区间动态规划例题：石子合并的最小化最终方差问题

字数 4438 2025-12-20 01:13:10

区间动态规划例题：石子合并的最小化最终方差问题

题目描述

给定一个长度为 \(n\) 的数组 \(stones\)，表示一排石子堆，每堆石子的重量为 \(stones[i]\)。你可以进行 \(n-1\) 次合并操作，每次合并相邻的两堆石子，合并的成本为这两堆石子的重量之和，合并后的新堆重量为两堆重量之和。目标是：经过所有合并操作后，只剩下一堆石子，最小化最终这堆石子的重量的方差（即最小化最终重量与某个目标值 \(T\) 的差的平方，但这里 \(T\) \) 是未知的，我们需要通过合并顺序来最小化最终重量的方差）。但题目可以简化表述为：
给定数组 \(stones\)，合并相邻石子堆，每次合并成本为两堆重量和，最终得到一堆总重量为 \(S = \sum stones[i]\) 的石子。我们需要最小化合并过程中所有中间合并产生的“成本”的方差吗？不是，仔细澄清一下。

更准确的定义如下：
设合并过程中，每次合并时记录合并的两堆重量之和（即合并成本）。经过 \(n-1\) 次合并后，会得到一个长度为 \(n-1\) 的成本序列 \(c_1, c_2, \dots, c_{n-1}\)。最终总成本（即总耗费）是固定的，等于 \(S \times (n-1)\) 吗？不对，总成本是 \(\sum c_i\)，而这个总成本实际上等于 \(S \times (n-1)\) 吗？我们需要推导。

实际上，每次合并的成本是合并的两堆重量之和，而每次合并后，新堆的重量会被后续合并多次计算。一个经典结论是：在相邻石子合并问题中，总合并成本 = 每堆石子的原始重量 × 该堆石子参与合并的次数。而这个“参与次数”取决于它被合并的时机。因此，总成本是固定的吗？不是，不同的合并顺序会导致不同的总成本。等等，这与我们熟知的“每次合并成本=两堆之和”的问题不同，经典问题是求最小总成本，而这里是求最小化最终重量的方差。让我们重新明确：

最终重量方差 的定义是：设最终合并得到的一堆石子重量为 \(W\)（显然 \(W = S\) 是固定的，因为不管怎么合并，总重量不会变），但方差是对“最终重量”而言的，而最终重量是固定的 \(S\)，因此方差为0，这没有意义。
所以这里“方差”实际上是指合并过程中每一步合并得到的新堆重量的方差。即，每次合并后产生一个新堆，其重量是合并的两堆之和，我们需要记录这个新堆的重量，最终得到一个重量序列（长度为 \(n-1\)），然后计算这个序列的方差，并最小化这个方差。

但这样也不常见，常见的变形是：最小化合并过程中产生的最大合并成本（即最小化每一步合并的两堆之和的最大值），这可以用区间DP。但我们这里要求的是最小化合并成本序列的方差，即让合并过程尽量平稳，避免某次合并突然很大或很小。

为了让题目可解，我们明确为：

给定 \(stones[1..n]\)，合并相邻石子堆，每次合并的成本 = 两堆重量之和，合并后新堆重量 = 两堆之和。记录每次合并的成本，得到一个成本序列 \(c_1, c_2, \dots, c_{n-1}\)。要最小化这个成本序列的方差，即

\[ > \text{方差} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n-1} (c_i - \bar{c})^2 > \]

