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Hopcroft-Karp 算法求二分图最大匹配

**Hopcroft-Karp 算法求二分图最大匹配** **题目描述** 给定一个二分图 \( G = (U, V, E) \)，其中 \( U \) 和 \( V \) 是两个不相交的顶点集合，\( E \) 是连接 \( U \) 和 \( V \) 的边集。目标是找到一种匹配（即没有两条边共享一个顶点的边集），使得匹配的边数最大化。Hopcroft-Karp 算法通过多阶段广度优先搜索（BFS）和深度优先搜索（DFS）来高效求解该问题，时间复杂度为 \( O(\sqrt{|V|

2025-11-28 03:19:47

xxx 最小生成树问题（Jarník-Prim 算法）

**xxx 最小生成树问题（Jarník-Prim 算法）** **题目描述** 给定一个连通的无向图 \( G = (V, E) \)，其中每条边 \( e \in E \) 有一个权重 \( w(e) \)。目标是找到一个生成树 \( T \subseteq E \)，使得树中所有边的权重之和最小。这样的生成树称为最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）。Jarník-Prim 算法通过贪心策略逐步构建 MST。 **解题过程** 1. **算法核心思想

2025-11-28 00:30:34

无向图的单源最短路径问题（Dijkstra算法）

**无向图的单源最短路径问题（Dijkstra算法）** 我将为您详细讲解图论中的经典算法——Dijkstra算法，它用于解决**无负权边的带权无向图**的单源最短路径问题。 ### 问题描述给定一个带权无向图G=(V,E)，其中每条边e∈E都有一个非负的权重w(e)≥0，以及一个源顶点s∈V。目标是找到从源点s到图中所有其他顶点的最短路径长度。 ### 核心思想 Dijkstra算法采用**贪心策略**，逐步确定从源点s到各顶点的最短距离。算法维护一个集合S，包含已经确定最短距离的顶点

2025-11-27 18:31:50

最小割的 Gomory-Hu 树算法

**最小割的 Gomory-Hu 树算法** **题目描述** 给定一个无向连通图 \( G = (V, E) \)，每条边有一个非负容量（权重），要求构建一棵 **Gomory-Hu 树**（也称为割树）。这棵树具有以下性质： 1. 树的节点与原图节点相同（即 \( V \) 是树的节点集）。 2. 对于树中任意一条边 \( e \)，若移除 \( e \)，树会分裂成两个连通分支，对应原图的一个最小割。 3. 对于任意一对节点 \( s \) 和 \( t \，它们在树

2025-11-27 09:30:55

Ford-Fulkerson 方法中的容量缩放（Capacity Scaling）优化

**Ford-Fulkerson 方法中的容量缩放（Capacity Scaling）优化** **题目描述** 给定一个有向图，其中每条边有一个非负整数容量，以及一个源点 \( s \) 和一个汇点 \( t \)，求从 \( s \) 到 \( t \) 的最大流。Ford-Fulkerson 方法通过不断寻找增广路径来增加流量，但基础版本可能因路径选择不当而效率低下（尤其当容量为无理数时可能不终止）。容量缩放（Capacity Scaling）是一种优化策略，通过优先处理容量较大的边

2025-11-27 06:34:37

xxx 最大流问题（Goldberg-Rao 算法）

**xxx 最大流问题（Goldberg-Rao 算法）** **题目描述** 给定一个有向图 \( G = (V, E) \)，每条边 \( e \in E \) 有一个非负容量 \( c(e) \geq 0 \)，以及源点 \( s \) 和汇点 \( t \)。Goldberg-Rao 算法用于计算从 \( s \) 到 \( t \) 的最大流。该算法结合了 Push-Relabel 的思想和容量缩放技术，通过动态调整流和标签（距离函数）来高效求解大规模稀疏图的最大流问题，时间复杂

2025-11-27 02:03:12

xxx Floyd-Warshall 算法求解所有顶点对最短路径

**xxx Floyd-Warshall 算法求解所有顶点对最短路径** **题目描述** 给定一个带权有向图，其中可能包含负权边（但不允许存在负权环），要求计算图中任意两个顶点之间的最短路径距离。该问题称为**所有顶点对最短路径问题**（All-Pairs Shortest Paths, APSP）。Floyd-Warshall 算法通过动态规划高效解决此问题，其时间复杂度为 O(V³)，适用于顶点数不超过几百的稠密图。 **解题过程** 1. **问题分析与关键思路**

2025-11-26 08:26:33

最小生成树计数问题（Kirchhoff 定理）

**最小生成树计数问题（Kirchhoff 定理）** 我将为您详细讲解如何使用 Kirchhoff 定理来计算一个无向图的最小生成树数量。这是一个既优美又实用的图论算法。 **问题描述** 给定一个无向连通图 G = (V, E)，其中 V 是顶点集合，E 是边集合。我们的目标是计算这个图的所有不同最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）的数量。注意：这里我们计算的是所有最小生成树的数量，而不仅仅是找出一个最小生成树。Kirchhoff 定理（又称矩阵树定理

2025-11-26 02:02:06

xxx 最小割的 Stoer-Wagner 算法

**xxx 最小割的 Stoer-Wagner 算法** **题目描述** 给定一个无向带权图 \( G = (V, E, w) \)，其中每条边 \( e \in E \) 有一个非负权重 \( w(e) \)，目标是找到图的一个全局最小割（global minimum cut）。全局最小割是指将顶点集 \( V \) 划分为两个非空子集 \( S \) 和 \( V \setminus S \)，使得连接 \( S \) 和 \( V \setminus S \) 的所有边的权重之和最

2025-11-25 17:49:38

xxx 最小费用最大流问题的 Successive Shortest Path with Potentials 算法

**xxx 最小费用最大流问题的 Successive Shortest Path with Potentials 算法** **问题描述** 给定一个有向图 G=(V,E)，其中每条边 e∈E 有容量 c(e)≥0 和费用 w(e)∈R。图中包含源点 s 和汇点 t。我们需要找到从 s 到 t 的最大流，并且在所有最大流中，总费用最小的那个流。 **算法讲解** **1. 问题理解与基本概念** 首先，我们需要理解最小费用最大流问题的目标： - 最大流：找到从 s 到 t 的最大流量值

2025-11-25 14:38:25

无向图的双连通分量（Biconnected Components）

**无向图的双连通分量（Biconnected Components）** **问题描述** 在无向连通图中，若删除任意一个顶点后图仍保持连通，则该图是**双连通的**。双连通分量是极大的双连通子图，用于识别图中的“脆弱点”（即割点）。例如，在通信网络中，双连通分量帮助定位单点故障风险。本问题要求找出图中所有双连通分量。 --- **解题步骤** **1. 核心概念理解** - **割点（Articulation Point）**：删除该顶点后，图的连通分量数增加。 - *

2025-11-25 14:27:52

xxx 最小生成树计数问题（Kirchhoff 定理）

**xxx 最小生成树计数问题（Kirchhoff 定理）** **题目描述** 给定一个无向连通图 G，其中每条边可能带有权重（在计数问题中权重通常不影响结果，但需要明确我们计算的是所有最小生成树的数量）。最小生成树（MST）计数问题要求计算图 G 中所有可能的最小生成树的数量。注意，如果存在多条边具有相同权重，则可能存在多个不同的最小生成树。Kirchhoff 定理（也称为矩阵树定理）提供了一种基于拉普拉斯矩阵的方法，可以计算图中所有生成树的数量（不限于最小生成树）。对于最小生成树计数

2025-11-25 12:20:40

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