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xxx 最小高度树（Minimum Height Trees）问题

**xxx 最小高度树（Minimum Height Trees）问题** ### 问题描述给定一个具有 `n` 个节点的树（即无环连通无向图），我们的目标是找到这棵树的"最小高度树"的根节点。换句话说，如果我们选择任意一个节点作为根节点，树的高度定义为从根节点到最远叶子节点的最长路径上的边数。最小高度树是指所有可能的根节点中，树高度最小的那些树。 **输入**：整数 `n` 表示节点数量（节点标签从 `0` 到 `n-1`），以及边列表 `edges`，其中每个边 `[u, v]` 表示

2025-11-22 06:54:13

xxx 最小生成树的 Prim 算法

**xxx 最小生成树的 Prim 算法** **题目描述** 给定一个连通无向图 \( G = (V, E) \)，其中每条边 \( (u, v) \) 有一个权重 \( w(u, v) \)，要求构造一棵生成树，使得所有边的权重之和最小。Prim 算法通过逐步扩展子树来求解最小生成树（MST），其核心思想是从任意顶点开始，每次选择连接当前子树与外部顶点的最小权重边，并将对应顶点加入子树，直到所有顶点均被包含。 **解题过程** 1. **初始化** - 选择任意顶点 \

2025-11-21 07:44:08

最大流问题（Relabel-to-Front 算法）

**最大流问题（Relabel-to-Front 算法）** **题目描述** 给定一个有向图 \( G = (V, E) \)，其中每条边 \( (u, v) \in E \) 有一个非负容量 \( c(u, v) \geq 0 \)。图中有一个源点 \( s \) 和一个汇点 \( t \)。最大流问题的目标是找到从 \( s \) 到 \( t \) 的最大流量，满足以下约束： 1. **容量约束**：每条边的流量不超过其容量。 2. **流量守恒**：除 \( s \) 和

2025-11-21 07:12:31

最大流问题（Ford-Fulkerson 方法中的 DFS 实现与 Edmonds-Karp 算法对比）

**最大流问题（Ford-Fulkerson 方法中的 DFS 实现与 Edmonds-Karp 算法对比）** ### 问题描述最大流问题是图论中的经典问题：给定一个有向图，其中每条边有一个非负容量，以及源点 \( s \) 和汇点 \( t \)，求从 \( s \) 到 \( t \) 的最大流量。Ford-Fulkerson 方法是一种解决该问题的通用框架，但其具体实现方式（如 DFS 或 BFS）会影响算法效率和可靠性。本题将对比 Ford-Fulkerson 方法中的 DFS 实

2025-11-21 02:01:21

xxx 最大流问题（Dinic 算法）

**xxx 最大流问题（Dinic 算法）** **题目描述** 给定一个有向图，其中每条边有一个非负容量（capacity），以及两个特殊节点：源点（source）和汇点（sink）。最大流问题的目标是找到从源点到汇点的最大流量，使得每条边上的流量不超过其容量，且除源点和汇点外，每个节点的流入流量等于流出流量（流量守恒）。 --- **解题过程循序渐进讲解** **1. 基本概念回顾** - **流量（flow）**：边上的实际传输量，不超过容量。 - **剩余容量（res

2025-11-20 20:59:16

xxx 最大团问题（回溯算法）

**xxx 最大团问题（回溯算法）** **问题描述** 最大团问题是在无向图中寻找最大的完全子图。具体来说，给定一个无向图G=(V,E)，我们需要找到一个顶点子集S⊆V，使得S中任意两个顶点之间都有边相连（即S是一个团），并且S的大小尽可能大。 **关键概念** - 团（clique）：图中一个顶点子集，其中任意两个顶点都相邻 - 最大团（maximum clique）：图中包含顶点数最多的团 - 最大团问题是一个经典的NP难问题 **解题过程** **步骤1：问题分析与基本思路**

