分块矩阵的Krylov子空间方法在特征值计算中的应用 题目描述 考虑大型稀疏矩阵A的特征值计算问题。由于A的规模很大，直接使用QR算法等稠密矩阵方法计算所有特征值成本过高。分块Krylov子空间方法通过构建一组向量（称为块向量）张成的子空间，将原大规模特征值问题投影到一个小规模子空间上求解，从而高效计算矩阵的部分特征值（如最大或最小模特征值）。给定初始块向量X ∈ ℝⁿ×p（p为块大小），该方法通过迭代扩展Krylov子空间𝒦ₖ(A, X) = span{X, AX, A²X, ..., Aᵏ⁻¹X}，并利用投影技术近似特征对。 解题过程 1. 初始化与块向量生成 选择初始块向量X₀ ∈ ℝⁿ×p，要求列满秩（通常随机生成后正交化）。 设置子空间维度上限m（m ≪ n），确保投影问题可解。 目标：构建分块Krylov子空间𝒦ₘ(A, X₀)的一组正交基。 2. 分块Arnoldi过程构建正交基 对X₀进行QR分解：X₀ = Q₁R（Q₁ ∈ ℝⁿ×p正交，R ∈ ℝᵖ×ᵖ上三角）。 迭代步骤（j=1,2,...,m）： a. 计算矩阵与当前块向量的乘积：Z = AQⱼ（Qⱼ为当前基向量块）。 b. 对Z与之前所有基向量块进行正交化（采用块Gram-Schmidt）： \[ H_ {i,j} = Q_ i^T Z \quad (i=1,...,j) \] \[ Z = Z - \sum_ {i=1}^j Q_ i H_ {i,j} \] c. 对Z进行QR分解：Z = Qⱼ₊₁Hⱼ₊₁,ⱼ（Hⱼ₊₁,ⱼ ∈ ℝᵖ×ᵖ为上三角矩阵）。 最终得到正交基矩阵Q = [ Q₁, Q₂, ..., Qₘ ] ∈ ℝⁿ×ᵐᵖ，及块上Hessenberg矩阵H ∈ ℝᵐᵖ×ᵐᵖ。 3. 投影特征值问题 将原问题Aυ = λυ投影到子空间𝒦ₘ(A, X₀)： \[ H = Q^T A Q \] 求解小规模特征值问题Hy = θy（H ∈ ℝᵐᵖ×ᵐᵖ），得到近似特征对(θᵢ, yᵢ)。 还原近似特征向量：υᵢ = Qyᵢ，满足残差‖Aυᵢ - θᵢυᵢ‖较小。 4. 收敛性判断与重启策略 若残差‖Aυᵢ - θᵢυᵢ‖小于容忍度，则接受(θᵢ, υᵢ)为近似特征对。 由于子空间维度m有限，当未收敛时采用隐式重启策略： a. 基于不需要的特征向量构造多项式滤波器，压缩子空间。 b. 保留当前最优近似向量，重新从降维子空间继续扩展。 5. 算法输出 返回收敛的近似特征值θᵢ及对应特征向量υᵢ。 通过调整块大小p和子空间维度m，可平衡计算成本与精度。