有向无环图（DAG）中的最长路径问题

字数 1369 2025-11-03 12:22:39

有向无环图（DAG）中的最长路径问题

题目描述
给定一个有向无环图（DAG），每个边有一个权重（可能为正、负或零），要求找到从任意源点到任意终点的最长路径（即路径上所有边权重之和最大的路径）。若图中存在多个连通分量，需考虑所有可能的起点和终点。注意：DAG中无环，因此不存在正权环导致路径无限长的问题，但负权边是允许的。

解题过程

问题分析
- DAG的特性允许我们使用拓扑排序来线性化顶点顺序，确保处理顶点时其所有前驱顶点已被处理。
- 最长路径问题可通过动态规划（DP）解决：设dist[v]表示从某个起点到顶点v的最长路径长度。初始时，所有dist[v]设为负无穷（表示不可达），起点的dist设为0（若以固定起点计算）。
- 对于每个顶点v，遍历其所有入边或出边（取决于DP方向）。若以拓扑顺序处理顶点，从起点开始沿边更新后继顶点的距离，可保证无后效性。
算法步骤
- 步骤1：拓扑排序
  使用Kahn算法或DFS对DAG进行拓扑排序，得到顶点序列topo_order。
  - Kahn算法：统计每个顶点的入度，将入度为0的顶点加入队列，依次处理并更新邻接顶点的入度。
  - 示例：对于顶点序列A→B→C，拓扑排序结果为[A, B, C]。
- 步骤2：初始化距离数组
  若求全局最长路径（任意起点），初始化dist数组为负无穷（-inf）。若指定起点s，则设dist[s] = 0，其他为-inf。
  - 理由：负无穷确保只有实际可达的路径才会被更新。
- 步骤3：动态规划转移
  按拓扑顺序遍历每个顶点u：
  - 若dist[u]为-inf，说明u不可达，跳过。
  - 遍历u的所有出边(u, v, w)（w为边权重）：
    - 更新dist[v] = max(dist[v], dist[u] + w)。
  - 关键点：由于按拓扑顺序处理，当处理到u时，所有指向u的路径已计算完毕，因此u的dist值已确定。
- 步骤4：获取结果
  若求从起点s到终点t的路径，直接返回dist[t]。若求全局最长路径，遍历所有顶点的dist值取最大值。
示例演示
考虑DAG如下（边权重括号内）：
```
A --(2)→ B --(1)→ D
 \       |        ^
  \-(4)→ C --(3)-/
```
- 拓扑排序：[A, B, C, D]。
- 初始化dist = [-inf, -inf, -inf, -inf]，设起点为A，则dist[A] = 0。
- 处理A：更新B（dist[B]=max(-inf,0+2)=2），更新C（dist[C]=max(-inf,0+4)=4）。
- 处理B：更新D（dist[D]=max(-inf,2+1)=3）。
- 处理C：更新D（dist[D]=max(3,4+3)=7）。
- 处理D：无出边。
- 结果：从A到D的最长路径为A→C→D，长度为7。
复杂度分析
- 拓扑排序时间复杂度为O(V+E)。
- DP过程遍历所有边一次，复杂度O(V+E)。
- 总复杂度为O(V+E)，优于一般图（含环）最长路径的NP难问题。
边界情况
- 若图中无路径（如不连通且起点无法到终点），返回负无穷。
- 所有边权重为负时，最长路径可能为0（起点自身）。

总结
通过拓扑排序结合动态规划，可高效解决DAG最长路径问题，核心是利用DAG的无环特性确保DP顺序的正确性。

有向无环图（DAG）中的最长路径问题题目描述给定一个有向无环图（DAG），每个边有一个权重（可能为正、负或零），要求找到从任意源点到任意终点的最长路径（即路径上所有边权重之和最大的路径）。若图中存在多个连通分量，需考虑所有可能的起点和终点。注意：DAG中无环，因此不存在正权环导致路径无限长的问题，但负权边是允许的。解题过程问题分析 DAG的特性允许我们使用拓扑排序来线性化顶点顺序，确保处理顶点时其所有前驱顶点已被处理。最长路径问题可通过动态规划（DP）解决：设 dist[v] 表示从某个起点到顶点 v 的最长路径长度。初始时，所有 dist[v] 设为负无穷（表示不可达），起点的 dist 设为0（若以固定起点计算）。对于每个顶点 v ，遍历其所有入边或出边（取决于DP方向）。若以拓扑顺序处理顶点，从起点开始沿边更新后继顶点的距离，可保证无后效性。算法步骤步骤1：拓扑排序使用Kahn算法或DFS对DAG进行拓扑排序，得到顶点序列 topo_order 。 Kahn算法：统计每个顶点的入度，将入度为0的顶点加入队列，依次处理并更新邻接顶点的入度。示例：对于顶点序列 A→B→C ，拓扑排序结果为 [A, B, C] 。步骤2：初始化距离数组若求全局最长路径（任意起点），初始化 dist 数组为负无穷（ -inf ）。若指定起点 s ，则设 dist[s] = 0 ，其他为 -inf 。理由：负无穷确保只有实际可达的路径才会被更新。步骤3：动态规划转移按拓扑顺序遍历每个顶点 u ：若 dist[u] 为 -inf ，说明 u 不可达，跳过。遍历 u 的所有出边 (u, v, w) （ w 为边权重）：更新 dist[v] = max(dist[v], dist[u] + w) 。关键点：由于按拓扑顺序处理，当处理到 u 时，所有指向 u 的路径已计算完毕，因此 u 的 dist 值已确定。步骤4：获取结果若求从起点 s 到终点 t 的路径，直接返回 dist[t] 。若求全局最长路径，遍历所有顶点的 dist 值取最大值。示例演示考虑DAG如下（边权重括号内）：拓扑排序： [A, B, C, D] 。初始化 dist = [-inf, -inf, -inf, -inf] ，设起点为A，则 dist[A] = 0 。处理A：更新B（ dist[B]=max(-inf,0+2)=2 ），更新C（ dist[C]=max(-inf,0+4)=4 ）。处理B：更新D（ dist[D]=max(-inf,2+1)=3 ）。处理C：更新D（ dist[D]=max(3,4+3)=7 ）。处理D：无出边。结果：从A到D的最长路径为A→C→D，长度为7。复杂度分析拓扑排序时间复杂度为O(V+E)。 DP过程遍历所有边一次，复杂度O(V+E)。总复杂度为O(V+E)，优于一般图（含环）最长路径的NP难问题。边界情况若图中无路径（如不连通且起点无法到终点），返回负无穷。所有边权重为负时，最长路径可能为0（起点自身）。总结通过拓扑排序结合动态规划，可高效解决DAG最长路径问题，核心是利用DAG的无环特性确保DP顺序的正确性。