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区间树算法

**区间树算法** 题目描述：设计一个数据结构，能够高效地存储和查询区间集合。支持两种操作：添加一个新区间，以及查询与给定区间重叠的所有区间。解题过程： 1. **问题分析** - 我们需要维护一个动态区间集合，支持快速插入和重叠查询 - 朴素解法是存储所有区间，查询时遍历所有区间检查重叠，时间复杂度为O(n) - 我们需要更高效的数据结构，目标是将查询时间优化到O(logn + k)，其中k是结果数量 2. **数据结构设计** - 使用平衡二叉搜索树（通常用

2025-10-25 23:25:05

**堆排序** 题目描述：给定一个整数数组，使用堆排序算法将其按升序排列。解题过程： 1. 理解堆结构堆是一种特殊的完全二叉树，满足： - 最大堆：每个节点的值都大于或等于其子节点的值 - 最小堆：每个节点的值都小于或等于其子节点的值堆排序使用最大堆来实现升序排序 2. 算法步骤步骤1：构建最大堆 - 从最后一个非叶子节点开始（索引为n/2-1），向前遍历到根节点 - 对每个节点执行"堆化"操作，确保以该节点为根的子树满足最大堆性质步骤2：排序过程 - 将堆顶元素（最大值）与

2025-10-25 23:19:54

非线性规划中的复合形法基础题

**非线性规划中的复合形法基础题** **题目描述：** 考虑一个二维非线性约束优化问题：最小化目标函数：f(x₁, x₂) = (x₁ - 2)² + (x₂ - 3)² 约束条件： g₁(x₁, x₂) = x₁ + x₂ - 4 ≤ 0 g₂(x₁, x₂) = -x₁ ≤ 0 g₃(x₁, x₂) = -x₂ ≤ 0 这是一个简单的二次规划问题，在可行域内寻找使目标函数最小的点。我们将使用复合形法（Complex Method）求解此问题。 **解题过程：** **1. 算法原

2025-10-25 23:14:44

数组中的第K个最大元素

**数组中的第K个最大元素** 题目描述：给定整数数组 nums 和整数 k，请返回数组中第 k 个最大的元素。请注意，你需要找的是数组排序后的第 k 个最大的元素，而不是第 k 个不同的元素。解题过程： 1. **问题理解与关键点分析** * 目标：在无需完全排序整个数组的情况下，找到特定顺序（第k大）的元素。 * 核心挑战：如何高效地定位这个元素，避免进行 O(n log n) 的完整排序。 * 关键思路：我们可以利用快速排序的分区思想（Part

2025-10-25 23:09:26

实现冒泡排序

**实现冒泡排序** 题目描述：给定一个整数数组，使用冒泡排序算法将其按升序排列。冒泡排序通过重复遍历数组，比较相邻元素，如果顺序错误就交换它们，直到没有需要交换的元素为止。解题过程： 1. **基本思想**：冒泡排序的核心是"冒泡"过程——每一轮遍历将当前未排序部分的最大元素"浮"到正确位置（数组末尾）。通过多次遍历，逐步将较小元素向前移动，较大元素向后移动。 2. **算法步骤**： - 步骤1：从数组第一个元素开始，比较相邻的两个元素（索引j和j+1） - 步骤2：如

2025-10-25 23:04:05

最长回文子串

**最长回文子串** 题目描述：给定一个字符串s，找到s中最长的回文子串。回文串是指正着读和反着读都一样的字符串。例如，对于输入"babad"，最长回文子串可能是"bab"或"aba"；对于输入"cbbd"，最长回文子串是"bb"。解题过程： 1. 问题分析：我们需要找到一个字符串中的最长连续子串，这个子串是回文的。一个直接的思路是检查所有可能的子串，判断其是否为回文，但这样时间复杂度会很高（O(n^3)）。我们可以使用动态规划来优化。 2. 定义状态：我们定义一个二维

