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最大流问题（Ford-Fulkerson方法中的容量缩放优化）

**最大流问题（Ford-Fulkerson方法中的容量缩放优化）** **题目描述** 假设你有一个有向图，表示一个流网络。图中有一个源点 \( s \) 和一个汇点 \( t \)，每条边有一个容量 \( c(u, v) \)，表示该边能承载的最大流量。你的目标是找到从源点 \( s \) 到汇点 \( t \) 的最大流量，即最多有多少单位的流量可以从 \( s \) 流向 \( t \)（流量需满足容量限制和流量守恒）。 Ford-Fulkerson方法通过不断寻找增广路径来

2025-10-31 04:39:31

基于DFS的环检测算法

**基于DFS的环检测算法** **题目描述** 给定一个有向图，判断图中是否存在环。如果存在环，请找出图中所有的环。这个问题在图论中非常重要，因为许多应用（如任务调度、依赖关系分析）都要求图是无环的（即一个DAG，有向无环图）。 **解题过程** 环检测的核心思想是追踪当前DFS遍历路径上的节点。如果在遍历过程中，我们遇到了一个已经在当前路径上的节点，那么就发现了一个环。我们将使用深度优先搜索（DFS）和三种颜色标记法来追踪节点的状态： - **白色**：节点尚未被访问。 - **灰

2025-10-31 01:39:47

二分图的最大权匹配（Kuhn-Munkres算法）

**二分图的最大权匹配（Kuhn-Munkres算法）** **题目描述** 给定一个完全二分图 \( G = (X \cup Y, E) \)，其中 \( |X| = |Y| = n \)，每条边 \( (x_i, y_j) \) 有一个权重 \( w_{ij} \geq 0 \)。要求找到一种完美匹配（即每个顶点恰好被匹配一次），使得匹配边的权重之和最大。 **解题过程** Kuhn-Munkres算法（又称匈牙利算法）通过构造顶点标号（Labeling）和等价子图，将最大权匹配

2025-10-31 00:47:04

Johnson算法求稀疏图中所有顶点对最短路径

**Johnson算法求稀疏图中所有顶点对最短路径** **题目描述** 给定一个可能包含负权边但不含负权环的稀疏有向图，要求找到图中所有顶点对之间的最短路径距离。稀疏图是指边的数量|E|远小于顶点数量|V|的平方（即|E| << |V|²）的图。Johnson算法能高效解决这个问题，特别适合稀疏图。 **解题过程** **1. 问题分析** - 我们需要计算所有顶点对(i,j)之间的最短路径距离 - 图可能包含负权边，但没有负权环（否则最短路径无意义） - 稀疏图的特性使得我们需要选择适

2025-10-30 22:08:18

Tarjan算法求无向图的割点（Articulation Points）

**Tarjan算法求无向图的割点（Articulation Points）** **题目描述** 给定一个无向连通图，找出所有的割点（Articulation Points）。割点是指删除该顶点及其关联边后，图不再连通（即连通分量数量增加）的顶点。例如，在计算机网络中，割点可能代表关键节点，其故障会导致网络分裂。 --- **解题过程** Tarjan算法通过深度优先搜索（DFS）遍历图，利用以下关键变量判断割点： - `disc[u]`：顶点`u`在DFS中被访问的时间（发现时

2025-10-30 20:33:10

xxx 最小割的Karger算法

**xxx 最小割的Karger算法** **题目描述**：给定一个无向连通图G=(V,E)，每条边有一个权重（可以视为容量）。最小割问题要求找到一种将顶点集V划分成两个非空子集S和V\S的方法，使得连接S和V\S的边的权重之和（即割的容量）最小。Karger算法是一种简单的随机算法，用于解决此问题。 **解题过程**： 1. **算法核心思想** Karger算法基于一个关键概念：随机边收缩。它通过反复随机选择一条边并将其“收缩”（即合并其两个端点），逐步减少图中的顶点数量，直到

