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xxx 图着色问题（贪心算法）

**xxx 图着色问题（贪心算法）** 图着色问题是一个经典的图论问题，其目标是为图中的每个顶点分配一种颜色，使得任何两个相邻的顶点颜色不同，同时使用的颜色总数尽可能少。这个问题是NP-hard的，但贪心算法提供了一种简单且高效的近似解法。 **题目描述** 给定一个无向图 \( G = (V, E) \)，其中 \( V \) 是顶点集合，\( E \) 是边集合。要求使用贪心算法对图进行着色，使得相邻顶点颜色不同，并尽量最小化颜色数量。 **解题过程** 贪心算法的核心思想是：

2025-11-06 06:08:58

xxx 最小生成树问题（Reverse-Delete算法）

**xxx 最小生成树问题（Reverse-Delete算法）** **题目描述** 给定一个连通无向图 \( G = (V, E) \)，每条边 \( e \in E \) 有一个权重 \( w(e) \)。目标是找到图 \( G \) 的一棵最小生成树（MST），即一个包含所有顶点的连通无环子图，且其边的总权重最小。Reverse-Delete 算法通过逐步删除边来求解MST，其核心思想是：**按权重从大到小的顺序考虑每条边，如果删除某条边后图仍然连通，则删除该边（因为保留它不会减少总

2025-11-06 03:50:23

xxx 最小费用最大流问题（Successive Shortest Path with Potentials 算法）

**xxx 最小费用最大流问题（Successive Shortest Path with Potentials 算法）** **题目描述** 给定一个带权有向图 \( G = (V, E) \)，每条边 \( (u, v) \) 有容量 \( c(u, v) > 0 \) 和单位流量的费用 \( a(u, v) \)。图中包含源点 \( s \) 和汇点 \( t \)。目标是找到从 \( s \) 到 \( t \) 的最大流，且总费用最小（总费用定义为所有边上的流量乘以单位费用之和）

2025-11-06 01:15:10

寻找图中的桥（Bridges）问题

**寻找图中的桥（Bridges）问题** **题目描述** 给定一个无向连通图，找出图中所有的桥（也称为割边）。桥是指这样的一条边：如果移除这条边，图会被分割成两个或多个连通分量，导致图的连通性被破坏。例如，在下图中，边 (1,2) 和 (2,3) 可能是桥（具体取决于图的结构）。要求设计一个高效的算法，列出所有桥。 **解题过程** 1. **问题分析** - 桥的检测需要判断移除一条边后图的连通性是否改变。暴力方法是依次删除每条边，然后通过DFS或BFS检查连通分量是

2025-11-05 20:49:35

xxx 最大流问题（FIFO Push-Relabel 算法）

**xxx 最大流问题（FIFO Push-Relabel 算法）** **题目描述** 给定一个有向图 \( G = (V, E) \)，其中每条边 \( (u, v) \in E \) 有一个非负容量 \( c(u, v) \geq 0 \)。指定一个源点 \( s \) 和一个汇点 \( t \)，最大流问题要求从 \( s \) 到 \( t \) 的最大流量。FIFO Push-Relabel 算法是 Push-Relabel 算法的一种高效实现，它使用先进先出（FIFO）队列管

2025-11-05 19:35:28

xxx 最大流问题（FIFO Push-Relabel 算法）

**xxx 最大流问题（FIFO Push-Relabel 算法）** **题目描述** 给定一个有向图 \( G = (V, E) \)，每条边 \( (u, v) \in E \) 有一个非负容量 \( c(u, v) \geq 0 \)。图中有一个源点 \( s \) 和一个汇点 \( t \)。最大流问题的目标是找到从 \( s \) 到 \( t \) 的最大流量，使得每条边上的流量不超过其容量，且除 \( s \) 和 \( t \) 外，每个顶点的流入流量等于流出流量（流量守

