非线性规划中的信赖域反射共轭梯度法进阶题：处理大规模、稀疏、非凸问题

字数 3740 2025-12-20 01:30:11

非线性规划中的信赖域反射共轭梯度法进阶题：处理大规模、稀疏、非凸问题

题目描述

考虑以下大规模、稀疏、非凸约束优化问题：

\[\begin{aligned} \min_{x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & c_i(x) = 0, \quad i \in \mathcal{E}, \\ & c_i(x) \ge 0, \quad i \in \mathcal{I}, \end{aligned} \]

其中：

决策变量 $x \in \mathbb{R}^n$，维度 $n$ 很大（例如 $n \ge 10^4$）。
目标函数 $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 是非凸、二阶连续可微的，其Hessian矩阵 $\nabla^2 f(x)$ 是大规模且稀疏的。
约束函数 $c_i(x)$ 也是二阶连续可微的，且约束的雅可比矩阵 $J(x) = [\nabla c_1(x), \dots, \nabla c_m(x)]^T$ 同样是大规模稀疏的。
可行域可能非凸，且约束数量 $m = |\mathcal{E}| + |\mathcal{I}|$ 可以与 $n$ 相当或更大。

进阶要求：设计一个结合信赖域反射法与共轭梯度法的混合算法，以高效处理此类大规模、稀疏、非凸问题，并保证在约束违反度和目标下降之间取得平衡。

解题过程

第一步：问题重构与算法框架

对于大规模问题，直接求解完整的二次子问题（如SQP的子问题）计算成本过高。因此，我们采用信赖域反射法处理约束，并结合共轭梯度法在信赖域内近似求解子问题。

算法框架：

外层迭代：在每一步，构造一个简化模型，在信赖域内寻找步长。
内层迭代：使用共轭梯度法求解线性化约束下的约化子问题，利用Hessian和雅可比矩阵的稀疏性加速。
反射策略：当迭代点接近约束边界时，通过反射操作保持可行性或减少约束违反度。

第二步：构造线性化约束与约化子问题

在第 $k$ 次迭代，当前点为 $x_k$。我们线性化约束：

\[c_i(x_k + s) \approx c_i(x_k) + \nabla c_i(x_k)^T s. \]

定义约束违反度量：

\[\Phi(x) = \frac{1}{2} \left( \sum_{i \in \mathcal{E}} c_i(x)^2 + \sum_{i \in \mathcal{I}} [\min(0, c_i(x))]^2 \right). \]

在信赖域半径 $\Delta_k$ 内，我们希望同时减少目标函数和约束违反度。因此，构造如下复合模型：

\[m_k(s) = \theta_k \nabla f(x_k)^T s + (1 - \theta_k) \nabla \Phi(x_k)^T s + \frac{1}{2} s^T H_k s, \]

其中：

$H_k$ 是 $\nabla^2 f(x_k)$ 或它的稀疏拟牛顿近似（如有限内存BFGS）。
$\theta_k \in [0,1]$ 是权重参数，用于平衡目标和约束违反度。

约束线性化后的可行域：

\[\mathcal{F}_k = \{ s \mid c_i(x_k) + \nabla c_i(x_k)^T s = 0, i \in \mathcal{E}; \ c_i(x_k) + \nabla c_i(x_k)^T s \ge 0, i \in \mathcal{I} \}. \]

子问题变为：

\[\min_{s \in \mathcal{F}_k} m_k(s) \quad \text{s.t.} \quad \|s\| \le \Delta_k. \]

第三步：使用共轭梯度法求解子问题

由于 $H_k$ 稀疏且问题规模大，我们使用预处理共轭梯度法在信赖域内求解。关键步骤：

投影到零空间：将步长 $s$ 分解为 $s = s_N + s_T$，其中 $s_N$ 在约束雅可比矩阵的零空间中，$s_T$ 在行空间中。通过QR分解或稀疏LU分解雅可比矩阵的有效集，得到零空间基 $Z_k$。
约化问题：令 $s = Z_k p$，代入模型得到关于 $p$ 的约化问题：

\[ \min_p \left( \theta_k g_k^T Z_k p + (1-\theta_k) h_k^T Z_k p + \frac{1}{2} p^T (Z_k^T H_k Z_k) p \right), \]

