基于线性规划的图最大流问题中流量分解与流路分解的算法示例

字数 3103 2025-12-20 03:31:58

基于线性规划的图最大流问题中流量分解与流路分解的算法示例

1. 问题描述

给定一个有向图 \(G = (V, E)\)，每条边 \(e \in E\) 有一个非负容量 \(c(e)\)。图中有一个指定的源点 \(s \in V\) 和一个指定的汇点 \(t \in V\)。假设我们已经通过某种最大流算法（如 Ford-Fulkerson、Edmonds-Karp、Dinic 或 Push-Relabel 算法）求得了该网络的一个可行流 \(f: E \to \mathbb{R}^+\)，且 \(f\) 是一个从 \(s\) 到 \(t\) 的最大流。

流量分解（Flow Decomposition） 的目标是：将任意一个可行流 \(f\) 分解成若干条从 \(s\) 到 \(t\) 的路径流（以及可能存在的环流），使得每条路径或环上的流量非负，且这些流量的总和恰好等于原流 \(f\) 在每条边上的流量。

流路分解（Path Decomposition） 是流量分解的一个特例，它要求分解结果仅由从 \(s\) 到 \(t\) 的路径组成（忽略环流），且每条路径上的流量为正。

在最大流应用中，流量分解常用于：

分析网络流的结构；
提取实际的流路径（如数据传输路径、交通流路径）；
为多商品流、流量分配等问题提供基础。

2. 基本思路

对于一个可行流 \(f\)，我们可以通过以下步骤进行流量分解：

消除环流：通过寻找并消除流中的环，将流转化为一个无环流（即不存在流量构成的环）。
提取 \(s \to t\) 路径：从无环流中不断提取从 \(s\) 到 \(t\) 的路径，并分配流量，直到流值降为零。

由于最大流算法通常不显式给出路径，分解过程需要基于流的边流量值进行。

3. 核心算法步骤

步骤 1：建立辅助数据结构

令当前流为 \(f\)。我们维护每个顶点的净流出量：

\[\text{net-out}(v) = \sum_{(v,u) \in E} f(v,u) - \sum_{(u,v) \in E} f(u,v) \]

对于可行流，除源点 \(s\) 和汇点 \(t\) 外，其他顶点均满足流量守恒：\(\text{net-out}(v) = 0\)。对于 \(s\) 和 \(t\)，有：

\[\text{net-out}(s) = F, \quad \text{net-out}(t) = -F \]

其中 \(F\) 是流的值。

步骤 2：消除环流

目标：将流 \(f\) 转化为一个等价的无环流（即不存在边流量全为正的环）。

在 \(f\) 的正流量边（即 \(f(e) > 0\) 的边）组成的子图中，使用深度优先搜索（DFS）寻找环。
若找到一个环 \(C\)，设环上边的最小流量为 \(\delta = \min_{e \in C} f(e)\)。
将环上每条边的流量减少 \(\delta\)，这不会改变任何顶点的净流出量，因此流仍然是可行的。
重复直到图中无环。

正确性：每次消环至少使一条边的流量降为零，因此算法在 \(O(m \cdot F)\) 时间内结束（\(m\) 为边数），但若使用更高效的方法（如拓扑排序配合调整），可在 \(O(mn)\) 内完成。

步骤 3：提取 \(s \to t\) 路径

在无环流中，可以不断执行以下操作：

从 \(s\) 出发，沿着任意一条流量为正的边前进。
由于图无环且除 \(s\) 和 \(t\) 外流量守恒，最终一定能到达 \(t\)，形成一条路径 \(P\)。
设路径 \(P\) 上的最小流量为 \(\delta = \min_{e \in P} f(e)\)。
将 \(P\) 加入分解结果，并分配流量 \(\delta\)。
将 \(P\) 上每条边的流量减少 \(\delta\)（如果某边流量降为零，则从当前流中移除该边）。
更新 \(s\) 和 \(t\) 的净流出量：\(\text{net-out}(s) := \text{net-out}(s) - \delta\)，\(\text{net-out}(t) := \text{net-out}(t) + \delta\)。

重复以上过程，直到 \(\text{net-out}(s) = 0\)。

步骤 4：算法终止

当 \(\text{net-out}(s) = 0\) 时，所有从 \(s\) 到 \(t\) 的流量已被分解为若干条路径及其流量。每条路径 \(P\) 对应一个流量值 \(\delta_P\)，满足：

\[\sum_{P: s \leadsto t} \delta_P = F \]