其中 \(\bar{c}\) 是成本序列的平均值。注意 \(\sum c_i\) 并不是常数，因为不同的合并顺序会得到不同的总成本。

解题思路

方差 = \(E(c^2) - (E(c))^2\)。
设总成本 \(T = \sum c_i\)，平均值 \(\bar{c} = T/(n-1)\)。
方差 = \(\frac{1}{n-1} \sum c_i^2 - \frac{T^2}{(n-1)^2}\)。
因为 \(n\) 固定，所以最小化方差等价于最小化 \(\sum c_i^2\)，因为 \(T^2\) 是 \(T\) 的函数，而 \(T\) 是变化的，不能单独处理。但 \(T\) 实际上等于 \(\sum_{i=1}^n stones[i] \times (\text{该堆参与合并的次数})\)，而“参与次数”等于该堆所在的合并区间在合并树中的深度。经典结论：总成本 \(T = \sum_{i=1}^n w_i \times (\text{该堆被合并的次数})\)，且次数 = 该堆在合并树中到根的距离（叶子的深度）。不同的合并顺序对应不同的二叉树结构，叶子的深度不同，所以 \(T\) 可变。
因此，最小化方差需要同时考虑 \(\sum c_i^2\) 和 \(T^2\)，不能简单化为只最小化平方和。

但我们可以用DP状态记录 \(T\) 和 \(\sum c_i^2\) 吗？复杂度太高。通常这类“最小化方差”问题，在区间DP中，我们可以用最小化每一步的平方和作为目标，因为方差与平方和、总和有关。但这里总成本 \(T\) 会变化，所以不能直接只最小化平方和。

不过，一个经典技巧是：方差最小化等价于最小化平方和，当平均值固定时。但这里平均值不固定，所以我们需要枚举可能的平均值？不可行。
另一种方法：方差 = \(\min_{a} \sum (c_i - a)^2 / (n-1)\)，对固定的序列，当 \(a = \bar{c}\) 时取最小。所以我们的目标 = \(\min_{\text{合并顺序}} \min_{a} \sum (c_i - a)^2\)。交换次序：\(\min_{a} \min_{\text{合并顺序}} \sum (c_i - a)^2\)。对固定的 \(a\)，我们可以定义一个新的成本：每次合并成本为两堆之和 \(c\)，但贡献到目标函数的是 \((c-a)^2\)。这样就是一个新的区间DP问题：合并相邻石子，每次合并的代价为 \((c-a)^2\)，求最小总代价。然后外层枚举 \(a\) 找到最小总代价。

但 \(a\) 是实数，不可枚举所有。注意到 \(c\) 是整数（石子重量整数），\(a\) 可以离散化到所有可能的合并成本值附近。但合并成本是连续的吗？不，合并成本是石子重量的和，是整数。所以 \(a\) 在整数附近枚举可能的最优值。但 \(a\) 的取值可能很多。更实际的是：我们观察到方差是凸函数，可以三分搜索 \(a\) 来找到最小方差。

算法步骤：

计算前缀和 \(prefix\)，方便快速得到区间和。
对于给定的参数 \(a\)，定义 \(dp[i][j]\) 表示合并区间 \([i, j]\) 的石子成一堆时，最小的 \(\sum (c_k - a)^2\) 值，其中 \(c_k\) 是这个区间合并过程中每次合并的成本。
转移：最后一次合并是将 \([i, k]\) 和 \([k+1, j]\) 两堆合并，成本为 \(sum(i,j)\)（区间和）。在此之前，左区间合并的代价和为 \(dp[i][k]\)，右区间为 \(dp[k+1][j]\)。所以：

\[ dp[i][j] = \min_{i \le k < j} \{ dp[i][k] + dp[k+1][j] + (sum(i,j) - a)^2 \} \]

初始化：当 \(i=j\) 时，区间只有一堆，不需要合并，所以合并成本序列为空，\(dp[i][i] = 0\)。
4. 最终答案 = \(dp[1][n]\) 对应这个 \(a\) 的最小平方偏差和。方差 = 这个值除以 \((n-1)\)。
5. 外层三分搜索 \(a\) 在某个范围（如 \([0, S]\)），找到最小的 \(dp[1][n]\)，然后得到最小方差。