2025-11-05 17:12:16

图论中的最小顶点覆盖问题（近似算法）

**图论中的最小顶点覆盖问题（近似算法）** **问题描述** 最小顶点覆盖问题是指：给定一个无向图G=(V,E)，我们需要找到一个最小的顶点集合S⊆V，使得图中每条边至少有一个端点在S中。换句话说，这个顶点集合要"覆盖"图中所有的边。这是一个经典的NP难问题，意味着在多项式时间内找到精确解是困难的。因此，在实际应用中我们常常使用近似算法来寻找一个接近最优解的顶点覆盖。 **解题思路** 我们将使用一个简单的贪心算法来获得一个近似比为2的顶点覆盖。这个算法的核心思想是：不断选择一条边，将

2025-11-05 16:29:27

最大流问题（Capacity Scaling 优化）

**最大流问题（Capacity Scaling 优化）** 题目描述：给定一个有向图G=(V,E)，其中每条边(u,v)∈E有一个非负容量c(u,v)≥0。指定源点s和汇点t。Capacity Scaling优化是一种改进的Ford-Fulkerson方法，通过逐步处理容量值较大的边来减少增广路径的寻找次数。解题过程： 1. **基本思想** Capacity Scaling的核心思想是"按位处理"。我们不是一次性地寻找所有可能的增广路径，而是分阶段进行。在每个阶段，我们只考虑容

2025-11-05 16:13:30

xxx 最大流问题（Relabel-to-Front 算法）

**xxx 最大流问题（Relabel-to-Front 算法）** **题目描述** 给定一个有向图，其中每条边有一个非负容量（capacity），以及一个源点（source）和一个汇点（sink），求从源点到汇点的最大流量。Relabel-to-Front 算法是 Push-Relabel 算法的一种高效实现，通过维护一个顶点列表来优化操作顺序，时间复杂度为 O(V³)。 **解题过程** 1. **基本概念** - 预流（Preflow）：允许顶点的流入量暂时大于流出

2025-11-05 15:19:35

有向无环图（DAG）中的单源最短路径问题

**有向无环图（DAG）中的单源最短路径问题** **题目描述** 给定一个有向无环图（DAG）和一个源顶点s，图中每条边都有一个权重（可能是负数），要求找出从源顶点s到图中所有其他顶点的最短路径。如果从s无法到达某个顶点，则报告该情况。 **关键特性** 由于图是有向无环的，我们可以利用其拓扑排序的特性来高效解决最短路径问题。与Dijkstra算法（不能处理负权边）和Bellman-Ford算法（时间复杂度较高）相比，基于拓扑排序的方法能在O(V+E)时间内解决问题，并且能够处理负权边。

2025-11-05 14:47:26

xxx 最小生成树问题（Jarník-Prim算法）

**xxx 最小生成树问题（Jarník-Prim算法）** **题目描述** 给定一个带权无向连通图 G=(V, E)，其中每条边 (u, v) 有一个非负权重 w(u, v)。目标是找到一个边的子集 T ⊆ E，使得这些边连接所有顶点且不形成环（构成一棵生成树），并且所有边的权重之和最小。这样的生成树称为最小生成树（MST）。Jarník-Prim算法通过逐步扩展一棵子树来构建MST。 --- **解题过程** 1. **算法核心思想** Jarník-Prim算法属

2025-11-05 14:15:05

二分图最大匹配的匈牙利算法

**二分图最大匹配的匈牙利算法** 题目描述：给定一个二分图，包含两个不相交的顶点集U和V，以及连接U和V的边集E。二分图最大匹配问题要求找到最大的边集合M⊆E，使得M中任意两条边都不共享公共顶点。解题过程： 1. 基本概念理解 - 匹配：边的集合，其中任意两条边不共享顶点 - 最大匹配：包含边数最多的匹配 - 增广路径：从未匹配点出发，交替经过匹配边和非匹配边，最终到达另一个未匹配点的路径 - 关键定理：一个匹配是最大匹配当且仅当不存在增广路径 2. 算法核心思想匈牙利算法通过不断

2025-11-05 13:59:12

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