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Tarjan算法求有向图的强连通分量

**Tarjan算法求有向图的强连通分量** **题目描述** 给定一个有向图，其强连通分量（Strongly Connected Component, SCC）是一个最大的顶点子集，使得该子集中任意两个顶点u和v都互相可达（即存在从u到v的路径，也存在从v到u的路径）。题目要求你找出这个有向图中所有的强连通分量。Tarjan算法是一种基于深度优先搜索（DFS）的高效算法，它可以在线性时间O(V+E)内解决此问题。 **解题过程** 1. **核心概念与准备工作** * **

2025-10-29 14:06:41

最小割问题（Stoer-Wagner算法）

**最小割问题（Stoer-Wagner算法）** **题目描述** 给定一个无向带权图（权重表示边的容量），求该图的全局最小割（Global Minimum Cut）。最小割是指将图划分为两个不相交子集，使得连接这两个子集的边的权重之和最小。注意，这里的图可能不是连通的，但算法要求处理一般无向图。 **解题过程** 1. **问题分析** - 最小割问题在无向图中等价于求使图不连通所需删除边的最小总权重。 - 若图有 \(n\) 个顶点，则共有 \(2^{n-1

2025-10-29 13:24:09

Ford-Fulkerson方法中的容量缩放（Capacity Scaling）优化

**Ford-Fulkerson方法中的容量缩放（Capacity Scaling）优化** **题目描述** 在最大流问题中，给定一个有向图，其中每条边有一个非负容量，以及源点s和汇点t，目标是找到从s到t的最大流量。Ford-Fulkerson方法通过不断在残留图中寻找增广路径来增加流量，但若增广路径选择不当（如使用DFS可能陷入多次小流量增广）。容量缩放优化通过优先处理高容量边来提升效率：设定一个缩放参数Δ，初始为最大边容量的最小2的幂次，每轮只考虑容量≥Δ的边构建子图进行增广，当无

2025-10-29 13:18:46

二分图的最大权匹配（Kuhn-Munkres算法）

**二分图的最大权匹配（Kuhn-Munkres算法）** **题目描述** 给定一个完全二分图 \( G = (X \cup Y, E) \)，其中 \( |X| = |Y| = n \)，每条边 \( (i, j) \) 有一个权重 \( w(i, j) \geq 0 \)。要求找到一种完美匹配（即每个顶点恰好匹配一次），使得匹配边的权重之和最大。 **解题步骤** 1. **问题转换** - 若需解决最小权匹配，可将权重取负后转为最大权匹配。 - 算法通过维护顶

2025-10-29 10:54:26

xxx 最小割问题（Stoer-Wagner算法）

**xxx 最小割问题（Stoer-Wagner算法）** **题目描述** 给定一个无向带权图，图中顶点通过边连接，每条边都有一个正权重（表示容量或连接强度）。图的最小割（Minimum Cut）是指将图的所有顶点划分成两个非空集合S和T，使得连接S和T的所有边的权重之和最小。这个权重和称为割的容量。最小割问题就是找到这样的划分，使得割的容量最小。Stoer-Wagner算法是解决无向图全局最小割问题的一种高效算法，其时间复杂度为O(|V|³)或使用优先队列优化后可达O(|V||E| + |

2025-10-29 10:23:16

xxx 最小费用最大流问题（Successive Shortest Path算法）

**xxx 最小费用最大流问题（Successive Shortest Path算法）** **题目描述** 给定一个带权有向图G=(V, E)，其中每条边e=(u, v)有一个容量c(e)≥0和一个费用w(e)。图中包含一个源点s和一个汇点t。最小费用最大流问题要求我们找到从s到t的一个流方案，使得总流量达到最大值，并且在所有最大流方案中，该方案的总费用最小。总费用定义为流经每条边的流量乘以其单位费用的总和。 **解题过程** **1. 问题建模与关键概念** - **流函数

2025-10-29 07:07:19

寻找无向图的双连通分量（Biconnected Components）

**寻找无向图的双连通分量（Biconnected Components）** **题目描述** 在无向图中，双连通分量（Biconnected Component）是指一个极大的双连通子图。双连通性意味着图中任意两个顶点之间至少存在两条顶点不相交的路径（即没有公共顶点）。双连通分量在图的连通性分析中非常重要，例如用于识别网络中的脆弱点（如割点）。题目要求：给定一个无向图，找出其所有双连通分量。 **关键概念** - **割点（Articulation Point）**：移除该顶点后

2025-10-29 06:19:47

Tarjan算法求无向图的割点（Articulation Points）

**Tarjan算法求无向图的割点（Articulation Points）** **题目描述** 给定一个无向连通图，找出所有的割点。割点是指删除该顶点及其关联边后，图不再连通（即连通分量数量增加）的顶点。例如，在通信网络中，割点代表关键节点，其失效会导致网络分裂。要求高效地找出所有割点。 --- **解题过程** **1. 核心思想** 割点的判定依赖于深度优先搜索（DFS）遍历。通过DFS记录每个顶点的访问顺序（发现时间）和一个关键值（low值），low值表示该顶点能通

2025-10-29 05:22:10

最大流问题（Dinic算法）

**最大流问题（Dinic算法）** **题目描述** 最大流问题是指在一个有向图中，每条边有一个容量限制，求从源点（s）到汇点（t）的最大流量。Dinic算法是一种高效的最大流算法，通过分层图（BFS）和阻塞流（DFS多路增广）的结合，时间复杂度为O(V²E)，适合处理稀疏图或中等规模的稠密图。 **解题步骤** 1. **初始化** - 构建残量图：初始时残量容量等于原始容量，反向边容量为0。 - 定义数组`level[]`记录BFS分层中每个节点的深度（从源

2025-10-29 03:15:35

最大流问题（Ford-Fulkerson方法中的容量缩放优化）

**最大流问题（Ford-Fulkerson方法中的容量缩放优化）** **题目描述** 最大流问题旨在从源点（s）到汇点（t）的网络中找出可传输的最大流量。网络由有向图表示，每条边有容量限制。Ford-Fulkerson方法通过反复寻找增广路径来逐步增加流量，但基础版本可能因路径选择不当而效率低下（例如，边容量为无理数时可能无法终止）。容量缩放（Capacity Scaling）优化通过优先处理高容量边，确保算法在多项式时间内运行。 **解题过程** 1. **核心思想**

2025-10-29 02:33:31

xxx 最大流问题（Edmonds-Karp算法）

**xxx 最大流问题（Edmonds-Karp算法）** **题目描述** 最大流问题（Maximum Flow Problem）是图论中的经典问题，通常这样描述： - 给定一个有向图 \( G = (V, E) \)，其中每条边 \( (u, v) \in E \) 有一个非负容量 \( c(u, v) \geq 0 \)。 - 指定两个特殊节点：源点 \( s \) 和汇点 \( t \)。 - 目标是找到从 \( s \) 到 \( t \) 的最大流量，满足以下约束：

2025-10-29 00:11:00

xxx 最小生成树问题（Prim算法）

**xxx 最小生成树问题（Prim算法）** **题目描述** 给定一个带权无向连通图 \( G = (V, E) \)，其中 \( V \) 是顶点集，\( E \) 是边集，每条边有一个非负权值。要求构造一棵生成树，使得树上所有边的权值之和最小，这样的生成树称为最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）。Prim算法通过贪心策略逐步扩展子树来求解该问题。 --- **解题过程** 1. **算法核心思想** Prim算法从任意一个顶点开始，初

2025-10-28 22:50:53

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