最小生成树唯一性判定
字数 3346 2025-12-20 00:44:12

最小生成树唯一性判定

1. 问题描述

给定一个无向连通图 \(G=(V,E)\)，每条边 \(e \in E\) 有权重 \(w(e)\)。我们已求出这个图的一个最小生成树（MST）\(T\)。
问题是：如何判断这个图的最小生成树是否唯一？换句话说，是否存在另一棵不同的生成树 \(T' \neq T\)，使得 \(w(T') = w(T)\)？

2. 背景知识

  • 最小生成树（MST）的常用算法是 Kruskal 和 Prim，它们可能产生不同的 MST，但总权重相同。
  • 如果图中存在多条边连接同一对顶点（多重边），并且权重不同，那么 MST 可能唯一也可能不唯一。
  • 更常见的情况是：在构造 MST 的过程中，在某个步骤有多个权重相等的边可选，但选择不同的边可能导致不同的 MST 树形结构，但仅凭有等权边不能断定 MST 不唯一，因为等权边可能在不同的连通分量中，不影响唯一性。
  • 真正的不唯一来源于存在另一棵总权重相同的生成树，它与已知 MST 至少有一条边不同。

3. 判定思路

一个经典的判定方法是利用“可替换边”概念：

对于 MST \(T\) 中的每条边 \(e \in T\)，从 \(T\) 中删掉 \(e\) 会将树分成两个连通分量。在原来的图 \(G\) 中，连接这两个分量的所有边中，如果存在另一条边 \(e' \notin T\)，其权重等于 \(w(e)\)，则 \(e\) 可以被 \(e'\) 替换得到另一棵总权重相同的生成树，从而 MST 不唯一。

注意：如果有多条权重相等的非树边能连接这两个连通分量，只要有一条权重和 \(e\) 相等，就已经破坏唯一性。

4. 算法步骤（朴素 \(O(mn)\) 法）

假设我们已经有一个 MST \(T\)，有 \(n\) 个顶点，\(m\) 条边。

步骤 1：建立 MST

用 Kruskal 或 Prim 算法求一棵 MST \(T\)，存储为边集。

步骤 2：枚举树边

对 \(T\) 中的每条树边 \(e = (u,v)\) 做：

  1. 从 \(T\) 中删去 \(e\)，得到两棵子树 \(A\) 和 \(B\)（通过 DFS/BFS 标记顶点属于哪边）。
  2. 在原图 \(G\) 的所有非树边中，找连接 \(A\) 与 \(B\) 的边，并记录这些边的最小权重 \(w_{\min\_cross}\)。
    • 即对每条非树边 \((x,y)\)，如果 \(x\) 在 \(A\)，\(y\) 在 \(B\) 或反之，则它横跨这两个连通分量。
  3. 如果 \(w_{\min\_cross} = w(e)\)，则 \(e\) 可被等权非树边替换 ⇒ MST 不唯一，算法结束。

步骤 3：结论

如果检查了所有树边，都没有找到可替换的等权非树边，则 MST 唯一。

5. 复杂度优化 \(O(m \log n)\)

朴素法每次删树边后要重新划分连通块并扫描所有非树边，代价高。
优化方法：利用次小生成树的思想，在 \(O(m \log n)\) 时间内完成。

关键观察：

  • 对于非树边 \(e' = (a,b)\)，将它加入 MST \(T\) 会形成一个环，环上最大权边如果等于 \(w(e')\)，则说明可以用 \(e'\) 替换那条最大边得到另一棵相同权重的生成树。
  • 更形式化：
    设 \(\text{maxWeight}(a,b)\) 表示在 MST \(T\) 中从 \(a\) 到 \(b\) 的唯一路径上的最大边权重。
    如果存在非树边 \(e'\) 使得 \(w(e') = \text{maxWeight}(a,b)\)，则 MST 不唯一。

为什么：在 \(T\) 中，路径 \(a \to b\) 上的某条边 \(e_{\max}\) 的权重等于 \(w(e')\)，那么删掉 \(e_{\max}\)，加入 \(e'\)，还是一棵生成树，总权重不变，但结构不同。

6. 优化算法步骤

6.1 求 MST

用 Kruskal 或 Prim 得到 MST \(T\)，用邻接表存储。

6.2 预处理树上任意两点间最大边权

  • 将 MST 看作一棵树，我们可以用树上倍增法（binary lifting）在 \(O(n \log n)\) 预处理后，\(O(\log n)\) 查询任意两点间路径上的最大边权。
  • 定义 \(up[u][k]\) 表示从 \(u\) 向上 \(2^k\) 步到达的祖先。
  • 定义 \(maxw[u][k]\) 表示从 \(u\) 到 \(up[u][k]\) 的路径上的最大边权。
  • 预处理方法：DFS 遍历树，设根为 1，记录深度、祖先、最大边权。

6.3 检查每条非树边

对原图 \(G\) 的每条非树边 \((u,v,w)\)：

  1. 查询 \(T\) 中 \(u\) 到 \(v\) 路径上的最大边权重 \(M\)（用倍增法 \(O(\log n)\) 得到）。
  2. 如果 \(M = w\)，则 MST 不唯一，结束算法。

