 `

2025-11-06 05:26:21

线性时间序列预测：ARIMA模型的原理与拟合过程

**线性时间序列预测：ARIMA模型的原理与拟合过程** **题目描述** ARIMA（Autoregressive Integrated Moving Average）模型是一种经典的时间序列预测方法，适用于非平稳时间序列。其核心思想是通过差分将非平稳序列转化为平稳序列，再结合自回归（AR）和移动平均（MA）模型进行建模。题目要求：详细解释ARIMA模型的数学结构、差分操作的意义、参数选择方法（如ACF/PACF图分析），以及模型拟合的步骤（包括参数估计与预测）。 --- #

2025-11-06 05:20:54

基于深度学习的图像修复算法：Gated Convolution（门控卷积）

**基于深度学习的图像修复算法：Gated Convolution（门控卷积）** ### 题目描述图像修复（Image Inpainting）旨在填充图像中缺失或损坏的区域，使修复后的内容在视觉上和语义上与周围一致。传统方法依赖纹理合成或扩散模型，但难以处理大面积缺失或复杂结构。Gated Convolution（门控卷积）是一种专为图像修复设计的卷积层，通过可学习的门控机制动态决定哪些特征应被保留或抑制，显著提升修复效果。 --- ### 解题过程 #### 1.

2025-11-06 05:04:52

区间动态规划例题：最长有效括号子序列问题（最大长度）

**区间动态规划例题：最长有效括号子序列问题（最大长度）** **题目描述** 给定一个仅由字符 `'('` 和 `')'` 组成的字符串 `s`，找出其中最长的有效括号子序列的长度。有效括号子序列需满足： 1. 空序列或只包含 `'('` 或 `')'` 的序列不是有效括号序列； 2. 若子序列中每个左括号 `'('` 都能在其右侧找到一个唯一的右括号 `')'` 匹配，且整体匹配顺序合理，则该子序列有效。注意：子序列不要求连续，但需保持原字符串中的相对顺序。例如：

2025-11-06 04:54:18

蒙特卡洛树搜索（MCTS）算法的原理与决策过程

**蒙特卡洛树搜索（MCTS）算法的原理与决策过程** 蒙特卡洛树搜索（MCTS）是一种基于随机模拟的决策树搜索算法，广泛应用于游戏AI（如围棋、象棋）和复杂决策问题。它的核心思想是通过反复模拟随机对局来评估不同行动的潜在价值，逐步构建一棵非对称的搜索树，最终选择最优行动。下面我们分步骤详细讲解其原理与执行过程。 --- ### **1. 算法基本结构** MCTS的搜索树包含两类节点： - **决策节点（Decision Node）**：对应游戏中的某个状态（如棋盘局面）

2025-11-06 04:38:17

蒙特卡洛积分法在计算高维积分时的误差分析与收敛速度

**蒙特卡洛积分法在计算高维积分时的误差分析与收敛速度** **题目描述** 假设我们需要计算一个高维函数 \( f(x_1, x_2, \dots, x_d) \) 在 \( d \) 维超立方体区域 \( [0,1]^d \) 上的积分： \[ I = \int_{[0,1]^d} f(\mathbf{x}) \, d\mathbf{x}. \] 当维度 \( d \) 很大时（例如 \( d \geq 4 \)），传统数值积分方法（如高斯求积或复合梯形法）所需的计算量会随维度

2025-11-06 04:33:00

哈希算法题目：设计一个支持动态扩容的哈希表（使用再哈希策略）

**哈希算法题目：设计一个支持动态扩容的哈希表（使用再哈希策略）** **题目描述** 设计一个哈希表，支持以下操作： - `put(key, value)`: 插入键值对，如果键已存在则更新值 - `get(key)`: 返回键对应的值，如果键不存在返回-1 - `remove(key)`: 删除键值对要求： 1. 使用数组和链地址法解决哈希冲突 2. 当负载因子超过阈值时自动扩容（通常为0.75） 3. 扩容时使用再哈希策略重新分配所有元素 **解题过程** **第一步：理解基础哈

2025-11-06 04:17:05

蒙特卡洛积分法在贝叶斯推断中的后验期望估计

**蒙特卡洛积分法在贝叶斯推断中的后验期望估计** **题目描述** 在贝叶斯推断中，参数θ的后验分布通常难以直接计算其期望（如后验均值），尤其当模型复杂或维度较高时。假设后验分布为\( p(\theta \mid D) \)，目标是计算后验期望\( \mathbb{E}[\theta \mid D] = \int \theta \cdot p(\theta \mid D) \, d\theta \)。由于后验分布可能非标准形式（如涉及复杂似然函数），解析积分不可行。试设计一种基于蒙特卡洛

2025-11-06 04:11:43

基于自注意力机制（Self-Attention）的文本表示学习算法

**基于自注意力机制（Self-Attention）的文本表示学习算法** **题目描述** 在自然语言处理中，如何有效捕捉文本中词与词之间的依赖关系是核心挑战之一。传统循环神经网络（RNN）或卷积神经网络（CNN）在处理长距离依赖时存在局限性（如梯度消失或局部感知）。自注意力机制（Self-Attention）通过计算序列中每个词与其他所有词的关联权重，直接建模全局依赖关系，从而生成更丰富的文本表示。本题目将详解自注意力机制的原理、计算步骤及其在文本表示学习中的应用。 --- **解

2025-11-06 04:06:24

xxx 最小生成树问题（Reverse-Delete算法）

**xxx 最小生成树问题（Reverse-Delete算法）** **题目描述** 给定一个连通无向图 \( G = (V, E) \)，每条边 \( e \in E \) 有一个权重 \( w(e) \)。目标是找到图 \( G \) 的一棵最小生成树（MST），即一个包含所有顶点的连通无环子图，且其边的总权重最小。Reverse-Delete 算法通过逐步删除边来求解MST，其核心思想是：**按权重从大到小的顺序考虑每条边，如果删除某条边后图仍然连通，则删除该边（因为保留它不会减少总

2025-11-06 03:50:23

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