xxx 最小费用最大流问题（Successive Shortest Path with Potentials 算法）
字数 2173 2025-11-06 12:40:14

xxx 最小费用最大流问题（Successive Shortest Path with Potentials 算法）

题目描述
给定一个带权有向图 \(G = (V, E)\)，每条边 \((u, v)\) 有容量 \(c(u, v) > 0\) 和单位流量的费用 \(a(u, v)\)。图中包含源点 \(s\) 和汇点 \(t\)。目标是找到从 \(s\) 到 \(t\) 的最大流，且总费用最小（总费用定义为所有边上的流量乘以单位费用之和）。

解题过程

  1. 问题分析

    • 在最大流的基础上增加费用最小化的目标，需同时优化流量和费用。
    • 核心思路：在残余网络中反复寻找从 \(s\) 到 \(t\) 的最短路径（按费用计算），并沿该路径推送尽可能多的流量，逐步逼近最小费用最大流。

  2. 基础算法：Successive Shortest Path (SSP)

    • 步骤1：初始化流量 \(f(u, v) = 0\)，残余容量 \(r(u, v) = c(u, v)\)。
    • 步骤2：在残余网络 \(G_f\) 中，边 \((u, v)\) 的权重为：
      • 若原边有剩余容量（\(r(u, v) > 0\)），权重为 \(a(u, v)\)；
      • 若反向边有流量（\(f(v, u) > 0\)），则添加反向边 \((v, u)\)，权重为 \(-a(u, v)\)。
    • 步骤3：用 Bellman-Ford 算法计算从 \(s\) 到所有顶点的最短路径（按费用），避免负权环的影响。
    • 步骤4：若存在从 \(s\) 到 \(t\) 的路径，则沿该路径推送最大可能流量（路径上最小残余容量），更新流量和残余网络。
    • 步骤5：重复步骤2-4，直到无法从 \(s\) 到达 \(t\)。

  3. 优化：引入势能函数（Potentials）

    • 问题：残余网络中可能出现负权边，直接使用 Dijkstra 算法会失效。
    • 解决方案：通过势能函数 \(p(v)\) 调整边权，使所有边权非负。
      • 势能函数定义：对于任意边 \((u, v)\)，满足 \(a(u, v) + p(u) - p(v) \geq 0\)。
      • 初始势能：通过 Bellman-Ford 计算从 \(s\) 到各点的最短路径距离 \(d(v)\)，令 \(p(v) = d(v)\)。
    • 调整边权：将边 \((u, v)\) 的权重改为 \(a_p(u, v) = a(u, v) + p(u) - p(v)\)。
    • 性质：调整后所有边权非负，且路径费用差不变（仅整体偏移一个常数），因此最短路径保持不变。

  4. 算法步骤（SSP with Potentials）

    • 初始化：
      1. 设置流量 \(f = 0\)，势能 \(p(v) = 0\)（或通过 Bellman-Ford 初始化）。
      2. 在残余网络 \(G_f\) 中，若存在负权边，用 Bellman-Ford 计算初始 \(p(v)\)。
    • 循环直到无法增广：
      1. 根据当前势能 \(p\)，构建调整权重后的残余网络 \(G_f'\)（边权为 \(a_p\)）。
      2. 在 \(G_f'\) 上运行 Dijkstra 算法，求从 \(s\) 到 \(t\) 的最短路径 \(P\)。
      3. 若路径不存在，终止算法；否则沿 \(P\) 推送流量 \(\delta = \min\{ r(u, v) \mid (u, v) \in P \}\)。
      4. 更新流量和残余容量：
        • 对于正向边：\(f(u, v) \leftarrow f(u, v) + \delta\)，\(r(u, v) \leftarrow r(u, v) - \delta\)。
        • 对于反向边：\(r(v, u) \leftarrow r(v, u) + \delta\)。
      5. 更新势能：\(p(v) \leftarrow p(v) + d(v)\)，其中 \(d(v)\) 是本次 Dijkstra 计算的最短距离。

  5. 正确性关键

    • 势能更新确保调整后的边权始终非负，允许使用高效的 Dijkstra 算法。
    • 每次增广的路径是当前残余网络中费用最小的路径，保证最终解是最优的。

  6. 复杂度分析

    • 使用 Bellman-Ford 初始化：\(O(VE)\)。
    • 每次增广使用 Dijkstra：若用二叉堆，为 \(O(E \log V)\)。
    • 最多增广 \(O(\text{最大流值})\) 次，总复杂度为 \(O(F \cdot E \log V)\)，其中 \(F\) 是最大流值。

示例说明
假设一个简单网络：边 \((s, u)\) 容量 2、费用 1；边 \((u, t)\) 容量 2、费用 1；边 \((s, t)\) 容量 1、费用 3。

