自适应记忆梯度法（Adaptive Memory Gradient Method）基础题
字数 3453 2025-12-20 04:20:44

自适应记忆梯度法（Adaptive Memory Gradient Method）基础题

问题描述：
考虑一个无约束非线性优化问题：

\[ \min_{x \in \mathbb{R}^n} f(x) \]

其中目标函数 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 是连续可微的，但可能非凸，且其梯度 \(\nabla f(x)\) 可计算。
自适应记忆梯度法（AMG）是一种拟牛顿类方法，它利用前几步的迭代信息（如梯度差和位移差）自适应地构造一个标量或对角矩阵来近似Hessian矩阵的逆，从而在每步迭代中生成下降方向。与标准的BB（Barzilai-Borwein）方法只使用上一步信息不同，AMG通过加权组合多个历史信息来调整步长，以提高收敛速度和稳定性。
本题要求：

  1. 推导AMG方法的基本更新公式，特别是如何利用历史信息计算自适应步长。
  2. 给出算法的完整步骤，包括初始化、方向计算、步长选择（或线搜索策略）、迭代更新和终止条件。
  3. 对一个具体函数（如扩展Rosenbrock函数：\(f(x) = \sum_{i=1}^{n-1} [100(x_{i+1} - x_i^2)^2 + (1 - x_i)^2]\)）进行数值模拟，初始点取 \(x_0 = (-1.2, 1, -1.2, 1, \dots) \in \mathbb{R}^{10}\)，分析AMG的收敛行为。

解题过程：

1. 方法原理
自适应记忆梯度法的核心思想：利用最近 \(m\) 步的梯度差 \(y_k = \nabla f(x_{k+1}) - \nabla f(x_k)\) 和位移差 \(s_k = x_{k+1} - x_k\)，构造一个对角矩阵 \(D_k\)（或标量 \(\alpha_k\)）来近似Hessian逆，使得拟牛顿条件 \(D_k y_{k-i} \approx s_{k-i}\) 对多个历史对 \((s_{k-i}, y_{k-i})\) 在加权意义下最好地满足。
常用形式是标量步长 \(\alpha_k\) 的更新，通过最小化加权误差：

\[ \min_{\alpha} \sum_{i=0}^{m-1} w_i (\alpha y_{k-i} - s_{k-i})^2 \]

其中权重 \(w_i\) 通常按指数衰减（如 \(w_i = \rho^i\)，\(0 < \rho < 1\)），赋予近期信息更高重要性。求解该最小二乘问题得到：

\[ \alpha_k = \frac{\sum_{i=0}^{m-1} w_i s_{k-i}^\top y_{k-i}}{\sum_{i=0}^{m-1} w_i \|y_{k-i}\|^2} \]

这可以看作多个BB步长的加权平均，其中第 \(i\) 个历史对应的BB步长为 \(\alpha_{k-i}^{BB1} = \frac{s_{k-i}^\top y_{k-i}}{\|y_{k-i}\|^2}\)。
另一种变体是直接使用对角矩阵 \(D_k = \text{diag}(d_k)\)，通过类似加权拟合确定每个分量，但标量形式更简单常用。

2. 算法步骤
步骤0：初始化

  • 选择初始点 \(x_0\)，记忆长度 \(m\)，权重衰减因子 \(\rho \in (0,1)\)（如 \(\rho=0.8\)），线搜索参数 \(\beta \in (0,1)\)，\(\sigma \in (0,0.5)\)，梯度容差 \(\epsilon\)。
  • 计算初始梯度 \(g_0 = \nabla f(x_0)\)，设置初始步长 \(\alpha_0 = 1 / \|g_0\|\)（或其他启发式值）。
  • 初始化历史队列 \(S = [\,]\)，\(Y = [\,]\) 分别存储最近的 \(m\) 对 \(s_k, y_k\)。

步骤1：检查终止条件
若 \(\|g_k\| < \epsilon\)，则输出 \(x_k\) 作为近似极小点；否则继续。

步骤2：计算搜索方向
采用负梯度方向：\(d_k = -g_k\)。（注意：AMG主要调整步长，方向仍为梯度下降；也可结合共轭梯度思想调整方向，但基础版用梯度方向。）

步骤3：自适应步长计算
若历史对数 \(\ell = \min(k, m) \geq 1\)：

  • 权重 \(w_i = \rho^{\ell-1-i}\) 对 \(i=0,\dots,\ell-1\)（最近权重最大）。
  • 计算加权分子 \(A = \sum_{i=0}^{\ell-1} w_i s_{k-1-i}^\top y_{k-1-i}\) 与分母 \(B = \sum_{i=0}^{\ell-1} w_i \|y_{k-1-i}\|^2\)。
  • 步长 \(\alpha_k = A / B\)，若 \(B=0\) 或 \(\alpha_k \leq 0\) 则置 \(\alpha_k = 1\)（回退）。
    若 \(\ell = 0\)（第一步），用初始步长或BB1步长 \(\alpha_k = \frac{s_0^\top y_0}{\|y_0\|^2}\)（需先有一次迭代才能计算，因此第一步常使用固定步长或回溯线搜索直接确定步长）。