且对于每条边 \(e\)：

\[f(e) = \sum_{P: e \in P} \delta_P \]

4. 举例说明

考虑以下有向图（边上的数字表示容量 \(c\) / 当前流 \(f\) ）：

    (a)
   /  \
 10/5   \5/5
 /       \
(s)-----(t)
   \  10/5
    \  /
     (b)

边列表：

\(s \to a\): 容量 10，流 5
\(s \to b\): 容量 10，流 5
\(a \to t\): 容量 5，流 5
\(b \to t\): 容量 5，流 5
\(a \to b\): 容量 5，流 0

流值 \(F = 10\)。

分解过程：

该流已经是无环的（没有正流量的环）。
从 \(s\) 出发：
- 路径1: \(s \to a \to t\)，最小流量 \(\delta_1 = 5\)。
  更新后：\(s \to a\) 流降为0，\(a \to t\) 流降为0。
- 路径2: \(s \to b \to t\)，最小流量 \(\delta_2 = 5\)。
  更新后：\(s \to b\) 流降为0，\(b \to t\) 流降为0。
流值已降为0，分解结束。

分解结果：

路径 \(s-a-t\) 流量 5
路径 \(s-b-t\) 流量 5

5. 算法复杂度

消环部分：使用拓扑排序检测环并调整，可在 \(O(mn)\) 时间内完成。
路径提取部分：每次提取一条路径需要 \(O(n)\) 时间，最多有 \(F\) 条路径（若流量为整数），但若使用最小流量提取，则路径数不超过 \(m\) 条。因此路径提取可在 \(O(mn)\) 时间内完成。
总复杂度：\(O(mn)\)。

6. 实际应用意义

流量分析：将抽象的最大流转化为具体的路径，便于理解网络的使用情况。
多路径路由：在通信网络中，最大流分解可用于分配流量到多条路径，实现负载均衡。
算法辅助：在列生成算法中，分解得到的路径可作为候选列加入主问题。

7. 扩展

分数流与整数流：若容量和流为整数，分解得到的路径流量也为整数。
环流处理：若允许环流存在，分解结果可能包含环，但通常环流对 \(s \to t\) 的流量无贡献，可忽略。
最小路径数分解：若希望用最少路径表示流，可转化为最小费用流问题，每次提取一条最大可能流量的路径。