细节与解释

为什么可以这样定义 \(dp\)？
因为合并区间 \([i,j]\) 时，无论内部如何合并，最终这堆重量一定是 \(sum(i,j)\)，且合并过程形成一棵二叉树，叶子的合并成本是树的内部节点的权值（左右子重量和）。这棵树的每个内部节点的权值为左右子树重量和，我们的目标是让这些节点权值与 \(a\) 的差的平方和最小。这正好是树形DP，但可以化作区间DP，因为合并顺序对应二叉树的结构，可以用区间DP枚举最后一次合并的分割点。
时间复杂度：
区间DP本身 \(O(n^3)\)，外层三分搜索 \(a\) 需要 \(O(\log (S/\epsilon))\) 次迭代，\(S\) 是总重量。所以总复杂度 \(O(n^3 \log S)\)，在 \(n \le 100\) 时可行。
边界：
\(a\) 的搜索范围是 \([0, S]\)，因为每次合并成本至少是两堆最小和，最多是 \(S\)，但实际 \(a\) 可能在平均值附近，取 \([0, S]\) 安全。
实现注意：
DP 时用前缀和快速计算 \(sum(i,j)\)。三分搜索时比较 \(dp\) 值，取使 \(dp\) 最小的 \(a\)。

举例说明

设 \(stones = [1, 2, 3]\)：
总重量 \(S=6\)，\(n=3\) 需要合并2次。
搜索 \(a\) 从0到6，比如 \(a=3\)：

区间[1,1]：dp=0，[2,2]：0，[3,3]：0。
区间[1,2]：合并成本=1+2=3，平方偏差=(3-3)^2=0，dp=0+0+0=0。
区间[2,3]：合并成本=5，平方偏差=4，dp=0+0+4=4。
区间[1,3]：枚举k=1时，左[1,1]右[2,3]，合并成本=6，平方偏差=9，总=0+4+9=13；k=2时，左[1,2]右[3,3]，合并成本=6，平方偏差=9，总=0+0+9=9。取最小9。
所以 \(a=3\) 时总平方偏差=9，方差=9/2=4.5。

