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图论算法教程

图论算法教程

2025-04-10 22:33:57

图论中的最小直径生成树问题

**图论中的最小直径生成树问题** **题目描述** 给定一个连通无向图 \( G = (V, E) \)，每条边有非负权重。要求找到一棵生成树，使得其直径（生成树中任意两点间最短路径的最大值）尽可能小。 --- **解题思路** 最小直径生成树（Minimum Diameter Spanning Tree, MDST）问题的核心是**绝对中心**（Absolute Center）理论： 1. 图的绝对中心是图上一个点（可能在边上），使得所有顶点到它的最短距离的最大值（

2025-12-01 06:18:02

最大流问题（Goldberg-Rao 算法）

**最大流问题（Goldberg-Rao 算法）** **题目描述** 给定一个有向图 \( G = (V, E) \)，每条边 \( e \in E \) 有一个非负容量 \( c(e) \geq 0 \)，以及源点 \( s \) 和汇点 \( t \)，求从 \( s \) 到 \( t \) 的最大流。Goldberg-Rao 算法是一种基于阻塞流（blocking flow）的高效算法，其时间复杂度为 \( O(\min\{V^{2/3}, E^{1/2}\} \cdot E \

2025-12-01 06:01:51

无向图的单源最短路径问题（Dijkstra算法）

**无向图的单源最短路径问题（Dijkstra算法）** **题目描述** 给定一个无向图，图中每条边有一个非负权值（即距离或成本），并指定一个起点（源点）。要求找出从源点到图中所有其他顶点的最短路径长度。如果存在无法到达的顶点，则其最短路径长度为无穷大。 **解题过程** Dijkstra算法是解决非负权图单源最短路径问题的经典算法。其核心思想是贪心策略：每次从未确定最短路径的顶点中选取距离源点最近的顶点，并更新其邻居的距离。以下是详细步骤： 1. **初始化** -

2025-11-30 13:56:58

Kuhn-Munkres算法（二分图最大权匹配）

**Kuhn-Munkres算法（二分图最大权匹配）** **题目描述** 给定一个完全二分图 \( G = (X \cup Y, E) \)，其中 \( |X| = |Y| = n \)，每条边 \( (x_i, y_j) \) 有一个权重 \( w_{ij} \)。目标是找到一个完美匹配（每个顶点恰好匹配一次），使得匹配边的权重之和最大。 --- **解题过程** ### 1. 问题转换：最大权匹配 → 最小权匹配通过将权重取负（\( w_{ij} \lefta

2025-11-30 04:25:05

xxx 最小费用最大流问题的 Successive Shortest Path with Potentials 算法

**xxx 最小费用最大流问题的 Successive Shortest Path with Potentials 算法** **题目描述** 最小费用最大流问题（Minimum Cost Maximum Flow, MCMF）是在一个带权有向图中，每条边有容量限制和单位流量的费用。目标是在满足容量约束的前提下，从源点 \(s\) 到汇点 \(t\) 输送尽可能多的流量，并使得总费用最小。Successive Shortest Path with Potentials 算法是解决该问题的高

2025-11-30 02:00:43

Bellman-Ford 算法检测负权环

**Bellman-Ford 算法检测负权环** **题目描述** 给定一个带权有向图，其中边权可以是负数。要求判断图中是否存在从源点 s 可达的负权环（即环上所有边的权重之和为负数）。如果存在，则输出一条包含负权环的路径；否则报告不存在负权环。 **解题过程** 1. **问题分析** - 负权环是指一个环，其边权总和为负。如果存在从源点 s 可达的负权环，则 s 到某些顶点的最短路径可能无限小（通过反复绕环下降）。 - Bellman-Ford 算法在求解单源最

2025-11-29 06:29:50

最大流问题（Edmonds-Karp 算法）

**最大流问题（Edmonds-Karp 算法）** **题目描述** 给定一个有向图，其中每条边有一个非负容量（capacity），以及一个源点（source）和一个汇点（sink），求从源点到汇点的最大流量。流量需满足以下约束： 1. 容量限制：每条边上的流量不能超过其容量。 2. 流量守恒：除源点和汇点外，每个顶点的流入流量等于流出流量。 Edmonds-Karp 算法是 Ford-Fulkerson 方法的一种实现，通过 **广度优先搜索（BFS）** 寻找增广路径，

2025-11-28 21:53:43

Ford-Fulkerson 方法中的容量缩放（Capacity Scaling）优化

**Ford-Fulkerson 方法中的容量缩放（Capacity Scaling）优化** **题目描述** 容量缩放是 Ford-Fulkerson 最大流算法的一种优化技术。Ford-Fulkerson 方法通过不断在残留图中寻找增广路径来增加流量，直到无法找到为止。基础的 Ford-Fulkerson 方法（尤其是使用 DFS 寻找路径时）可能效率较低，特别是在边容量差异很大时。容量缩放优化通过优先考虑具有较大剩余容量的边，来系统地引导增广路径的选择，从而减少算法所需的增广次数，尤其

2025-11-28 16:00:27

最大流问题（Edmonds-Karp 算法）

**最大流问题（Edmonds-Karp 算法）** **题目描述** 给定一个有向图 \( G = (V, E) \)，其中每条边 \( (u, v) \in E \) 有一个非负容量 \( c(u, v) \geq 0 \)。图中有一个源点 \( s \) 和一个汇点 \( t \)。最大流问题的目标是找到从 \( s \) 到 \( t \) 的最大流量，即满足以下条件的流函数 \( f(u, v) \)： 1. **容量约束**：对任意边 \( (u, v) \)，\( 0 \

2025-11-28 14:32:57

无向图的双连通分量（Biconnected Components）

**无向图的双连通分量（Biconnected Components）** **题目描述** 给定一个无向连通图，找出其所有的双连通分量（Biconnected Components）。双连通分量是图的一个极大双连通子图，即删除其中任意一个顶点后，子图仍然连通。若整个图是双连通的，则其本身就是一个双连通分量。双连通分量常用于分析网络的鲁棒性。 --- **解题过程** **1. 基本概念** - **割点（Articulation Point）**：删除该顶点后，图不再连通的

2025-11-28 12:57:20

xxx 图论中的最短路径快速算法（SPFA）

**xxx 图论中的最短路径快速算法（SPFA）** **题目描述** 最短路径快速算法（Shortest Path Faster Algorithm, SPFA）是一种用于求解带权有向图（或无向图）中单源最短路径的算法。它是 Bellman-Ford 算法的一种优化版本，通过动态更新候选节点来减少不必要的松弛操作。SPFA 适用于含有负权边的图，并能检测负权环。其平均时间复杂度为 O(kE)，其中 k 为常数，但在最坏情况下（如存在负权环或特定结构的图）会退化为 O(VE)。 **解题

2025-11-28 08:40:55

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