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xxx 最小高度树（Minimum Height Trees）问题

**xxx 最小高度树（Minimum Height Trees）问题** **问题描述** 给定一个具有 n 个节点的树（即无环连通无向图），以及一个从 0 到 n-1 的节点编号列表。树可以以任意节点为根形成有根树，此时从根到叶子的最长路径长度称为树的高度。最小高度树（MHT）是指所有可能的根节点中，树高度最小的那些根节点。要求找出所有这样的根节点。 **关键观察** 1. 树的中心性：最小高度树的根节点实际是树的“中心”，即图中最长路径（直径）的中点。 2. 拓扑排序思路：

2025-11-15 07:54:51

xxx 无向图的双连通分量（Biconnected Components）

**xxx 无向图的双连通分量（Biconnected Components）** **题目描述** 在无向图中，双连通分量（Biconnected Components）是极大的双连通子图。双连通性意味着图中任意两个顶点之间存在至少两条顶点不相交的路径（即没有割点）。本问题要求找出无向图中所有的双连通分量，并识别图中的割点（Articulation Points）。 **解题过程** 1. **核心概念理解** - **割点**：移除该顶点后，图的连通分量数增加。

2025-11-15 02:06:30

图同构问题（Weisfeiler-Lehman算法）

**图同构问题（Weisfeiler-Lehman算法）** **问题描述** 图同构问题（Graph Isomorphism）是判断两个无向图是否在顶点重标号意义下具有完全相同的结构。形式化地说，给定两个图 \( G_1 = (V_1, E_1) \) 和 \( G_2 = (V_2, E_2) \)，需要判断是否存在一个双射 \( f: V_1 \to V_2 \)，使得对任意顶点对 \( (u, v) \in V_1 \)，边 \( (u, v) \in E_1 \) 当且仅当边 \

2025-11-14 20:59:22

xxx 最小生成树的 Reverse-Delete 算法

**xxx 最小生成树的 Reverse-Delete 算法** **题目描述** 给定一个连通无向图 \( G = (V, E) \)，每条边 \( e \in E \) 有一个权重 \( w(e) \)。目标是找到图 \( G \) 的一棵最小生成树（MST），即一个包含所有顶点的连通无环子图，且其所有边的权重之和最小。Reverse-Delete 算法是一种基于“删除边”的策略来求解最小生成树的方法。 **解题过程** 1. **算法核心思想** Reverse-De

2025-11-14 17:16:29

二分图检测（BFS/DFS）

**二分图检测（BFS/DFS）** **题目描述** 给定一个无向图，判断它是否是一个二分图。二分图是指能够将图中的所有顶点划分为两个不相交的子集，使得每条边的两个顶点分别属于这两个子集。换句话说，图中不存在奇数长度的环。 **解题过程** 二分图检测的核心思想是通过图着色（例如用两种颜色标记顶点），使得任意相邻顶点颜色不同。如果能够成功着色，则该图是二分图；否则不是。 **步骤详解** 1. **初始化** - 创建一个颜色数组 `color[]`，初始时所有顶点

2025-11-14 15:09:25

旅行商问题（动态规划解法）

**旅行商问题（动态规划解法）** 题目描述：给定一系列城市和每对城市之间的距离，旅行商问题要求找到一条最短的可能路径，使得旅行商访问每个城市恰好一次，并最终回到起点城市。这是一个经典的NP-hard问题，在组合优化和图论中具有重要地位。解题过程： 1. 问题建模首先将问题建模为完全图G=(V,E)，其中： - V是城市集合，|V|=n - E是连接所有城市的边集合 - 每条边(i,j)有权重w(i,j)表示城市i到j的距离 2. 动态规划状态定义我们定义dp[mask][i]为

2025-11-14 13:18:26

最小割的 Gomory-Hu 树算法

**最小割的 Gomory-Hu 树算法** **题目描述** 给定一个无向连通图 \( G = (V, E) \)，每条边有一个非负容量（权重），要求构建一棵 Gomory-Hu 树。这棵树具有以下性质： 1. 树的节点与原图节点相同。 2. 对于树中任意一条边 \((u, v)\)，移除它后树分成两个连通分量 \( S \) 和 \( V \setminus S \)，此时原图中 \( S \) 和 \( V \setminus S \) 之间的最小割容量等于树上该边的容量。

2025-11-14 06:48:21

最大流问题（Dinic算法）

**最大流问题（Dinic算法）** **题目描述** 给定一个有向图G=(V,E)，其中每条边(u,v)∈E有一个非负容量c(u,v)≥0。指定源点s和汇点t，求从s到t的最大流量。Dinic算法是一种高效的最大流算法，特别适合稠密图，时间复杂度为O(V²E)。 **算法步骤详解** **1. 基本概念建立** - 剩余网络：对于当前流量f，剩余容量r(u,v)=c(u,v)-f(u,v)+f(v,u) - 层次图：从源点s出发，通过BFS给每个顶点标记层次（距离） - 阻塞流：在层次图

2025-11-14 06:06:38

A*搜索算法（A-Star Search Algorithm）

**A*搜索算法（A-Star Search Algorithm）** **题目描述** A*搜索算法是一种用于在图中寻找从起点到目标节点的最短路径的启发式搜索算法。它结合了Dijkstra算法的完备性和贪婪最佳优先搜索的效率，通过评估函数 f(n) = g(n) + h(n) 指导搜索方向，其中： - g(n) 是从起点到节点 n 的实际代价 - h(n) 是从节点 n 到目标节点的预估代价（启发函数） **解题步骤详解** 1. **初始化数据结构** - 创建优先队列（OP

2025-11-13 20:51:16

xxx 最小生成树的 Kruskal 算法

**xxx 最小生成树的 Kruskal 算法** **题目描述** 给定一个无向连通图 \( G = (V, E) \)，其中每条边 \( e \) 有一个权重 \( w(e) \)，要求找到图 \( G \) 的最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）。最小生成树是原图的一个子图，它是一棵树，包含原图所有顶点，且边的权重之和最小。Kruskal 算法通过贪心策略，按边权重从小到大逐步选择边来构建最小生成树。 --- **解题过程** 1. **算法思

2025-11-13 19:05:42

xxx 最小割的 Gomory-Hu 树算法

**xxx 最小割的 Gomory-Hu 树算法** **题目描述** 最小割问题是图论中的一个经典问题，旨在将图的顶点划分为两个集合，使得连接这两个集合的边的总权重（容量）最小。Gomory-Hu 树算法通过构建一棵树（称为 Gomory-Hu 树）来高效表示图中所有顶点对之间的最小割。该树具有以下性质：对于树中任意两个顶点，连接它们唯一路径上的最小权重边恰好对应原图中这两个顶点之间的最小割容量。算法通过递归分割图并计算最小割来构建这棵树，最终实现 O(n) 次最大流计算（n 为顶点数）

2025-11-13 16:37:40

xxx 最小费用最大流问题（Cycle Canceling 算法）

**xxx 最小费用最大流问题（Cycle Canceling 算法）** **题目描述** 给定一个带权有向图，其中每条边有容量（capacity）和单位流量的费用（cost）。在源点（source）和汇点（sink）之间，求一个最大流，使得总费用最小。该问题称为最小费用最大流（Minimum Cost Maximum Flow, MCMF）问题。 --- **解题过程** **1. 问题分析** - 目标：在达到最大流量的前提下，使总费用最小。 - 约束：每条边的流量

2025-11-13 16:21:39

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