尝试其他 \(a\) 找到更小的总平方偏差。

总结

这个问题的核心是：

将最小化方差转化为对参数 \(a\) 的最小化平方偏差和问题。
对每个 \(a\)，用区间DP计算最小平方偏差和。
用三分搜索找到最优的 \(a\)。

这样就能求出合并顺序，使得合并成本序列的方差最小，从而使合并过程更加平稳。

区间动态规划例题：石子合并的最小化最终方差问题题目描述给定一个长度为 \( n \) 的数组 \( stones \)，表示一排石子堆，每堆石子的重量为 \( stones[ i] \)。你可以进行 \( n-1 \) 次合并操作，每次合并相邻的两堆石子，合并的成本为这两堆石子的重量之和，合并后的新堆重量为两堆重量之和。目标是：经过所有合并操作后，只剩下一堆石子，最小化最终这堆石子的重量的方差（即最小化最终重量与某个目标值 \( T \) 的差的平方，但这里 \( T \) \) 是未知的，我们需要通过合并顺序来最小化最终重量的方差）。但题目可以简化表述为：给定数组 \( stones \)，合并相邻石子堆，每次合并成本为两堆重量和，最终得到一堆总重量为 \( S = \sum stones[ i] \) 的石子。我们需要最小化合并过程中所有中间合并产生的“成本”的方差吗？不是，仔细澄清一下。更准确的定义如下：设合并过程中，每次合并时记录合并的两堆重量之和（即合并成本）。经过 \( n-1 \) 次合并后，会得到一个长度为 \( n-1 \) 的成本序列 \( c_ 1, c_ 2, \dots, c_ {n-1} \)。最终总成本（即总耗费）是固定的，等于 \( S \times (n-1) \) 吗？不对，总成本是 \( \sum c_ i \)，而这个总成本实际上等于 \( S \times (n-1) \) 吗？我们需要推导。实际上，每次合并的成本是合并的两堆重量之和，而每次合并后，新堆的重量会被后续合并多次计算。一个经典结论是：在相邻石子合并问题中，总合并成本 = 每堆石子的原始重量 × 该堆石子参与合并的次数。而这个“参与次数”取决于它被合并的时机。因此，总成本是固定的吗？不是，不同的合并顺序会导致不同的总成本。等等，这与我们熟知的“每次合并成本=两堆之和”的问题不同，经典问题是求最小总成本，而这里是求最小化最终重量的方差。让我们重新明确：最终重量方差的定义是：设最终合并得到的一堆石子重量为 \( W \)（显然 \( W = S \) 是固定的，因为不管怎么合并，总重量不会变），但方差是对“最终重量”而言的，而最终重量是固定的 \( S \)，因此方差为0，这没有意义。所以这里“方差”实际上是指合并过程中每一步合并得到的新堆重量的方差。即，每次合并后产生一个新堆，其重量是合并的两堆之和，我们需要记录这个新堆的重量，最终得到一个重量序列（长度为 \( n-1 \)），然后计算这个序列的方差，并最小化这个方差。但这样也不常见，常见的变形是：最小化合并过程中产生的最大合并成本（即最小化每一步合并的两堆之和的最大值），这可以用区间DP。但我们这里要求的是最小化合并成本序列的方差，即让合并过程尽量平稳，避免某次合并突然很大或很小。为了让题目可解，我们明确为：给定 \( stones[ 1..n] \)，合并相邻石子堆，每次合并的成本 = 两堆重量之和，合并后新堆重量 = 两堆之和。记录每次合并的成本，得到一个成本序列 \( c_ 1, c_ 2, \dots, c_ {n-1} \)。要最小化这个成本序列的方差，即 \[ \text{方差} = \frac{1}{n-1} \sum_ {i=1}^{n-1} (c_ i - \bar{c})^2 \] 其中 \( \bar{c} \) 是成本序列的平均值。注意 \( \sum c_ i \) 并不是常数，因为不同的合并顺序会得到不同的总成本。解题思路方差 = \( E(c^2) - (E(c))^2 \)。设总成本 \( T = \sum c_ i \)，平均值 \( \bar{c} = T/(n-1) \)。方差 = \( \frac{1}{n-1} \sum c_ i^2 - \frac{T^2}{(n-1)^2} \)。因为 \( n \) 固定，所以最小化方差等价于最小化 \( \sum c_ i^2 \)，因为 \( T^2 \) 是 \( T \) 的函数，而 \( T \) 是变化的，不能单独处理。但 \( T \) 实际上等于 \( \sum_ {i=1}^n stones[ i] \times (\text{该堆参与合并的次数}) \)，而“参与次数”等于该堆所在的合并区间在合并树中的深度。经典结论：总成本 \( T = \sum_ {i=1}^n w_ i \times (\text{该堆被合并的次数}) \)，且次数 = 该堆在合并树中到根的距离（叶子的深度）。不同的合并顺序对应不同的二叉树结构，叶子的深度不同，所以 \( T \) 可变。因此，最小化方差需要同时考虑 \( \sum c_ i^2 \) 和 \( T^2 \)，不能简单化为只最小化平方和。但我们可以用DP状态记录 \( T \) 和 \( \sum c_ i^2 \) 吗？复杂度太高。通常这类“最小化方差”问题，在区间DP中，我们可以用最小化每一步的平方和作为目标，因为方差与平方和、总和有关。