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Tarjan算法求无向图的割点（Articulation Points）

**Tarjan算法求无向图的割点（Articulation Points）** **题目描述** 给定一个无向连通图，割点（Articulation Point）是指删除该顶点及与其相连的边后，图不再连通的顶点。要求高效找出图中所有割点。例如，在计算机网络中，割点可能代表关键节点，其故障会导致网络分裂。Tarjan算法通过一次深度优先搜索（DFS）即可解决此问题。 **解题过程** 1. **核心概念** - **割点判定条件**：在DFS生成树中，对非根节点`u`，若存

2025-11-08 18:49:18

Hopcroft-Karp算法求二分图最大匹配

**Hopcroft-Karp算法求二分图最大匹配** **题目描述** 给定一个二分图 \( G = (V, E) \)，其中顶点集 \( V \) 被划分为两个不相交的子集 \( U \) 和 \( V \)，边集 \( E \) 仅包含连接 \( U \) 和 \( V \) 的边。目标是找到该二分图的最大匹配，即包含尽可能多边的子集 \( M \subseteq E \)，使得 \( M \) 中任意两条边不共享公共顶点。 Hopcroft-Kap算法通过多路径增广策略，在 \(

2025-11-08 11:46:39

xxx 最小公共祖先（LCA）问题的倍增算法

**xxx 最小公共祖先（LCA）问题的倍增算法** **题目描述** 给定一棵有根树和若干查询，每个查询要求两个节点的最近公共祖先（LCA）。要求高效处理多组查询。 **解题过程** 1. **问题分析** - LCA 是树中两个节点的公共祖先中深度最大的节点。 - 直接暴力求解（如交替向上跳转）的时间复杂度为 O(h)（h 为树高），在多次查询时效率低。 - 目标：通过预处理，将每次查询的复杂度降至 O(log h)。 2. **算法核心思想**

2025-11-08 10:32:27

xxx 无向图的双连通分量（Biconnected Components）

**xxx 无向图的双连通分量（Biconnected Components）** **题目描述** 在一个无向连通图中，我们称一个顶点为“割点”（Articulation Point），如果移除该顶点及其相连的边后，图会变得不再连通。而“双连通分量”则是一个极大的双连通子图。一个双连通子图意味着其中不包含任何割点，或者说，任意移除一个顶点，剩下的子图仍然是连通的。我们的目标是找出给定无向图的所有双连通分量。 **解题过程** 我们可以使用基于深度优先搜索（DFS）的算法来求解这个问题，它和

2025-11-08 09:01:47

图论中的最短路径快速算法（SPFA）

**图论中的最短路径快速算法（SPFA）** **题目描述** 给定一个带权有向图，图中可能包含负权边，但不存在负权环（即环上各边权重之和为负）。要求计算从指定源点出发到所有其他顶点的最短路径长度。若图中存在负权环，算法应能检测到这一情况。SPFA（Shortest Path Faster Algorithm）是对Bellman-Ford算法的优化，通过动态选择待松弛的顶点来减少不必要的计算。 **解题过程** 1. **问题分析** - 负权边使得Dijkstra算法无法

2025-11-08 07:15:34

xxx 最大流问题（Ford-Fulkerson 方法中的 Edmonds-Karp 算法）

**xxx 最大流问题（Ford-Fulkerson 方法中的 Edmonds-Karp 算法）** **题目描述** 给定一个有向图，其中每条边有一个非负容量（capacity），以及两个特殊节点：源点（source）和汇点（sink）。最大流问题的目标是找出从源点到汇点的最大流量，使得每条边上的流量不超过其容量，且除源点和汇点外，每个节点的流入流量等于流出流量（流量守恒）。 **解题过程** Edmonds-Karp 算法是 Ford-Fulkerson 方法的一种实现，它使用

2025-11-08 03:31:51

xxx 最小费用最大流问题（Successive Shortest Path with Potentials 算法）

**xxx 最小费用最大流问题（Successive Shortest Path with Potentials 算法）** **题目描述** 给定一个带权有向图 \( G = (V, E) \)，每条边 \( e = (u, v) \) 有容量 \( c(e) \geq 0 \) 和单位流量费用 \( w(e) \in \mathbb{R} \)。图中包含源点 \( s \) 和汇点 \( t \)。目标是找到从 \( s \) 到 \( t \) 的最大流 \( f \)，且总费用 \

2025-11-08 02:01:42

Kosaraju算法求有向图的强连通分量

**Kosaraju算法求有向图的强连通分量** **题目描述** 在一个有向图中，强连通分量是指一个最大的顶点子集，其中任意两个顶点u和v都是互相可达的（即存在从u到v的路径，也存在从v到u的路径）。给定一个有向图G，我们的目标是找出图中所有的强连通分量。例如，在表示网页链接或社交网络关系的图中，强连通分量可以帮助我们发现紧密相关的群体。 **解题过程** Kosaraju算法是解决这个问题的经典算法之一，它通过两次深度优先搜索（DFS）来高效地找出所有强连通分量。其核心思想在于：强连通

2025-11-07 21:24:50

Kosaraju-Sharir算法求有向图的强连通分量

**Kosaraju-Sharir算法求有向图的强连通分量** **题目描述** 给定一个有向图，其强连通分量（SCC）是一个最大顶点子集，其中任意两个顶点互相可达。Kosaraju-Sharir算法通过两次深度优先搜索（DFS）高效找出所有SCC。该算法的核心思想是利用图的结构性质，避免直接使用Tarjan算法的复杂栈操作。 **解题步骤** 1. **算法原理** - 关键观察：将SCC视为超节点后，图变为有向无环图（DAG）。若按拓扑序逆序处理SCC，第二次DFS可

2025-11-07 20:15:14

Kosaraju算法求有向图的强连通分量

**Kosaraju算法求有向图的强连通分量** **题目描述** 给定一个有向图 \( G = (V, E) \)，其强连通分量（SCC）是最大的顶点子集，其中任意两个顶点 \( u \) 和 \( v \) 均相互可达（即存在从 \( u \) 到 \( v \) 和从 \( v \) 到 \( u \) 的路径）。Kosaraju算法旨在找出图 \( G \) 的所有强连通分量。要求设计一个高效算法，并解释其步骤。 **解题过程** 1. **算法核心思想** Kos

2025-11-07 15:59:38

Bellman-Ford算法检测负权环

**Bellman-Ford算法检测负权环** **题目描述** 给定一个带权有向图G(V, E)，其中V是顶点集合，E是边集合，每条边有一个权重（可正可负）。要求检测图中是否存在从源点s可达的负权环（即环上所有边的权重之和为负数的环）。 **解题过程** **1. 算法目标理解** Bellman-Ford算法不仅可以计算单源最短路径，还能检测图中是否存在从源点s可达的负权环。负权环的存在会导致最短路径问题无解，因为可以无限次绕行该环来减小路径长度。 **2. 算法核心思想** - 通

2025-11-07 14:54:53

xxx 最大流问题（Ford-Fulkerson 方法中的 Edmonds-Karp 算法）

**xxx 最大流问题（Ford-Fulkerson 方法中的 Edmonds-Karp 算法）** **题目描述** 给定一个有向图，其中每条边有一个非负容量（capacity），以及一个源点（source）和一个汇点（sink）。最大流问题的目标是找到从源点到汇点的最大流量，使得每条边上的流量不超过其容量，且除源点和汇点外，每个顶点的流入流量等于流出流量（流量守恒）。 **解题过程** 1. **基本概念** - 流量网络：有向图 \( G = (V, E) \)，边容

2025-11-07 10:22:32

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