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Bellman-Ford算法检测负权环

**Bellman-Ford算法检测负权环** **题目描述** 给定一个带权有向图，其中边权可以是负数。要求检测图中是否存在从源点s可达的负权环（即环上所有边的权重之和为负数的环）。如果存在这样的环，算法应该能够识别出来。 **解题过程** **1. 问题理解** 负权环是指图中一个环，其所有边的权重之和为负数。这样的环在最短路径问题中会造成严重问题，因为可以无限次绕行该环来不断减小路径长度，导致不存在有限的最短路径。 Bellman-Ford算法不仅可以计算单源最短路径，还能检测从源

2025-11-05 11:20:19

xxx 图同构问题（Weisfeiler-Lehman算法）

**xxx 图同构问题（Weisfeiler-Lehman算法）** **题目描述** 图同构问题是指判断两个给定的图是否在结构上完全相同，即是否存在一个顶点的一一映射，使得两个图的边关系完全一致。这是一个经典的未解问题（尚未确定属于P还是NP完全），但实践中常用启发式算法进行判断。Weisfeiler-Lehman（WL）算法是一种有效的图同构测试方法，尤其适用于某些类型的图。 **解题过程** 1. **问题理解** - 输入：两个无向图 \( G_1 = (V_1,

2025-11-05 06:02:48

图论中的最小割问题（Karger算法）

**图论中的最小割问题（Karger算法）** **题目描述** 给定一个无向连通图 \( G = (V, E) \)，每条边可能带有权重（权重最小割问题）或无权（默认边权为1）。最小割（Minimum Cut）的目标是找到一种划分，将顶点集 \( V \) 分成两个非空子集 \( S \) 和 \( T \)，使得连接 \( S \) 和 \( T \) 的边的权重之和最小。Karger算法是一种基于随机化的算法，特别适用于解决无权图的最小割问题，并以高概率返回正确结果。 --- *

2025-11-05 02:39:21

拓扑排序算法

**拓扑排序算法** **题目描述** 给定一个有向无环图（DAG），将所有顶点排列成一个线性序列，使得对于图中任意一条有向边 (u, v)，在序列中顶点 u 都出现在顶点 v 的前面。这种顶点序列称为拓扑排序。请设计算法实现拓扑排序。 **解题过程** 拓扑排序的核心思想是基于顶点的入度（指向该顶点的边的数量）来逐步处理。我们将从入度为0的顶点开始，这些顶点不依赖于任何其他顶点，可以安全地放在序列的开头。 **步骤1：理解基本概念** - 入度：指向某个顶点的边的数量 - 关键观察：D

2025-11-04 23:18:03

强连通分量（Tarjan算法）

**强连通分量（Tarjan算法）** **题目描述** 给定一个有向图，找出图中所有的强连通分量（Strongly Connected Components, SCC）。强连通分量是指一个最大的子图，其中任意两个顶点都互相可达。Tarjan算法是一种基于深度优先搜索（DFS）的高效算法，能在O(V+E)时间内解决问题，其中V是顶点数，E是边数。 **解题过程** 1. **核心思想** Tarjan算法通过一次DFS遍历，利用两个关键数组`disc`（发现时间）和`low

2025-11-04 21:21:50

xxx 最小割的Stoer-Wagner算法

**xxx 最小割的Stoer-Wagner算法** **题目描述** 给定一个无向带权图G=(V,E)，其中每条边有一个非负权重。图的最小割是指将顶点集V划分成两个非空子集S和V\S，使得连接S和V\S的所有边的权重之和最小。这个权重和称为割的容量。Stoer-Wagner算法用于在O(|V|^3)时间复杂度内求解无向图的最小割问题。 **解题过程** 1. **问题理解** - 最小割问题与最大流问题密切相关（根据最大流最小割定理），但在无向图中可以直接求解。 - 目标：找

