xxx 最大流问题（FIFO Push-Relabel算法） 题目描述 ： 给定一个有向图G=(V, E)，其中每条边(u,v)∈E有一个非负容量c(u,v)≥0。指定两个特殊顶点：源点s和汇点t。最大流问题要求从s到t的最大流量，满足容量约束和流量守恒。 解题过程 ： 1. 基本概念介绍 Push-Relabel算法采用"局部"操作来逐步将流量从源点推向汇点。与增广路径方法不同，它维护两个关键数据结构： 预流(preflow)：允许顶点暂时拥有超额流量(excess flow) 高度标签(height label)：控制流量推送方向 2. 算法核心操作 算法基于两种基本操作： 推送(Push)操作 ： 当顶点u有超额流量且存在边(u,v)满足h(u)=h(v)+1且有余量时，将流量从u推送到v 推送量 = min(超额流量, 边余量) 重标高度(Relabel)操作 ： 当顶点u有超额流量但无法推送时（所有邻接点高度≥u的高度），增加u的高度至min(邻接点高度)+1 3. FIFO队列优化 基本Push-Relabel可能低效，FIFO优化： 维护一个队列保存有超额流量的顶点 按先进先出顺序处理顶点 避免某些顶点被反复处理而其他顶点被"饿死" 4. 算法步骤详解 初始化阶段 ： 设置所有顶点高度h[ u]=0，超额流量e[ u ]=0 设置源点高度h[ s ]=|V|（顶点总数） 从源点s向所有邻接点推送流量：推送量=c(s,v)，更新e[ v ] 将有超额流量的顶点（除s和t）加入队列 主循环 ： while 队列不为空: 从队列头部取出顶点u 尝试推送操作： for 每条边(u,v)： if h[ u] == h[ v ] + 1 且 有余量： 执行推送操作 if v获得超额流量且v≠s,t：将v加入队列尾部 如果u仍有超额流量： 执行重标高度操作 将u重新加入队列尾部 5. 算法正确性分析 高度引理：h[ u] ≤ h[ v ] + 1对于残量网络中的边(u,v)成立 源点高度始终为|V|，汇点高度始终为0 算法终止时，所有顶点超额流量为0，得到最大流 6. 复杂度分析 时间复杂度：O(|V|³) 空间复杂度：O(|V|²) 优于许多增广路径算法，特别适合稠密图 7. 实际应用考虑 实现时需高效维护邻接表结构 可使用间隙启发式(gap heuristic)进一步优化 适合大规模网络流问题