其中 $g_k = \nabla f(x_k)$，$h_k = \nabla \Phi(x_k)$。约束变为 $\|Z_k p\| \le \Delta_k$。

共轭梯度迭代：在每次CG迭代中，仅需计算矩阵-向量乘积 $(Z_k^T H_k Z_k) p$，利用 $H_k$ 和 $Z_k$ 的稀疏性高效计算。
截断处理：当CG迭代步长触及信赖域边界时，截断并得到近似解 $s_k$。

第四步：反射操作与可行性保持

如果 $x_k + s_k$ 违反约束（尤其是不等式约束），进行反射：

对于越界的不等式约束 $c_i(x_k + s_k) < 0$，计算反射步 $s_k' = s_k + \alpha r_k$，其中 $r_k$ 是约束梯度的组合方向，$\alpha$ 使得 $c_i(x_k + s_k') \ge 0$。
反射后重新检查信赖域约束 $\|s_k'\| \le \Delta_k$。

第五步：接受准则与信赖域更新

定义实际下降量：

\[\text{Ared}_k = \theta_k [f(x_k) - f(x_k + s_k)] + (1-\theta_k) [\Phi(x_k) - \Phi(x_k + s_k)]. \]

预测下降量：

\[\text{Pred}_k = m_k(0) - m_k(s_k). \]

计算比值：

\[\rho_k = \frac{\text{Ared}_k}{\text{Pred}_k}. \]

更新规则：

若 $\rho_k > \eta_1$（例如 $\eta_1 = 0.01$），接受步长 $s_k$，更新 $x_{k+1} = x_k + s_k$。
否则，拒绝步长，缩小信赖域半径 $\Delta_{k+1} = \gamma_1 \Delta_k$（例如 $\gamma_1 = 0.5$）。
若 $\rho_k > \eta_2$（例如 $\eta_2 = 0.9$），增大信赖域半径 $\Delta_{k+1} = \min(\gamma_2 \Delta_k, \Delta_{\max})$（例如 $\gamma_2 = 2$）。

权重 $\theta_k$ 自适应更新：如果约束违反度 $\Phi(x_k)$ 较大，减小 $\theta_k$ 以优先降低违反度；反之，增大 $\theta_k$ 以优化目标。

第六步：收敛性条件

算法在以下条件之一满足时停止：

最优性条件：$\|\nabla f(x_k) + J_k^T \lambda_k\| \le \epsilon_1$ 且 $\Phi(x_k) \le \epsilon_2$。
信赖域半径足够小：$\Delta_k \le \epsilon_3$。
迭代步长足够小：$\|s_k\| \le \epsilon_4$。

第七步：算法优势与适用场景

稀疏性利用：共轭梯度法仅需矩阵-向量乘积，适合大规模稀疏Hessian和雅可比矩阵。
非凸处理：信赖域框架保证模型充分下降，避免陷入鞍点。
约束平衡：自适应权重 $\theta_k$ 和反射机制有效处理约束违反。
内存效率：有限内存BFGS或稀疏拟牛顿更新避免存储稠密Hessian。

此混合算法特别适用于大规模稀疏非线性规划问题，如网络流优化、有限元分析中的参数反演、大规模机器学习模型训练带复杂约束等场景。通过结合信赖域反射法的鲁棒性和共轭梯度法的计算效率，能在非凸环境中实现稳定收敛。