步骤4：线搜索（确保下降）
虽然 \(\alpha_k\) 由历史信息预估，但为保证全局收敛，通常结合非精确线搜索（如Armijo条件）：
令 \(\alpha = \alpha_k\)，重复 \(\alpha = \beta \alpha\) 直到满足

\[ f(x_k + \alpha d_k) \leq f(x_k) + \sigma \alpha g_k^\top d_k \]

得到可接受步长 \(\alpha_k^*\)。

步骤5：更新迭代点

\[ x_{k+1} = x_k + \alpha_k^* d_k \]

计算新梯度 \(g_{k+1} = \nabla f(x_{k+1})\)。

步骤6：更新历史信息
计算 \(s_k = x_{k+1} - x_k\)，\(y_k = g_{k+1} - g_k\)。
将 \((s_k, y_k)\) 加入队列，若队列长度超过 \(m\)，则移除最旧的一对。

步骤7：循环
令 \(k := k+1\)，返回步骤1。

3. 数值模拟示例（扩展Rosenbrock函数）

  • 维度 \(n=10\)，初始点 \(x_0 = (-1.2, 1, -1.2, 1, \dots)\)（交替取值）。
  • 参数设置：\(m=5\)，\(\rho=0.8\)，\(\beta=0.5\)，\(\sigma=0.4\)，\(\epsilon=10^{-6}\)。
  • 实现细节：在步骤3中，若 \(k=0\)（第一次迭代），直接用 \(\alpha_0 = 0.001\)（小步长启动）；从 \(k=1\) 开始使用历史信息计算 \(\alpha_k\)。
  • 预期行为：
    1. 初期因函数高度非凸、曲率变化大，步长会自适应调整，可能震荡但线搜索保障下降。
    2. 随着迭代，历史信息加权平均使步长更稳定，接近最优曲率，收敛速度优于固定步长梯度法。
    3. 与标准BB法（仅用最近一对 \((s_{k-1}, y_{k-1})\)）相比，AMG通过多步加权平滑了步长波动，可能减少线搜索次数，加速收敛。
  • 可观察的指标：梯度范数 \(\|g_k\|\) 下降曲线、函数值下降轨迹、步长 \(\alpha_k\) 变化情况。

总结：自适应记忆梯度法通过利用多步历史信息加权拟合步长，平衡了近期与远期曲率信息，在非凸优化中能更稳健地逼近最佳步长，同时保持梯度下降的简单性。结合线搜索可保证全局收敛，适用于中等规模、梯度可计算的问题。

