区间动态规划例题：带权重的字符串交织问题（最小化交织成本）

题目描述

给定三个字符串：A、B 和 C，以及一个成本函数 cost(i, j, k)，其中 i、j、k 分别是 A、B、C 的索引。
字符串 C 的长度为 n + m（其中 n = len(A), m = len(B)）。我们需要判断 C 是否可以通过交织 A 和 B 得到（保持 A 和 B 的字符顺序不变），并计算最小交织成本。

交织成本定义为：
当选择 A 的第 i 个字符匹配 C 的某个位置时，产生成本 cost(i, -1, k)；
当选择 B 的第 j 个字符匹配 C 的某个位置时，产生成本 cost(-1, j, k)。
目标是使总成本最小。

解题思路

这是一个区间动态规划问题，因为 C 是 A 和 B 的交织，我们可以逐步匹配 C 的字符到 A 或 B 中。
状态定义：
dp[i][j] 表示用 A 的前 i 个字符和 B 的前 j 个字符，匹配到 C 的前 (i + j) 个字符时的最小成本。

状态转移：

• 如果 A[i-1] == C[i+j-1]，那么可以从 dp[i-1][j] 转移过来，加上成本 cost(i-1, -1, i+j-1)。
• 如果 B[j-1] == C[i+j-1]，那么可以从 dp[i][j-1] 转移过来，加上成本 cost(-1, j-1, i+j-1)。
• 如果两个条件都满足，取成本较小的转移。

初始化：
dp[0][0] = 0（空字符串匹配空字符串）。
第一行和第一列需要单独初始化，表示只用 A 或只用 B 匹配 C 的情况。

答案：
dp[n][m] 即为最小交织成本。如果无法交织，则设置为无穷大。

循序渐进讲解

步骤1：定义状态

我们定义 dp[i][j]：

• i 表示已经使用了 A 的前 i 个字符（0 ≤ i ≤ n）。
• j 表示已经使用了 B 的前 j 个字符（0 ≤ j ≤ m）。
• dp[i][j] 表示匹配到 C 的前 (i+j) 个字符时的最小成本。

注意：C 的长度为 n+m，所以只有当 i+j 与 C 的位置对应时才有意义。

步骤2：状态转移方程

对于 dp[i][j]，我们考虑 C 的第 (i+j) 个字符（索引为 i+j-1）是从 A 还是从 B 来的：

1. 如果 i > 0 且 A[i-1] == C[i+j-1]：
   说明当前字符可以来自 A 的第 i 个字符。
   那么，匹配到前 (i+j) 个字符的最小成本 = dp[i-1][j] + cost(i-1, -1, i+j-1)。

2. 如果 j > 0 且 B[j-1] == C[i+j-1]：
   说明当前字符可以来自 B 的第 j 个字符。
   那么，匹配到前 (i+j) 个字符的最小成本 = dp[i][j-1] + cost(-1, j-1, i+j-1)。

3. 如果两个条件都满足，取两者中的较小值。
   如果都不满足，则 dp[i][j] = INF（表示无法匹配）。

转移方程：

dp[i][j] = min(
    (dp[i-1][j] + cost(i-1, -1, i+j-1)) if i>0 and A[i-1]==C[i+j-1] else INF,
    (dp[i][j-1] + cost(-1, j-1, i+j-1)) if j>0 and B[j-1]==C[i+j-1] else INF
)

步骤3：初始化

• dp[0][0] = 0：空字符串匹配空字符串，成本为0。
• 初始化第一行 dp[0][j]（只用 B 匹配 C）：
  需要检查 B 的前 j 个字符是否依次等于 C 的前 j 个字符，并且累加成本。
  如果有任何一个字符不匹配，则 dp[0][j] = INF。
• 初始化第一列 dp[i][0]（只用 A 匹配 C）：同理。

示例：

for j in range(1, m+1):
    if B[j-1] == C[j-1]:
        dp[0][j] = dp[0][j-1] + cost(-1, j-1, j-1)
    else:
        dp[0][j] = INF

类似地处理 dp[i][0]。

步骤4：填表计算

按 i 从 0 到 n，j 从 0 到 m 的顺序填表（注意 i 和 j 不能同时为0）。
对于每个 (i, j)，根据状态转移方程计算。

步骤5：输出答案

如果 dp[n][m] 为无穷大，则表示无法交织得到 C；
否则，dp[n][m] 即为最小交织成本。

举例说明

假设：

• A = "ab", B = "bc", C = "abbc"
• 成本函数简化：每次匹配的成本为0（即只判断能否交织，不求最小成本）。

步骤：

1. 初始化 dp[0][0]=0。
2. 初始化第一行：B 的前1个字符 "b" 与 C[0]='a' 不匹配 → dp[0][1]=INF，后面都为 INF。
3. 初始化第一列：A 的前1个字符 "a" 与 C[0]='a' 匹配 → dp[1][0] = dp[0][0] + 0 = 0。
   A 的前2个字符 "ab" 与 C[0..1]="ab" 匹配 → dp[2][0] = dp[1][0] + 0 = 0。
4. 计算 dp[1][1]：
   • 来自 A：A[0]='a' 与 C[1]='b' 不匹配，不可行。
   • 来自 B：B[0]='b' 与 C[1]='b' 匹配，且 dp[1][0]=0 → 成本0。
     所以 dp[1][1] = 0。
5. 继续计算直到 dp[2][2]：
   • 最终状态 dp[2][2] 应为0，表示可以交织得到 C。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n × m)，需要填充二维表格。
• 空间复杂度：O(n × m)，可以使用滚动数组优化到 O(m) 或 O(n)。

关键点总结

1. 状态设计：dp[i][j] 表示用 A 的前 i 个和 B 的前 j 个匹配 C 的前 (i+j) 个字符的最小成本。
2. 转移条件：必须检查当前字符是否与 A 或 B 的对应字符相等。
3. 初始化：第一行和第一列需要单独处理，因为它们代表只用 A 或只用 B 的情况。
4. 答案：dp[n][m] 是否为无穷大判断可行性，否则为最小成本。

这样，我们就完成了带权重的字符串交织问题的动态规划解法。通过状态转移逐步匹配字符，并累加成本，最终得到最小交织成本。