但这里总成本 \( T \) 会变化，所以不能直接只最小化平方和。不过，一个经典技巧是：方差最小化等价于最小化平方和，当平均值固定时。但这里平均值不固定，所以我们需要枚举可能的平均值？不可行。另一种方法：方差 = \( \min_ {a} \sum (c_ i - a)^2 / (n-1) \)，对固定的序列，当 \( a = \bar{c} \) 时取最小。所以我们的目标 = \( \min_ {\text{合并顺序}} \min_ {a} \sum (c_ i - a)^2 \)。交换次序：\( \min_ {a} \min_ {\text{合并顺序}} \sum (c_ i - a)^2 \)。对固定的 \( a \)，我们可以定义一个新的成本：每次合并成本为两堆之和 \( c \)，但贡献到目标函数的是 \( (c-a)^2 \)。这样就是一个新的区间DP问题：合并相邻石子，每次合并的代价为 \( (c-a)^2 \)，求最小总代价。然后外层枚举 \( a \) 找到最小总代价。但 \( a \) 是实数，不可枚举所有。注意到 \( c \) 是整数（石子重量整数），\( a \) 可以离散化到所有可能的合并成本值附近。但合并成本是连续的吗？不，合并成本是石子重量的和，是整数。所以 \( a \) 在整数附近枚举可能的最优值。但 \( a \) 的取值可能很多。更实际的是：我们观察到方差是凸函数，可以三分搜索 \( a \) 来找到最小方差。算法步骤：计算前缀和 \( prefix \)，方便快速得到区间和。对于给定的参数 \( a \)，定义 \( dp[ i][ j] \) 表示合并区间 \([ i, j]\) 的石子成一堆时，最小的 \( \sum (c_ k - a)^2 \) 值，其中 \( c_ k \) 是这个区间合并过程中每次合并的成本。转移：最后一次合并是将 \([ i, k]\) 和 \([ k+1, j]\) 两堆合并，成本为 \( sum(i,j) \)（区间和）。在此之前，左区间合并的代价和为 \( dp[ i][ k] \)，右区间为 \( dp[ k+1][ j ] \)。所以： \[ dp[ i][ j] = \min_ {i \le k < j} \{ dp[ i][ k] + dp[ k+1][ j ] + (sum(i,j) - a)^2 \} \] 初始化：当 \( i=j \) 时，区间只有一堆，不需要合并，所以合并成本序列为空，\( dp[ i][ i ] = 0 \)。最终答案 = \( dp[ 1][ n ] \) 对应这个 \( a \) 的最小平方偏差和。方差 = 这个值除以 \( (n-1) \)。外层三分搜索 \( a \) 在某个范围（如 \([ 0, S]\)），找到最小的 \( dp[ 1][ n ] \)，然后得到最小方差。细节与解释为什么可以这样定义 \( dp \) ？因为合并区间 \([ i,j ]\) 时，无论内部如何合并，最终这堆重量一定是 \( sum(i,j) \)，且合并过程形成一棵二叉树，叶子的合并成本是树的内部节点的权值（左右子重量和）。这棵树的每个内部节点的权值为左右子树重量和，我们的目标是让这些节点权值与 \( a \) 的差的平方和最小。这正好是树形DP，但可以化作区间DP，因为合并顺序对应二叉树的结构，可以用区间DP枚举最后一次合并的分割点。时间复杂度：区间DP本身 \( O(n^3) \)，外层三分搜索 \( a \) 需要 \( O(\log (S/\epsilon)) \) 次迭代，\( S \) 是总重量。所以总复杂度 \( O(n^3 \log S) \)，在 \( n \le 100 \) 时可行。边界： \( a \) 的搜索范围是 \( [ 0, S] \)，因为每次合并成本至少是两堆最小和，最多是 \( S \)，但实际 \( a \) 可能在平均值附近，取 \( [ 0, S ] \) 安全。实现注意： DP 时用前缀和快速计算 \( sum(i,j) \)。三分搜索时比较 \( dp \) 值，取使 \( dp \) 最小的 \( a \)。举例说明设 \( stones = [ 1, 2, 3 ] \)：总重量 \( S=6 \)，\( n=3 \) 需要合并2次。搜索 \( a \) 从0到6，比如 \( a=3 \)：区间[ 1,1]：dp=0，[ 2,2]：0，[ 3,3 ]：0。区间[ 1,2 ]：合并成本=1+2=3，平方偏差=(3-3)^2=0，dp=0+0+0=0。区间[ 2,3 ]：合并成本=5，平方偏差=4，dp=0+0+4=4。区间[ 1,3]：枚举k=1时，左[ 1,1]右[ 2,3]，合并成本=6，平方偏差=9，总=0+4+9=13；k=2时，左[ 1,2]右[ 3,3 ]，合并成本=6，平方偏差=9，总=0+0+9=9。取最小9。所以 \( a=3 \) 时总平方偏差=9，方差=9/2=4.5。尝试其他 \( a \) 找到更小的总平方偏差。总结这个问题的核心是：将最小化方差转化为对参数 \( a \) 的最小化平方偏差和问题。对每个 \( a \)，用区间DP计算最小平方偏差和。用三分搜索找到最优的 \( a \)。这样就能求出合并顺序，使得合并成本序列的方差最小，从而使合并过程更加平稳。