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Dijkstra算法求单源最短路径问题

**Dijkstra算法求单源最短路径问题** **题目描述** 给定一个带权有向图G=(V,E)，其中每条边e∈E都有一个非负权重w(e)≥0，以及一个源顶点s∈V。我们需要找到从源点s到图中所有其他顶点v∈V的最短路径距离。最短路径距离δ(s,v)定义为从s到v的所有路径中，边上权重之和最小的那条路径的权重和。 **解题过程** Dijkstra算法是解决带非负权边的图单源最短路径问题的经典贪心算法。其核心思想是维护一个顶点集合S，该集合包含已经找到最短路径的顶点。算法反复从集合V-S

2025-11-03 21:24:50

Dijkstra算法求单源最短路径问题

**Dijkstra算法求单源最短路径问题** **题目描述** 给定一个带权有向图G=(V,E)，其中每条边e∈E都有一个非负权重w(e)≥0，以及一个源顶点s∈V。我们需要找到从源点s到图中所有其他顶点v∈V的最短路径。最短路径的长度是指路径上所有边的权重之和。目标是计算从s到每个顶点的最短距离（如果可达）。 **解题过程** 1. **基本思想** Dijkstra算法的核心思想是贪心策略。它维护一个集合S，包含已经找到最短路径的顶点。算法反复从未被处理的顶点集合V-S中，选择一个距

2025-11-03 20:58:14

最小直径生成树问题

**最小直径生成树问题** **题目描述** 给定一个无向连通图G=(V, E)，其中每条边具有非负权重。目标是找到图G的一棵生成树T，使得T的直径最小。生成树的直径定义为树中所有顶点对之间的最短路径的最大值，即任意两顶点间距离的最大值。 **解题过程** 1. **问题理解** 最小直径生成树（MDST）问题要求在所有生成树中，选择那棵“最紧凑”的树，即树中距离最远的两个顶点之间的距离（直径）尽可能小。与最小生成树（MST）不同，MDST不关注边权重之和，而是关注拓扑结构

2025-11-03 14:03:16

匈牙利算法求二分图最大匹配

**匈牙利算法求二分图最大匹配** **题目描述** 给定一个二分图G=(X∪Y, E)，其中X和Y是两个不相交的顶点集合，E是边集。二分图最大匹配问题要求找到包含最多边的匹配M⊆E，其中匹配M是边的集合，且M中任意两条边没有公共顶点。 **解题过程** **1. 基本概念理解** - 匹配：边的集合，其中任意两条边不共享顶点 - 匹配边：属于当前匹配的边 - 非匹配边：不属于当前匹配的边 - 饱和点：与匹配边相连的顶点 - 非饱和点：不与任何匹配边相连的顶点 - 增广路径：连接两个非饱和

2025-11-03 13:42:24

有向无环图（DAG）中的最长路径问题

**有向无环图（DAG）中的最长路径问题** **题目描述** 给定一个有向无环图（DAG），每个边有一个权重（可能为正、负或零），要求找到从任意源点到任意终点的最长路径（即路径上所有边权重之和最大的路径）。若图中存在多个连通分量，需考虑所有可能的起点和终点。注意：DAG中无环，因此不存在正权环导致路径无限长的问题，但负权边是允许的。 **解题过程** 1. **问题分析** - DAG的特性允许我们使用拓扑排序来线性化顶点顺序，确保处理顶点时其所有前驱顶点已被处理。

2025-11-03 12:18:15

基于DFS的二分图检测算法

**基于DFS的二分图检测算法** 我将为您讲解如何使用深度优先搜索（DFS）来检测一个图是否为二分图。 **题目描述** 给定一个无向图G=(V,E)，判断该图是否是二分图。二分图是指能够将图中的所有顶点划分为两个不相交的子集U和V，使得图中的每条边都连接U中的一个顶点和V中的一个顶点（即不存在连接同一子集内两个顶点的边）。 **算法思路** 1. 二分图等价于2-可着色图，即可以用两种颜色给所有顶点着色，使得相邻顶点颜色不同 2. 使用DFS对图进行遍历，同时尝试用两种颜色给顶点着色