通过以上步骤，我们可以将任何最大流分解为若干条从源到汇的路径及其流量，从而为网络流分析提供直观的结构信息。

基于线性规划的图最大流问题中流量分解与流路分解的算法示例 1. 问题描述给定一个有向图 \( G = (V, E) \)，每条边 \( e \in E \) 有一个非负容量 \( c(e) \)。图中有一个指定的源点 \( s \in V \) 和一个指定的汇点 \( t \in V \)。假设我们已经通过某种最大流算法（如 Ford-Fulkerson、Edmonds-Karp、Dinic 或 Push-Relabel 算法）求得了该网络的一个可行流 \( f: E \to \mathbb{R}^+ \)，且 \( f \) 是一个从 \( s \) 到 \( t \) 的最大流。流量分解（Flow Decomposition）的目标是：将任意一个可行流 \( f \) 分解成若干条从 \( s \) 到 \( t \) 的路径流（以及可能存在的环流），使得每条路径或环上的流量非负，且这些流量的总和恰好等于原流 \( f \) 在每条边上的流量。流路分解（Path Decomposition）是流量分解的一个特例，它要求分解结果仅由从 \( s \) 到 \( t \) 的路径组成（忽略环流），且每条路径上的流量为正。在最大流应用中，流量分解常用于：分析网络流的结构；提取实际的流路径（如数据传输路径、交通流路径）；为多商品流、流量分配等问题提供基础。 2. 基本思路对于一个可行流 \( f \)，我们可以通过以下步骤进行流量分解：消除环流：通过寻找并消除流中的环，将流转化为一个无环流（即不存在流量构成的环）。提取 \( s \to t \) 路径：从无环流中不断提取从 \( s \) 到 \( t \) 的路径，并分配流量，直到流值降为零。由于最大流算法通常不显式给出路径，分解过程需要基于流的边流量值进行。 3. 核心算法步骤步骤 1：建立辅助数据结构令当前流为 \( f \)。我们维护每个顶点的净流出量： \[ \text{net-out}(v) = \sum_ {(v,u) \in E} f(v,u) - \sum_ {(u,v) \in E} f(u,v) \] 对于可行流，除源点 \( s \) 和汇点 \( t \) 外，其他顶点均满足流量守恒：\(\text{net-out}(v) = 0\)。对于 \( s \) 和 \( t \)，有： \[ \text{net-out}(s) = F, \quad \text{net-out}(t) = -F \] 其中 \( F \) 是流的值。步骤 2：消除环流目标：将流 \( f \) 转化为一个等价的无环流（即不存在边流量全为正的环）。在 \( f \) 的正流量边（即 \( f(e) > 0 \) 的边）组成的子图中，使用深度优先搜索（DFS）寻找环。若找到一个环 \( C \)，设环上边的最小流量为 \( \delta = \min_ {e \in C} f(e) \)。将环上每条边的流量减少 \( \delta \)，这不会改变任何顶点的净流出量，因此流仍然是可行的。重复直到图中无环。正确性：每次消环至少使一条边的流量降为零，因此算法在 \( O(m \cdot F) \) 时间内结束（\( m \) 为边数），但若使用更高效的方法（如拓扑排序配合调整），可在 \( O(mn) \) 内完成。步骤 3：提取 \( s \to t \) 路径在无环流中，可以不断执行以下操作：从 \( s \) 出发，沿着任意一条流量为正的边前进。由于图无环且除 \( s \) 和 \( t \) 外流量守恒，最终一定能到达 \( t \)，形成一条路径 \( P \)。设路径 \( P \) 上的最小流量为 \( \delta = \min_ {e \in P} f(e) \)。将 \( P \) 加入分解结果，并分配流量 \( \delta \)。将 \( P \) 上每条边的流量减少 \( \delta \)（如果某边流量降为零，则从当前流中移除该边）。更新 \( s \) 和 \( t \) 的净流出量：\(\text{net-out}(s) := \text{net-out}(s) - \delta\)，\(\text{net-out}(t) := \text{net-out}(t) + \delta\)。重复以上过程，直到 \(\text{net-out}(s) = 0\)。步骤 4：算法终止当 \(\text{net-out}(s) = 0\) 时，所有从 \( s \) 到 \( t \) 的流量已被分解为若干条路径及其流量。每条路径 \( P \) 对应一个流量值 \( \delta_ P \)，满足： \[ \sum_ {P: s \leadsto t} \delta_ P = F \] 且对于每条边 \( e \)： \[ f(e) = \sum_ {P: e \in P} \delta_ P \] 4. 举例说明考虑以下有向图（边上的数字表示容量 \( c \) / 当前流 \( f \) ）：边列表： \( s \to a \): 容量 10，流 5 \( s \to b \): 容量 10，流 5 \( a \to t \): 容量 5，流 5 \( b \to t \): 容量 5，流 5 \( a \to b \): 容量 5，流 0 流值 \( F = 10 \)。分解过程：该流已经是无环的（没有正流量的环）。从 \( s \) 出发：路径1: \( s \to a \to t \)，最小流量 \( \delta_ 1 = 5 \)。更新后：\( s \to a \) 流降为0，\( a \to t \) 流降为0。路径2: \( s \to b \to t \)，最小流量 \( \delta_ 2 = 5 \)。更新后：\( s \to b \) 流降为0，\( b \to t \) 流降为0。流值已降为0，分解结束。分解结果：路径 \( s-a-t \) 流量 5 路径 \( s-b-t \) 流量 5 5. 算法复杂度消环部分：使用拓扑排序检测环并调整，可在 \( O(mn) \) 时间内完成。路径提取部分：每次提取一条路径需要 \( O(n) \) 时间，最多有 \( F \) 条路径（若流量为整数），但若使用最小流量提取，则路径数不超过 \( m \) 条。因此路径提取可在 \( O(mn) \) 时间内完成。总复杂度：\( O(mn) \)。 6. 实际应用意义流量分析：将抽象的最大流转化为具体的路径，便于理解网络的使用情况。多路径路由：在通信网络中，最大流分解可用于分配流量到多条路径，实现负载均衡。算法辅助：在列生成算法中，分解得到的路径可作为候选列加入主问题。 7. 扩展分数流与整数流：若容量和流为整数，分解得到的路径流量也为整数。环流处理：若允许环流存在，分解结果可能包含环，但通常环流对 \( s \to t \) 的流量无贡献，可忽略。最小路径数分解：若希望用最少路径表示流，可转化为最小费用流问题，每次提取一条最大可能流量的路径。通过以上步骤，我们可以将任何最大流分解为若干条从源到汇的路径及其流量，从而为网络流分析提供直观的结构信息。