  • 初始势能 \(p = 0\)，第一次 Dijkstra 找到路径 \(s \to u \to t\)（费用 2），推送流量 2，总费用 4。
  • 残余网络中边 \((s, t)\) 费用 3 仍较高，算法终止，得到最小费用最大流。
xxx 最小费用最大流问题（Successive Shortest Path with Potentials 算法） 题目描述 给定一个带权有向图 \( G = (V, E) \)，每条边 \( (u, v) \) 有容量 \( c(u, v) > 0 \) 和单位流量的费用 \( a(u, v) \)。图中包含源点 \( s \) 和汇点 \( t \)。目标是找到从 \( s \) 到 \( t \) 的最大流，且总费用最小（总费用定义为所有边上的流量乘以单位费用之和）。 解题过程 问题分析 在最大流的基础上增加费用最小化的目标，需同时优化流量和费用。 核心思路：在残余网络中反复寻找从 \( s \) 到 \( t \) 的最短路径（按费用计算），并沿该路径推送尽可能多的流量，逐步逼近最小费用最大流。 基础算法：Successive Shortest Path (SSP) 步骤1 ：初始化流量 \( f(u, v) = 0 \)，残余容量 \( r(u, v) = c(u, v) \)。 步骤2 ：在残余网络 \( G_ f \) 中，边 \( (u, v) \) 的权重为： 若原边有剩余容量（\( r(u, v) > 0 \)），权重为 \( a(u, v) \)； 若反向边有流量（\( f(v, u) > 0 \)），则添加反向边 \( (v, u) \)，权重为 \( -a(u, v) \)。 步骤3 ：用 Bellman-Ford 算法计算从 \( s \) 到所有顶点的最短路径（按费用），避免负权环的影响。 步骤4 ：若存在从 \( s \) 到 \( t \) 的路径，则沿该路径推送最大可能流量（路径上最小残余容量），更新流量和残余网络。 步骤5 ：重复步骤2-4，直到无法从 \( s \) 到达 \( t \)。 优化：引入势能函数（Potentials） 问题 ：残余网络中可能出现负权边，直接使用 Dijkstra 算法会失效。 解决方案 ：通过势能函数 \( p(v) \) 调整边权，使所有边权非负。 势能函数定义：对于任意边 \( (u, v) \)，满足 \( a(u, v) + p(u) - p(v) \geq 0 \)。 初始势能：通过 Bellman-Ford 计算从 \( s \) 到各点的最短路径距离 \( d(v) \)，令 \( p(v) = d(v) \)。 调整边权 ：将边 \( (u, v) \) 的权重改为 \( a_ p(u, v) = a(u, v) + p(u) - p(v) \)。 性质 ：调整后所有边权非负，且路径费用差不变（仅整体偏移一个常数），因此最短路径保持不变。 算法步骤（SSP with Potentials） 初始化 ： 设置流量 \( f = 0 \)，势能 \( p(v) = 0 \)（或通过 Bellman-Ford 初始化）。 在残余网络 \( G_ f \) 中，若存在负权边，用 Bellman-Ford 计算初始 \( p(v) \)。 循环直到无法增广 ： 根据当前势能 \( p \)，构建调整权重后的残余网络 \( G_ f' \)（边权为 \( a_ p \)）。 在 \( G_ f' \) 上运行 Dijkstra 算法，求从 \( s \) 到 \( t \) 的最短路径 \( P \)。 若路径不存在，终止算法；否则沿 \( P \) 推送流量 \( \delta = \min\{ r(u, v) \mid (u, v) \in P \} \)。 更新流量和残余容量： 对于正向边：\( f(u, v) \leftarrow f(u, v) + \delta \)，\( r(u, v) \leftarrow r(u, v) - \delta \)。 对于反向边：\( r(v, u) \leftarrow r(v, u) + \delta \)。 更新势能：\( p(v) \leftarrow p(v) + d(v) \)，其中 \( d(v) \) 是本次 Dijkstra 计算的最短距离。 正确性关键 势能更新确保调整后的边权始终非负，允许使用高效的 Dijkstra 算法。 每次增广的路径是当前残余网络中费用最小的路径，保证最终解是最优的。 复杂度分析 使用 Bellman-Ford 初始化：\( O(VE) \)。 每次增广使用 Dijkstra：若用二叉堆，为 \( O(E \log V) \)。 最多增广 \( O(\text{最大流值}) \) 次，总复杂度为 \( O(F \cdot E \log V) \)，其中 \( F \) 是最大流值。 示例说明 假设一个简单网络：边 \( (s, u) \) 容量 2、费用 1；边 \( (u, t) \) 容量 2、费用 1；边 \( (s, t) \) 容量 1、费用 3。 初始势能 \( p = 0 \)，第一次 Dijkstra 找到路径 \( s \to u \to t \)（费用 2），推送流量 2，总费用 4。 残余网络中边 \( (s, t) \) 费用 3 仍较高，算法终止，得到最小费用最大流。