自适应记忆梯度法（Adaptive Memory Gradient Method）基础题 问题描述 ： 考虑一个无约束非线性优化问题： \[ \min_ {x \in \mathbb{R}^n} f(x) \] 其中目标函数 \( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) 是连续可微的，但可能非凸，且其梯度 \( \nabla f(x) \) 可计算。 自适应记忆梯度法（AMG）是一种拟牛顿类方法，它利用前几步的迭代信息（如梯度差和位移差）自适应地构造一个标量或对角矩阵来近似Hessian矩阵的逆，从而在每步迭代中生成下降方向。与标准的BB（Barzilai-Borwein）方法只使用上一步信息不同，AMG通过加权组合多个历史信息来调整步长，以提高收敛速度和稳定性。 本题要求： 推导AMG方法的基本更新公式，特别是如何利用历史信息计算自适应步长。 给出算法的完整步骤，包括初始化、方向计算、步长选择（或线搜索策略）、迭代更新和终止条件。 对一个具体函数（如扩展Rosenbrock函数：\( f(x) = \sum_ {i=1}^{n-1} [ 100(x_ {i+1} - x_ i^2)^2 + (1 - x_ i)^2] \)）进行数值模拟，初始点取 \( x_ 0 = (-1.2, 1, -1.2, 1, \dots) \in \mathbb{R}^{10} \)，分析AMG的收敛行为。 解题过程 ： 1. 方法原理 自适应记忆梯度法的核心思想：利用最近 \( m \) 步的梯度差 \( y_ k = \nabla f(x_ {k+1}) - \nabla f(x_ k) \) 和位移差 \( s_ k = x_ {k+1} - x_ k \)，构造一个对角矩阵 \( D_ k \)（或标量 \( \alpha_ k \)）来近似Hessian逆，使得拟牛顿条件 \( D_ k y_ {k-i} \approx s_ {k-i} \) 对多个历史对 \( (s_ {k-i}, y_ {k-i}) \) 在加权意义下最好地满足。 常用形式是标量步长 \( \alpha_ k \) 的更新，通过最小化加权误差： \[ \min_ {\alpha} \sum_ {i=0}^{m-1} w_ i (\alpha y_ {k-i} - s_ {k-i})^2 \] 其中权重 \( w_ i \) 通常按指数衰减（如 \( w_ i = \rho^i \)，\( 0 < \rho < 1 \)），赋予近期信息更高重要性。求解该最小二乘问题得到： \[ \alpha_ k = \frac{\sum_ {i=0}^{m-1} w_ i s_ {k-i}^\top y_ {k-i}}{\sum_ {i=0}^{m-1} w_ i \|y_ {k-i}\|^2} \] 这可以看作多个BB步长的加权平均，其中第 \( i \) 个历史对应的BB步长为 \( \alpha_ {k-i}^{BB1} = \frac{s_ {k-i}^\top y_ {k-i}}{\|y_ {k-i}\|^2} \)。 另一种变体是直接使用对角矩阵 \( D_ k = \text{diag}(d_ k) \)，通过类似加权拟合确定每个分量，但标量形式更简单常用。 2. 算法步骤 步骤0：初始化 选择初始点 \( x_ 0 \)，记忆长度 \( m \)，权重衰减因子 \( \rho \in (0,1) \)（如 \( \rho=0.8 \)），线搜索参数 \( \beta \in (0,1) \)，\( \sigma \in (0,0.5) \)，梯度容差 \( \epsilon \)。 计算初始梯度 \( g_ 0 = \nabla f(x_ 0) \)，设置初始步长 \( \alpha_ 0 = 1 / \|g_ 0\| \)（或其他启发式值）。 初始化历史队列 \( S = [ \,] \)，\( Y = [ \,] \) 分别存储最近的 \( m \) 对 \( s_ k, y_ k \)。 步骤1：检查终止条件 若 \( \|g_ k\| < \epsilon \)，则输出 \( x_ k \) 作为近似极小点；否则继续。 步骤2：计算搜索方向 采用负梯度方向：\( d_ k = -g_ k \)。（注意：AMG主要调整步长，方向仍为梯度下降；也可结合共轭梯度思想调整方向，但基础版用梯度方向。） 步骤3：自适应步长计算 若历史对数 \( \ell = \min(k, m) \geq 1 \)： 权重 \( w_ i = \rho^{\ell-1-i} \) 对 \( i=0,\dots,\ell-1 \)（最近权重最大）。 计算加权分子 \( A = \sum_ {i=0}^{\ell-1} w_ i s_ {k-1-i}^\top y_ {k-1-i} \) 与分母 \( B = \sum_ {i=0}^{\ell-1} w_ i \|y_ {k-1-i}\|^2 \)。 步长 \( \alpha_ k = A / B \)，若 \( B=0 \) 或 \( \alpha_ k \leq 0 \) 则置 \( \alpha_ k = 1 \)（回退）。 若 \( \ell = 0 \)（第一步），用初始步长或BB1步长 \( \alpha_ k = \frac{s_ 0^\top y_ 0}{\|y_ 0\|^2} \)（需先有一次迭代才能计算，因此第一步常使用固定步长或回溯线搜索直接确定步长）。 步骤4：线搜索（确保下降） 虽然 \( \alpha_ k \) 由历史信息预估，但为保证全局收敛，通常结合非精确线搜索（如Armijo条件）： 令 \( \alpha = \alpha_ k \)，重复 \( \alpha = \beta \alpha \) 直到满足 \[ f(x_ k + \alpha d_ k) \leq f(x_ k) + \sigma \alpha g_ k^\top d_ k \] 得到可接受步长 \( \alpha_ k^* \)。 步骤5：更新迭代点 \[ x_ {k+1} = x_ k + \alpha_ k^* d_ k \] 计算新梯度 \( g_ {k+1} = \nabla f(x_ {k+1}) \)。 步骤6：更新历史信息 计算 \( s_ k = x_ {k+1} - x_ k \)，\( y_ k = g_ {k+1} - g_ k \)。 将 \( (s_ k, y_ k) \) 加入队列，若队列长度超过 \( m \)，则移除最旧的一对。 步骤7：循环 令 \( k := k+1 \)，返回步骤1。 3. 数值模拟示例（扩展Rosenbrock函数） 维度 \( n=10 \)，初始点 \( x_ 0 = (-1.2, 1, -1.2, 1, \dots) \)（交替取值）。 参数设置：\( m=5 \)，\( \rho=0.8 \)，\( \beta=0.5 \)，\( \sigma=0.4 \)，\( \epsilon=10^{-6} \)。 实现细节：在步骤3中，若 \( k=0 \)（第一次迭代），直接用 \( \alpha_ 0 = 0.001 \)（小步长启动）；从 \( k=1 \) 开始使用历史信息计算 \( \alpha_ k \)。 预期行为： 初期因函数高度非凸、曲率变化大，步长会自适应调整，可能震荡但线搜索保障下降。 随着迭代，历史信息加权平均使步长更稳定，接近最优曲率，收敛速度优于固定步长梯度法。 与标准BB法（仅用最近一对 \( (s_ {k-1}, y_ {k-1}) \)）相比，AMG通过多步加权平滑了步长波动，可能减少线搜索次数，加速收敛。 可观察的指标：梯度范数 \( \|g_ k\| \) 下降曲线、函数值下降轨迹、步长 \( \alpha_ k \) 变化情况。 总结 ：自适应记忆梯度法通过利用多步历史信息加权拟合步长，平衡了近期与远期曲率信息，在非凸优化中能更稳健地逼近最佳步长，同时保持梯度下降的简单性。结合线搜索可保证全局收敛，适用于中等规模、梯度可计算的问题。