2025-11-03 08:03:15

最大流问题（Goldberg-Rao算法）

**最大流问题（Goldberg-Rao算法）** **题目描述** Goldberg-Rao算法是一种用于求解有向图最大流问题的高效算法，特别适用于大规模稀疏图。给定一个带源点s和汇点t的有向图，每条边有一个非负容量c(e)，目标是找到从s到t的最大流量。Goldberg-Rao算法通过结合**阻塞流**（Blocking Flow）和**容量缩放**（Capacity Scaling）技术，将时间复杂度优化到O(min{√m, n^{2/3}} · m · log(n²/m) · lo

2025-11-03 05:34:02

最大流问题（Goldberg-Rao算法）

**最大流问题（Goldberg-Rao算法）** **题目描述** Goldberg-Rao算法是一种用于求解有向图最大流问题的高效算法，其时间复杂度为O(V²E log(U))，其中V是顶点数，E是边数，U是最大边容量。该算法结合了Push-Relabel框架和容量缩放思想，通过动态调整流推送的阈值来优化性能。问题要求：给定一个有向图G=(V,E)，源点s，汇点t，以及每条边的容量c(u,v)≥0，求从s到t的最大流值。 **解题过程** 1. **初始化** - 设

2025-11-03 05:23:25

最大流问题（Goldberg-Rao算法）

**最大流问题（Goldberg-Rao算法）** **题目描述** 给定一个有向图，其中每条边有一个非负容量（capacity），以及一个源点（source）和一个汇点（sink），求从源点到汇点的最大流。Goldberg-Rao算法是一种高效的最大流算法，其时间复杂度为O(V²E log(V²/E) log U)，其中U是最大边容量。该算法结合了Push-Relabel的思想和最小割的概念，通过动态调整流和标签（label）来逐步逼近最大流。 **解题过程** 1. **初始化*

2025-11-03 03:58:06

xxx 最小公共祖先（LCA）问题的欧拉序列与RMQ解法

**xxx 最小公共祖先（LCA）问题的欧拉序列与RMQ解法** **题目描述** 给定一棵有根树和若干查询，每个查询要求两个节点的最小公共祖先（LCA），即深度最深的公共祖先。需要高效处理多个查询。 **解题过程** 1. **问题分析** - 朴素解法对每个查询向上回溯会超时（O(n) 每查询）。 - 目标：利用预处理将每次查询优化到 O(1) 时间复杂度。 2. **核心思路** - **步骤1：DFS生成欧拉序列** 从根节点深度优先

2025-11-03 02:17:32

Ford-Fulkerson方法中的DFS实现与Edmonds-Karp算法对比

**Ford-Fulkerson方法中的DFS实现与Edmonds-Karp算法对比** **题目描述** 给定一个有向图G(V,E)，其中每条边e有一个非负容量c(e)。指定源点s和汇点t，求从s到t的最大流。要求对比Ford-Fulkerson方法中使用DFS寻找增广路径的实现，与BFS实现的Edmonds-Karp算法在效率和特性上的差异。 **解题过程** 1. **基本概念回顾** 最大流问题中，我们需要找到从源点s到汇点t的最大流量。Ford-Fulkerson方法的

2025-11-03 02:06:57

xxx 最小公共祖先（LCA）问题的欧拉序列与RMQ解法

**xxx 最小公共祖先（LCA）问题的欧拉序列与RMQ解法** **题目描述** 给定一棵有根树和若干查询，每个查询要求两个节点的最小公共祖先（LCA），即深度最深的公共祖先节点。例如，在一棵以节点1为根的树中，查询(5,6)的LCA可能是节点2。要求高效处理多个查询。 **解题过程** 1. **问题分析** - 直接暴力求LCA的方法（如交替向上跳）在多次查询时效率低（单次O(h)，h为树高）。 - 目标：通过预处理，将LCA问题转化为可快速查询的区间最值问题

2025-11-03 01:18:40

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