非线性规划中的信赖域反射共轭梯度法进阶题：处理大规模、稀疏、非凸问题题目描述考虑以下大规模、稀疏、非凸约束优化问题： $$ \begin{aligned} \min_ {x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & c_ i(x) = 0, \quad i \in \mathcal{E}, \\ & c_ i(x) \ge 0, \quad i \in \mathcal{I}, \end{aligned} $$ 其中：决策变量 $ x \in \mathbb{R}^n $，维度 $ n $ 很大（例如 $ n \ge 10^4 $）。目标函数 $ f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} $ 是非凸、二阶连续可微的，其Hessian矩阵 $ \nabla^2 f(x) $ 是大规模且稀疏的。约束函数 $ c_ i(x) $ 也是二阶连续可微的，且约束的雅可比矩阵 $ J(x) = [ \nabla c_ 1(x), \dots, \nabla c_ m(x) ]^T $ 同样是大规模稀疏的。可行域可能非凸，且约束数量 $ m = |\mathcal{E}| + |\mathcal{I}| $ 可以与 $ n $ 相当或更大。进阶要求：设计一个结合信赖域反射法与共轭梯度法的混合算法，以高效处理此类大规模、稀疏、非凸问题，并保证在约束违反度和目标下降之间取得平衡。解题过程第一步：问题重构与算法框架对于大规模问题，直接求解完整的二次子问题（如SQP的子问题）计算成本过高。因此，我们采用信赖域反射法处理约束，并结合共轭梯度法在信赖域内近似求解子问题。算法框架：外层迭代：在每一步，构造一个简化模型，在信赖域内寻找步长。内层迭代：使用共轭梯度法求解线性化约束下的约化子问题，利用Hessian和雅可比矩阵的稀疏性加速。反射策略：当迭代点接近约束边界时，通过反射操作保持可行性或减少约束违反度。第二步：构造线性化约束与约化子问题在第 $ k $ 次迭代，当前点为 $ x_ k $。我们线性化约束： $$ c_ i(x_ k + s) \approx c_ i(x_ k) + \nabla c_ i(x_ k)^T s. $$ 定义约束违反度量： $$ \Phi(x) = \frac{1}{2} \left( \sum_ {i \in \mathcal{E}} c_ i(x)^2 + \sum_ {i \in \mathcal{I}} [ \min(0, c_ i(x)) ]^2 \right). $$ 在信赖域半径 $ \Delta_ k $ 内，我们希望同时减少目标函数和约束违反度。因此，构造如下复合模型： $$ m_ k(s) = \theta_ k \nabla f(x_ k)^T s + (1 - \theta_ k) \nabla \Phi(x_ k)^T s + \frac{1}{2} s^T H_ k s, $$ 其中： $ H_ k $ 是 $ \nabla^2 f(x_ k) $ 或它的稀疏拟牛顿近似（如有限内存BFGS）。 $ \theta_ k \in [ 0,1 ] $ 是权重参数，用于平衡目标和约束违反度。约束线性化后的可行域： $$ \mathcal{F} k = \{ s \mid c_ i(x_ k) + \nabla c_ i(x_ k)^T s = 0, i \in \mathcal{E}; \ c_ i(x_ k) + \nabla c_ i(x_ k)^T s \ge 0, i \in \mathcal{I} \}. $$ 子问题变为： $$ \min {s \in \mathcal{F}_ k} m_ k(s) \quad \text{s.t.} \quad \|s\| \le \Delta_ k. $$ 第三步：使用共轭梯度法求解子问题由于 $ H_ k $ 稀疏且问题规模大，我们使用预处理共轭梯度法在信赖域内求解。关键步骤：投影到零空间：将步长 $ s $ 分解为 $ s = s_ N + s_ T $，其中 $ s_ N $ 在约束雅可比矩阵的零空间中，$ s_ T $ 在行空间中。