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最大流问题（FIFO Push-Relabel算法）

**最大流问题（FIFO Push-Relabel算法）** 最大流问题是在有向图中，从源点s到汇点t的最大流量传输问题。FIFO Push-Relabel算法是Push-Relabel算法的一种高效实现，它使用先进先出（FIFO）队列管理活跃节点，以优化性能。 **题目描述** 给定一个有向图G=(V,E)，每条边e有一个非负容量c(e)。源点s和汇点t。求从s到t的最大流量。 **解题过程** Push-Relabel算法不维护流的守恒性，而是维护一个预流（允许节点暂时存储超额

2025-11-10 04:22:25

Ford-Fulkerson 方法中的 DFS 实现与 Edmonds-Karp 算法对比

**Ford-Fulkerson 方法中的 DFS 实现与 Edmonds-Karp 算法对比** **题目描述** 在图论中，最大流问题要求计算从源点 \( s \) 到汇点 \( t \) 在网络中能传输的最大流量。Ford-Fulkerson 是一种解决该问题的通用方法，其核心思想是不断在残量图中寻找增广路径并更新流量。然而，增广路径的选择策略（如 DFS 或 BFS）会显著影响算法效率。本题要求对比 Ford-Fulkerson 方法中基于 DFS 的朴素实现与基于 BFS 的 E

2025-11-10 00:54:43

xxx 最大流问题（Push-Relabel 算法）

**xxx 最大流问题（Push-Relabel 算法）** **题目描述** 给定一个有向图 \( G = (V, E) \)，其中每条边 \( (u, v) \in E \) 有一个非负容量 \( c(u, v) \geq 0 \)。图中有一个源点 \( s \) 和一个汇点 \( t \)。Push-Relabel 算法通过局部操作（推送流量和重标高度）来逐步将流量从源点推向汇点，最终求出从 \( s \) 到 \( t \) 的最大流。与增广路径类算法（如 Ford-Fulkers

2025-11-09 23:14:08

xxx 最小割的 Gomory-Hu 树算法

**xxx 最小割的 Gomory-Hu 树算法** **题目描述** 给定一个无向连通图 \( G = (V, E) \)，每条边有一个正整数权重（容量），要求高效地计算图中所有顶点对之间的最小割值。具体来说，对于任意两个顶点 \( s \) 和 \( t \)，需要快速得到 \( s-t \) 最小割的容量。直接对每个顶点对运行最大流算法（如 Dinic 算法）的时间复杂度较高（共需 \( O(|V|^2) \) 次最大流计算）。Gomory-Hu 树算法通过构建一棵树（称为 Gomo

2025-11-09 09:40:30

Ford-Fulkerson 方法中的 DFS 实现与 Edmonds-Karp 算法对比

**Ford-Fulkerson 方法中的 DFS 实现与 Edmonds-Karp 算法对比** **题目描述** 在图论中，最大流问题要求在有向图中，从源点 \( s \) 到汇点 \( t \) 的最大流量。Ford-Fulkerson 方法是一种解决该问题的通用框架，其核心是不断在残留图中寻找增广路径并更新流量。但增广路径的选择策略不同，会导致算法效率差异显著。本题要求对比两种常见实现： 1. **DFS 实现**：使用深度优先搜索（DFS）随机寻找增广路径。 2. **E

2025-11-09 09:03:23

xxx 最小公共祖先（LCA）问题的Tarjan算法

**xxx 最小公共祖先（LCA）问题的Tarjan算法** **题目描述** 给定一棵有根树和若干查询，每个查询要求两个结点的最近公共祖先（LCA）。要求设计一个高效的离线算法，在一次深度优先搜索中处理所有查询。 **解题过程** 1. **问题分析** - LCA问题要求找到树中两个结点在从根出发的路径上最深的公共祖先。 - Tarjan算法通过并查集（Union-Find）和DFS实现离线处理，所有查询可在O(n + α(n))时间内解决（α是反阿克曼函数）