2025-10-25 22:58:53

Cholesky分解法解对称正定线性方程组

**Cholesky分解法解对称正定线性方程组** **题目描述** 给定一个n×n的对称正定矩阵A和一个n维向量b，求解线性方程组Ax = b。要求使用Cholesky分解法，将矩阵A分解为下三角矩阵L和其转置L^T的乘积（A = LL^T），然后通过前代和回代法求解x。 **解题过程** 1. **对称正定矩阵的判断** - 对称性：矩阵A必须满足A^T = A，即矩阵元素关于主对角线对称（a_ij = a_ji）。 - 正定性：对于任意非零向量x，都有x^TAx > 0。

2025-10-25 22:53:36

线性规划的分支定界法求解示例

**线性规划的分支定界法求解示例** 题目描述：考虑整数线性规划问题：最大化目标函数 z = 3x₁ + 2x₂，约束条件为 2x₁ + x₂ ≤ 6；4x₁ + 5x₂ ≤ 20；x₁, x₂ ≥ 0，且 x₁, x₂ 为整数。解题过程： 1. **问题理解与放松** 原问题是整数线性规划（ILP），变量需要取整数值。分支定界法的核心思想是，先解决对应的线性规划放松问题（LP relaxation），即暂时忽略整数约束（x₁, x₂ ≥ 0 且为实数）。如果放松问题的最优解自

2025-10-25 22:48:15

区间动态规划例题：最长有效括号子串问题

**区间动态规划例题：最长有效括号子串问题** **题目描述** 给定一个只包含字符 `'('` 和 `')'` 的字符串 `s`，要求找出其中最长的有效（格式正确）括号子串的长度。有效括号子串需满足： - 每个左括号 `'('` 必须有对应的右括号 `')'` 匹配。 - 子串内的括号匹配关系必须连续且正确（例如 `"()()"` 和 `"(())"` 均有效，但 `"())"` 无效）。 **示例** - 输入：`s = "(()"`，输出：`2`（最长有效子串

2025-10-25 22:43:02

线性规划的列生成算法示例

**线性规划的列生成算法示例** **题目描述** 考虑一个资源分配问题：某工厂生产3种产品（A、B、C），需要2种原料（X、Y）。产品利润和原料消耗如下： - 产品A：利润4元，消耗X原料3单位，Y原料1单位 - 产品B：利润5元，消耗X原料2单位，Y原料4单位 - 产品C：利润6元，消耗X原料1单位，Y原料3单位原料限制：X原料总量100单位，Y原料总量80单位。由于产品组合可能很多，我们采用列生成方法求解。 **解题过程** **第一步：建立主问题和受限主问题** 主问题的

2025-10-25 22:37:44

区间动态规划例题：移除盒子问题

**区间动态规划例题：移除盒子问题** **题目描述** 给定一个整数数组 `boxes`，其中不同的整数表示不同颜色的盒子。每次操作，你可以移除连续相同颜色的 `k` 个盒子（k ≥ 1），并获得 `k * k` 分。求最多能获得多少分。 **示例** 输入：`boxes = [1,3,2,2,2,3,4,3,1]` 输出：`23` 解释：移除顺序示例： 1. 移除三个连续的 2（颜色 2），得分 3×3=9 → `[1,3,3,4,3,1]` 2. 移除一个

2025-10-25 22:32:32

**A*搜索算法** 题目描述：A*搜索算法是一种在图形或网格中寻找从起点到终点的最短路径的启发式搜索算法。它通过评估函数 f(n) = g(n) + h(n) 来选择最有希望的节点进行扩展，其中 g(n) 是从起点到节点 n 的实际代价，h(n) 是从节点 n 到终点的预估代价（启发式函数）。解题过程： 1. **核心思想与评估函数** A*算法的目标是高效地找到最短路径。它维护两个列表： * **开放列表**：存放待考察的节点。 * **关闭列表**

2025-10-25 22:27:15

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