通过QR分解或稀疏LU分解雅可比矩阵的有效集，得到零空间基 $ Z_ k $。约化问题：令 $ s = Z_ k p $，代入模型得到关于 $ p $ 的约化问题： $$ \min_ p \left( \theta_ k g_ k^T Z_ k p + (1-\theta_ k) h_ k^T Z_ k p + \frac{1}{2} p^T (Z_ k^T H_ k Z_ k) p \right), $$ 其中 $ g_ k = \nabla f(x_ k) $，$ h_ k = \nabla \Phi(x_ k) $。约束变为 $ \|Z_ k p\| \le \Delta_ k $。共轭梯度迭代：在每次CG迭代中，仅需计算矩阵-向量乘积 $ (Z_ k^T H_ k Z_ k) p $，利用 $ H_ k $ 和 $ Z_ k $ 的稀疏性高效计算。截断处理：当CG迭代步长触及信赖域边界时，截断并得到近似解 $ s_ k $。第四步：反射操作与可行性保持如果 $ x_ k + s_ k $ 违反约束（尤其是不等式约束），进行反射：对于越界的不等式约束 $ c_ i(x_ k + s_ k) < 0 $，计算反射步 $ s_ k' = s_ k + \alpha r_ k $，其中 $ r_ k $ 是约束梯度的组合方向，$ \alpha $ 使得 $ c_ i(x_ k + s_ k') \ge 0 $。反射后重新检查信赖域约束 $ \|s_ k'\| \le \Delta_ k $。第五步：接受准则与信赖域更新定义实际下降量： $$ \text{Ared}_ k = \theta_ k [ f(x_ k) - f(x_ k + s_ k)] + (1-\theta_ k) [ \Phi(x_ k) - \Phi(x_ k + s_ k) ]. $$ 预测下降量： $$ \text{Pred}_ k = m_ k(0) - m_ k(s_ k). $$ 计算比值： $$ \rho_ k = \frac{\text{Ared}_ k}{\text{Pred}_ k}. $$ 更新规则：若 $ \rho_ k > \eta_ 1 $（例如 $ \eta_ 1 = 0.01 $），接受步长 $ s_ k $，更新 $ x_ {k+1} = x_ k + s_ k $。否则，拒绝步长，缩小信赖域半径 $ \Delta_ {k+1} = \gamma_ 1 \Delta_ k $（例如 $ \gamma_ 1 = 0.5 $）。若 $ \rho_ k > \eta_ 2 $（例如 $ \eta_ 2 = 0.9 $），增大信赖域半径 $ \Delta_ {k+1} = \min(\gamma_ 2 \Delta_ k, \Delta_ {\max}) $（例如 $ \gamma_ 2 = 2 $）。权重 $ \theta_ k $ 自适应更新：如果约束违反度 $ \Phi(x_ k) $ 较大，减小 $ \theta_ k $ 以优先降低违反度；反之，增大 $ \theta_ k $ 以优化目标。第六步：收敛性条件算法在以下条件之一满足时停止：最优性条件：$ \|\nabla f(x_ k) + J_ k^T \lambda_ k\| \le \epsilon_ 1 $ 且 $ \Phi(x_ k) \le \epsilon_ 2 $。信赖域半径足够小：$ \Delta_ k \le \epsilon_ 3 $。迭代步长足够小：$ \|s_ k\| \le \epsilon_ 4 $。第七步：算法优势与适用场景稀疏性利用：共轭梯度法仅需矩阵-向量乘积，适合大规模稀疏Hessian和雅可比矩阵。非凸处理：信赖域框架保证模型充分下降，避免陷入鞍点。约束平衡：自适应权重 $ \theta_ k $ 和反射机制有效处理约束违反。内存效率：有限内存BFGS或稀疏拟牛顿更新避免存储稠密Hessian。此混合算法特别适用于大规模稀疏非线性规划问题，如网络流优化、有限元分析中的参数反演、大规模机器学习模型训练带复杂约束等场景。通过结合信赖域反射法的鲁棒性和共轭梯度法的计算效率，能在非凸环境中实现稳定收敛。