2025-11-09 07:43:56

图论中的最小割树（Gomory-Hu Tree）算法

**图论中的最小割树（Gomory-Hu Tree）算法** **题目描述** 最小割树（Gomory-Hu Tree）是一种高效表示图中所有顶点对之间最小割的结构。给定一个无向连通图 \( G = (V, E) \) 和边容量函数 \( c: E \to \mathbb{R}^+ \)，Gomory-Hu Tree 是一棵树 \( T = (V, E_T) \)，使得对于任意两个顶点 \( s, t \in V \)，\( T \) 中连接 \( s \) 和 \( t \) 的路径上的

2025-11-09 07:12:11

最小生成树问题（Reverse-Delete算法）

**最小生成树问题（Reverse-Delete算法）** **问题描述** 给定一个连通无向图 \( G = (V, E) \)，每条边 \( e \in E \) 有一个权重 \( w(e) \)。目标是找到一个生成树（包含所有顶点且无环的连通子图），使得其边的总权重最小。Reverse-Delete算法通过逐步删除边来求解最小生成树，其核心思想是：**按权重从大到小遍历边，若删除某边后图仍连通，则永久删除该边**。 --- **解题步骤详解** 1. **初始化**

2025-11-09 06:45:48

最小费用最大流问题（Primal-Dual 算法）

**最小费用最大流问题（Primal-Dual 算法）** 我将为您详细讲解最小费用最大流问题中的Primal-Dual算法。这个算法结合了最大流和最短路径的思想，能够高效地找到流量最大且总费用最小的流方案。 **问题描述** 给定一个有向图G=(V,E)，其中每条边e=(u,v)有容量c(e)≥0和费用w(e)（可能为负）。源点s汇点t，目标是找到从s到t的最大流f，使得总费用∑(f(e)×w(e))最小。 **算法核心思想** Primal-Dual算法基于以下关键观察： 1. 残

2025-11-09 04:15:17

xxx 最小高度生成树问题

**xxx 最小高度生成树问题** **题目描述** 最小高度生成树问题要求在一个连通无向图中找到一棵生成树，使得这棵树的高度最小。树的高度定义为从根节点到最远叶节点的路径长度（边数）。这个问题在实际应用中有重要意义，比如在网络设计中，我们希望构建一个高度最小的树形结构来减少通信延迟。 **解题过程** 1. **问题分析** - 最小高度生成树与图的中心概念密切相关。图的中心是指图中偏心距最小的顶点，其中偏心距定义为该顶点到其他所有顶点的最大最短距离。 - 关键观察：最小高度生

2025-11-09 01:29:49

Ford-Fulkerson 方法中的 DFS 实现与 Edmonds-Karp 算法对比

**Ford-Fulkerson 方法中的 DFS 实现与 Edmonds-Karp 算法对比** **题目描述** 给定一个有向图，表示一个流网络，其中每条边有一个非负容量。源点为 \( s \)，汇点为 \( t \)。目标是计算从 \( s \) 到 \( t \) 的最大流。Ford-Fulkerson 方法是一种通用框架，通过不断在残留图中寻找增广路径来增加流。本题要求对比 Ford-Fulkerson 方法中使用深度优先搜索（DFS）寻找增广路径的实现，与使用广度优先搜索（BF

2025-11-08 23:59:13

Tarjan算法求无向图的割点（Articulation Points）

**Tarjan算法求无向图的割点（Articulation Points）** **题目描述** 给定一个无向连通图，割点（Articulation Point）是指删除该顶点及与其相连的边后，图不再连通的顶点。要求高效找出图中所有割点。例如，在计算机网络中，割点可能代表关键节点，其故障会导致网络分裂。Tarjan算法通过一次深度优先搜索（DFS）即可解决此问题。 **解题过程** 1. **核心概念** - **割点判定条件**：在DFS生成树中，对非根节点`u`，若存

2025-11-08 18:49:18

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