2025-11-20 10:37:03

xxx 最小顶点覆盖问题的近似算法（基于最大匹配）

**xxx 最小顶点覆盖问题的近似算法（基于最大匹配）** 我将为您讲解基于最大匹配的最小顶点覆盖问题的2-近似算法。这个算法能够在多项式时间内找到一个顶点覆盖，其大小不超过最小顶点覆盖的2倍。 **问题描述** 给定一个无向图G=(V,E)，顶点覆盖是指一个顶点子集S⊆V，使得图中每条边至少有一个端点在S中。最小顶点覆盖问题是找到包含顶点数最少的顶点覆盖。这是一个经典的NP完全问题，但我们可以通过基于最大匹配的算法在多项式时间内找到一个近似解。 **算法步骤** 1. **寻找最大匹配

2025-11-20 09:17:31

xxx 最小生成树问题（Borůvka 算法）

**xxx 最小生成树问题（Borůvka 算法）** 我将为您详细讲解 Borůvka 算法求解最小生成树问题的完整过程。 **问题描述** 给定一个连通无向图 G = (V, E)，其中 V 是顶点集，E 是边集，每条边 e ∈ E 有一个权重 w(e)。最小生成树（MST）是包含图中所有顶点且边权重之和最小的树。Borůvka 算法是一种基于"分治"思想的贪心算法，特别适合并行计算。 **算法步骤详解** **步骤1：初始化** - 将每个顶点视为一个独立的连通分量（即初始时有 |

2025-11-20 06:12:50

xxx 有向图中的欧拉回路（Hierholzer算法）

**xxx 有向图中的欧拉回路（Hierholzer算法）** **题目描述**：给定一个有向图，判断该图是否存在欧拉回路，如果存在则找出该回路。欧拉回路是指一条经过图中每条边恰好一次且起点和终点相同的路径。 **存在条件**： 1. 图是连通的（在忽略边方向的基础无向图上连通） 2. 每个顶点的入度等于出度 **解题过程**： **步骤1：检查存在性条件** 首先需要确认图是否满足欧拉回路的存在条件： - 检查图的连通性：忽略边的方向，检查基础无向图是否连通 - 检查每个顶点的入度和

2025-11-20 04:12:27

xxx 最大二分匹配的 Hopcroft-Karp 算法

**xxx 最大二分匹配的 Hopcroft-Karp 算法** **题目描述** 给定一个二分图 G = (X ∪ Y, E)，其中 X 和 Y 是不相交的顶点集合，E 是连接 X 和 Y 的边集合。最大二分匹配问题要求找到一个包含最多边的匹配 M ⊆ E，使得 M 中任意两条边都不共享公共顶点。 **解题过程** **1. 基本概念** - 匹配：边集合 M ⊆ E，其中任意两条边不共享顶点 - 最大匹配：包含边数最多的匹配 - 交替路径：路径上的边交替属于匹配 M 和不属于匹配 M

2025-11-19 21:35:25

xxx 关键路径算法（Critical Path Method）

**xxx 关键路径算法（Critical Path Method）** **题目描述** 关键路径算法用于在项目管理的活动网络图中确定关键路径。给定一个有向无环图（DAG），顶点表示事件（如项目阶段），边表示活动（如任务），每条边有权重代表活动持续时间。我们需要找到从起点到终点的最长路径（关键路径），该路径决定了项目的最短完成时间，路径上的活动称为关键活动（延迟会导致整个项目延迟）。 **解题过程** **步骤1：理解问题基础** - 活动网络图必须是DAG，确保无循环依赖 - 每个活动

2025-11-19 19:49:06

xxx 最小生成树问题（Jarník-Prim 算法）

**xxx 最小生成树问题（Jarník-Prim 算法）** **题目描述** 给定一个带权无向连通图 \( G = (V, E) \)，其中每条边 \( e \in E \) 有一个非负权值 \( w(e) \)。目标是找到图 \( G \) 的一棵生成树，使得所有边的权值之和最小。这样的生成树称为最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）。Jarník-Prim 算法（常称为 Prim 算法）通过逐步扩展一个子树来构建 MST。 --- **解题过程**

2025-11-19 12:39:40

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