2025-10-30 19:19:09

xxx 最小公共祖先（LCA）问题的Tarjan算法

**xxx 最小公共祖先（LCA）问题的Tarjan算法** **题目描述** 给定一棵有根树（节点数为 \( n \)）和若干查询（每个查询包含两个节点 \( u \) 和 \( v \)），要求快速求出每对节点的最近公共祖先（LCA）。例如，若树为 `1-2-3`（根为1），则 `LCA(2,3)=2`。Tarjan算法通过离线处理（预先收集所有查询）和并查集（Union-Find）优化，在 \( O(n + q \alpha(n)) \) 时间内解决（\( q \) 为查询数，\(

2025-10-30 18:15:27

xxx 最大流问题（FIFO Push-Relabel算法）

**xxx 最大流问题（FIFO Push-Relabel算法）** **题目描述**：给定一个有向图G=(V, E)，其中每条边(u,v)∈E有一个非负容量c(u,v)≥0。指定两个特殊顶点：源点s和汇点t。最大流问题要求从s到t的最大流量，满足容量约束和流量守恒。 **解题过程**： **1. 基本概念介绍** Push-Relabel算法采用"局部"操作来逐步将流量从源点推向汇点。与增广路径方法不同，它维护两个关键数据结构： - 预流(preflow)：允许顶点暂时拥有超额流量(e

2025-10-30 17:23:04

xxx 最小公共祖先（LCA）问题的倍增算法

**xxx 最小公共祖先（LCA）问题的倍增算法** **题目描述** 给定一棵有根树（包含 n 个顶点，根节点已知）和若干次查询。每次查询给出树中的两个顶点 u 和 v，要求找到它们的最近公共祖先（LCA），即深度最大的、同时是 u 和 v 的祖先的节点。请设计一个高效的算法，预处理这棵树，使得每次查询可以在 O(log n) 时间内完成。 **解题过程** 1. **问题分析** - 最近公共祖先（LCA）是树结构中的基本问题，直接遍历的朴素解法（如从 u 和 v 分别

2025-10-30 15:31:28

xxx 最大流问题（Push-Relabel算法）

**xxx 最大流问题（Push-Relabel算法）** **问题描述** Push-Relabel算法是一种求解有向图最大流问题的高效方法。给定一个有向图，其中每条边有一个非负容量，以及源点s和汇点t，目标是找到从s到t的最大流量。与增广路径类算法（如Ford-Fulkerson）不同，Push-Relabel算法通过局部操作（推送流量和重贴标签）逐步优化预流（允许节点暂时超额持有流量），最终得到最大流。 **解题步骤** 1. **初始化** - 设置所有边的流量为0

2025-10-30 15:10:23

xxx 最小生成树的Borůvka算法

**xxx 最小生成树的Borůvka算法** **题目描述** 给定一个连通无向图G=(V, E)，其中每条边e∈E有一个权重w(e)。需要找到一个边的子集T⊆E，使得所有顶点通过T连通，并且总权重Σw(e)最小。这就是最小生成树（MST）问题。Borůvka算法是求解该问题的经典算法之一，特别适合处理边数较多的图。 **解题过程** 1. **算法思想** Borůvka算法采用分治策略，每一轮并行处理所有连通分量（初始时每个顶点是一个分量）。在每轮中，为每个连通分量选

2025-10-30 14:43:55

xxx 最小高度生成树问题

**xxx 最小高度生成树问题** **题目描述**：给定一个连通无向图G=(V,E)，其中V是顶点集，E是边集。图可能带有边权（可以视为无权重，即所有权重为1）。生成树T是G的一个子图，包含所有顶点且是树结构（无环连通）。树的高度定义为从任意选定的根节点到最远叶节点的路径长度（边数）。最小高度生成树问题要求找到G的一棵生成树，使得其高度最小。 **解题过程**： **1. 问题理解** - 目标不是最小化总边权（如最小生成树），而是最小化树的高度。 - 高度取决于根节点的选择：同一棵树

2025-10-30 09:10:33

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