2025-11-04 14:00:31

Tarjan算法求有向图的强连通分量

**Tarjan算法求有向图的强连通分量** **题目描述** 给定一个有向图 \( G = (V, E) \)，要求找出图的所有强连通分量（Strongly Connected Components, SCC）。强连通分量是图的一个极大子图，其中任意两个顶点 \( u \) 和 \( v \) 均相互可达（即存在从 \( u \) 到 \( v \) 和从 \( v \) 到 \( u \) 的路径）。例如，社交网络中的紧密社群或代码中的循环依赖检测均需此算法。 --- **解题过程

2025-11-04 10:22:21

二分图最大匹配的匈牙利算法

**二分图最大匹配的匈牙利算法** **题目描述** 给定一个二分图G=(X∪Y, E)，其中X和Y是两个不相交的顶点集合，E是连接X和Y的边集。二分图最大匹配问题要求找到包含最多边的匹配M⊆E，使得M中任意两条边都不共享公共顶点。 **解题过程** **1. 基本概念理解** - 匹配：边的集合，其中任意两条边没有公共顶点 - 最大匹配：包含边数最多的匹配 - 增广路径：从一个未匹配点出发，交替经过匹配边和非匹配边，最终到达另一个未匹配点的路径 **2. 算法核心思想** 匈牙利算法基

2025-11-04 10:00:40

最大二分匹配的 Hopcroft-Karp 算法

**最大二分匹配的 Hopcroft-Karp 算法** **题目描述** 给定一个二分图 \( G = (U \cup V, E) \)，其中 \( U \) 和 \( V \) 是两个不相交的顶点集合，\( E \) 是连接 \( U \) 和 \( V \) 的边集。目标是找到该二分图的**最大匹配**，即选择尽可能多的边，使得任意两条边没有公共顶点。Hopcroft-Kop 算法通过多阶段广度优先搜索（BFS）和深度优先搜索（DFS）来高效求解该问题，时间复杂度为 \( O(\sq

2025-11-04 09:02:18

xxx 最小割的 Gomory-Hu 树算法

**xxx 最小割的 Gomory-Hu 树算法** **题目描述** 给定一个无向连通图 \( G = (V, E) \)，每条边有一个非负容量（权重）。Gomory-Hu 树（又称割树）是一种数据结构，它能高效地表示图中所有顶点对之间的最小割值。具体来说，Gomory-Hu 树是一棵带权树 \( T = (V, E_T) \)，使得对于任意两个顶点 \( s \) 和 \( t \)，\( T \) 中 \( s \) 到 \( t \) 路径上的最小边权等于原图中 \( s \) 和

2025-11-04 07:42:33

图论中的广度优先搜索（BFS）算法

**图论中的广度优先搜索（BFS）算法** **题目描述** 给定一个无向图（或有向图）和一个起始顶点 \( s \)，要求使用广度优先搜索（BFS）算法遍历图，并计算从 \( s \) 到所有其他顶点的最短路径（假设边权均为 1）。BFS 的核心思想是按“层次”逐层访问顶点，确保先访问距离 \( s \) 最近的顶点。 --- **解题过程** **1. 算法核心思想** BFS 通过队列（FIFO 结构）实现层次遍历。从起点 \( s \) 开始，先访问所有与 \( s

2025-11-04 07:31:44

图论中的最小割树（Gomory-Hu Tree）算法

**图论中的最小割树（Gomory-Hu Tree）算法** **题目描述** 最小割树是一种表示无向带权图（边权代表容量）中所有顶点对之间最小割的树结构。树中每条边对应一个权值（即最小割值），且满足以下性质：对于图中任意两个顶点 \(s\) 和 \(t\)，它们在树路径上的最小边权等于原图中 \(s\) 和 \(t\) 之间的最小割值。Gomory-Hu 算法通过递归构造此树，将图中所有顶点对的最小割信息压缩到一棵树中。 --- **解题过程** **1. 基础概念回顾**

2025-11-04 04:14:28

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