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最小直径生成树问题

**最小直径生成树问题** 我将为您讲解最小直径生成树（Minimum Diameter Spanning Tree, MDST）问题，这是一个在图论中研究如何找到直径最小的生成树的有趣问题。 ### **问题描述** 给定一个无向连通图 \( G = (V, E) \)，其中每条边都有一个非负权重。图的直径定义为图中所有顶点对之间的最短路径距离的最大值。最小直径生成树问题是：在 \( G \) 的所有生成树中，找到直径最小的那棵生成树。 **简单来说**：我们需要找到一棵生成树，使得树中

2025-10-30 07:03:34

最大流问题（Push-Relabel算法）

**最大流问题（Push-Relabel算法）** **题目描述** 最大流问题要求在一个有向图中，从源点（source）到汇点（sink）能传输的最大流量。每条边有一个容量（capacity），表示该边能承载的最大流量。Push-Relabel算法是一种高效求解最大流的方法，通过维护每个顶点的“预流”（preflow）和“高度标签”（height label），逐步将流量推向汇点。 **解题过程** 1. **初始化** - 设置源点高度为顶点数量（|V|），其余顶点高度

2025-10-30 06:47:46

最大流问题（Push-Relabel算法）

**最大流问题（Push-Relabel算法）** **题目描述** 给定一个有向图 \( G = (V, E) \)，每条边 \( (u, v) \in E \) 有一个非负容量 \( c(u, v) \)。指定源点 \( s \) 和汇点 \( t \)，求从 \( s \) 到 \( t \) 的最大流量。Push-Relabel算法通过维护每个顶点的**高度（height）**和**超额流（excess flow）**来逐步将流量推向汇点，最终达到最大流。 --- **解题步骤

2025-10-30 05:02:17

xxx 最小生成树问题（Borůvka算法）

**xxx 最小生成树问题（Borůvka算法）** **题目描述** 给定一个连通无向图，每条边都有一个正权重，要求找到一棵最小生成树（MST），即连接所有顶点的树，且其边的总权重最小。Borůvka算法是一种基于贪心策略的并行算法，适用于稀疏图。 **解题过程** 1. **初始化** - 每个顶点初始时视为一个独立的连通分量（即每个顶点是一个子树）。 - 最小生成树的边集初始为空。 2. **迭代过程** 重复以下步骤，直到只剩一个连通分量（即所

2025-10-30 03:28:10

二分图的最大匹配问题（匈牙利算法）

**二分图的最大匹配问题（匈牙利算法）** **题目描述** 给定一个二分图G=(U,V,E)，其中U和V是两个不相交的顶点集合，E是连接U和V的边集合。匹配是指一组没有公共顶点的边集合。最大匹配是指包含边数最多的匹配。请设计算法找出该二分图的最大匹配。 **基本概念解析** 1. 二分图：顶点可被划分为两个不相交集合U和V，所有边都连接U和V中的顶点 2. 匹配：边的集合，其中任意两条边没有公共顶点 3. 最大匹配：包含边数最多的匹配 4. 增广路径：匹配边和非匹配边交替出现的路径，且起点

2025-10-30 00:18:04

xxx 拓扑排序算法

**xxx 拓扑排序算法** **题目描述** 给定一个有向无环图（DAG），要求对图中的所有顶点进行线性排序，使得对于图中的每一条有向边 \( u \to v \)，顶点 \( u \) 都出现在顶点 \( v \) 的前面。这种排序称为拓扑排序。拓扑排序常用于任务调度、依赖关系分析等场景。 --- **解题过程** **1. 核心思想** 拓扑排序基于图的依赖关系：若存在边 \( u \to v \)，则 \( u \) 是 \( v \) 的前置条件。排序需保证所有顶点

2025-10-29 21:32:31

Kuhn-Munkres算法（二分图最大权匹配）

**Kuhn-Munkres算法（二分图最大权匹配）** **题目描述** 给定一个完全二分图 \( G = (X \cup Y, E) \)，其中 \( |X| = |Y| = n \)，每条边 \( (x_i, y_j) \) 有一个权重 \( w_{ij} \geq 0 \)。要求找到一种完美匹配（所有顶点均被匹配），使得匹配边的权重之和最大。 **解题过程** 1. **问题转换** - 若需解决最小权匹配，可将权重取负后转化为最大权匹配。 - 算法通过维护顶

2025-10-29 20:55:06

二分图的最大权匹配（Kuhn-Munkres算法）

**二分图的最大权匹配（Kuhn-Munkres算法）** **题目描述** 给定一个完全二分图 \( G = (X \cup Y, E) \)，其中 \( |X| = |Y| = n \)，每条边 \( (x_i, y_j) \) 有一个权重 \( w_{ij} \geq 0 \)。要求找到一种完美匹配（即每个顶点恰好匹配一次），使得匹配边的权重之和最大。 **解题过程** Kuhn-Munkres算法（又称匈牙利算法）通过顶点标号（顶标）和等价子图构造，逐步调整标号以找到最大权匹

2025-10-29 20:28:19

xxx 最大流问题（Dinic算法）

**xxx 最大流问题（Dinic算法）** **题目描述** 给定一个有向图，其中每条边有一个非负容量（capacity）。图中有一个源点（source）和一个汇点（sink）。最大流问题的目标是找到从源点到汇点的最大流量，使得每条边上的流量不超过其容量，且除源点和汇点外，所有顶点的流入流量等于流出流量（流量守恒）。 **解题过程** Dinic算法是一种高效的最大流算法，结合了BFS分层和DFS多路增广。其核心思想是通过构建分层图（Level Graph）来指导增广路径的选择，减

2025-10-29 19:14:34

A*搜索算法（A-Star Search Algorithm）

**A*搜索算法（A-Star Search Algorithm）** **题目描述**： A*搜索算法是一种在图中找到从起始顶点到目标顶点的最短路径的算法。它广泛应用于路径规划和图遍历。与Dijkstra算法不同，A*算法使用启发式函数来估算从当前顶点到目标顶点的代价，从而优先探索更有希望的路径，提高搜索效率。假设我们有一个带权图，每个边有一个非负权值（代表距离或成本），同时我们有一个启发式函数h(n)，它估算从任意顶点n到目标顶点的最小代价。要求使用A*算法找到从起始顶点s到目标顶点t的最

2025-10-29 18:32:10

Bellman-Ford算法求单源最短路径问题

**Bellman-Ford算法求单源最短路径问题** **题目描述** 给定一个带权有向图，其中边的权重可以是负数，以及一个源顶点s。要求找出从源顶点s到图中所有其他顶点的最短路径。如果图中存在从s可达的负权环，则算法应能检测到这一情况。 **解题过程** 1. **问题分析** 在带权图中，若存在负权边，Dijkstra算法可能失效，因为它基于贪心策略，假设路径权重非负。Bellman-Ford算法通过动态规划思想，允许边权为负，并能检测负权环。 2. **算法核心思

2025-10-29 16:03:29

二分图检测（BFS/DFS）

**二分图检测（BFS/DFS）** **题目描述** 给定一个无向图，判断它是否是二分图。二分图是指可以将图中的所有顶点分成两个不相交的集合，使得同一集合内的顶点之间没有边相连。换句话说，图中不存在长度为奇数的环。 **解题过程** 1. **核心思路** 二分图的判定等价于图的二着色问题：尝试用两种颜色（如0和1）对顶点染色，使得相邻顶点颜色不同。若染色成功，则为二分图；若在染色过程中发现相邻顶点颜色相同，则不是二分图。 2. **算法选择** 使用BFS或

2025-10-29 15:10:15

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