6.4 唯一性判断

如果所有非树边都满足 \(w > M\)（严格大于路径最大边权），则 MST 唯一。

7. 正确性证明

  • 如果存在另一棵 MST \(T' \neq T\)，则 \(T\) 和 \(T'\) 的对称差包含若干条边，每条边在 \(T\) 中或在 \(T'\) 中。
    考虑 \(T'\) 中不在 \(T\) 的一条边 \(e'\)，将它加入 \(T\) 会形成环，环上必有某条树边 \(e \in T\) 且 \(e \notin T'\)。由切性质，\(w(e') = w(e)\)。
    在 MST 中，\(e\) 是 \(T\) 中连接环上两点的路径上的最大边（否则 \(T\) 不是 MST）。
    因此存在非树边 \(e'\) 满足 \(w(e') = \text{maxWeight}(u,v)\)。
  • 反之，如果存在这样的非树边，替换后就得到另一棵 MST。

8. 时间复杂度

  • 求 MST：\(O(m \log n)\)（Kruskal）。
  • 预处理倍增数组：\(O(n \log n)\)。
  • 对每条非树边查询路径最大边权：\(O(m \log n)\)。
  • 总复杂度：\(O(m \log n)\)。

9. 举例

假设图如下（顶点 1~4）：

边：
(1,2,1)
(2,3,2)
(3,4,2)
(1,4,3)
(2,4,3)

MST：选边 (1,2,1), (2,3,2), (3,4,2) 总权重 5。

检查非树边：

  • (1,4,3)：路径 1→4 在 MST 上是 1-2-3-4，最大边权 2。3 > 2，不可替换。
  • (2,4,3)：路径 2→4 是 2-3-4，最大边权 2。3 > 2，不可替换。

所以唯一。

如果图增加一条边 (1,3,2) 权重 2（原图无）。MST 可能还是选 (1,2,1),(2,3,2),(3,4,2) 总权重 5。
非树边 (1,3,2)：在 MST 中路径 1-2-3 最大边权 2，等于 2，那么用 (1,3,2) 替换 (2,3,2) 得到另一棵 MST (1,2,1),(1,3,2),(3,4,2) 权重 5，MST 不唯一。

10. 总结

最小生成树唯一性判定的高效方法是：

  1. 求出任意一棵 MST \(T\)。
  2. 预处理 MST 上任意两点间路径的最大边权（倍增法或树链剖分）。
  3. 检查每条非树边，如果它的权重等于它在 MST 中两端点路径上的最大边权，则 MST 不唯一。
  4. 如果没有这样的非树边，则 MST 唯一。

这个算法既清晰又高效，是解决该问题的标准方法。

最小生成树唯一性判定 1. 问题描述 给定一个 无向连通图 \( G=(V,E) \)，每条边 \( e \in E \) 有权重 \( w(e) \)。我们已求出这个图的一个 最小生成树 （MST）\( T \)。 问题是： 如何判断这个图的最小生成树是否唯一 ？换句话说，是否存在另一棵不同的生成树 \( T' \neq T \)，使得 \( w(T') = w(T) \)？ 2. 背景知识 最小生成树（MST）的常用算法是 Kruskal 和 Prim，它们可能产生不同的 MST，但总权重相同。 如果图中存在 多条边连接同一对顶点 （多重边），并且权重不同，那么 MST 可能唯一也可能不唯一。 更常见的情况是：在构造 MST 的过程中，在某个步骤有多个权重相等的边可选，但选择不同的边可能导致不同的 MST 树形结构，但 仅凭有等权边不能断定 MST 不唯一 ，因为等权边可能在不同的连通分量中，不影响唯一性。 真正的 不唯一 来源于存在另一棵总权重相同的生成树，它与已知 MST 至少有一条边不同。 3. 判定思路 一个经典的判定方法是利用“可替换边”概念： 对于 MST \( T \) 中的每条边 \( e \in T \)，从 \( T \) 中删掉 \( e \) 会将树分成两个连通分量。在原来的图 \( G \) 中，连接这两个分量的所有边中，如果存在另一条边 \( e' \notin T \)，其权重等于 \( w(e) \)，则 \( e \) 可以被 \( e' \) 替换得到另一棵总权重相同的生成树，从而 MST 不唯一。 注意 ：如果有多条权重相等的非树边能连接这两个连通分量，只要有一条权重和 \( e \) 相等，就已经破坏唯一性。 4. 算法步骤（朴素 \(O(mn)\) 法） 假设我们已经有一个 MST \( T \)，有 \( n \) 个顶点，\( m \) 条边。 步骤 1：建立 MST 用 Kruskal 或 Prim 算法求一棵 MST \( T \)，存储为边集。 步骤 2：枚举树边 对 \( T \) 中的每条树边 \( e = (u,v) \) 做： 从 \( T \) 中删去 \( e \)，得到两棵子树 \( A \) 和 \( B \)（通过 DFS/BFS 标记顶点属于哪边）。 在 原图 \( G \) 的所有非树边中，找连接 \( A \) 与 \( B \) 的边，并记录这些边的最小权重 \( w_ {\min\_cross} \)。 即对每条非树边 \( (x,y) \)，如果 \( x \) 在 \( A \)，\( y \) 在 \( B \) 或反之，则它横跨这两个连通分量。 如果 \( w_ {\min\_cross} = w(e) \)，则 \( e \) 可被等权非树边替换 ⇒ MST 不唯一，算法结束。 步骤 3：结论 如果检查了所有树边，都没有找到可替换的等权非树边，则 MST 唯一。 5. 复杂度优化 \(O(m \log n)\) 朴素法每次删树边后要重新划分连通块并扫描所有非树边，代价高。 优化方法：利用 次小生成树 的思想，在 \( O(m \log n) \) 时间内完成。 关键观察 ： 对于非树边 \( e' = (a,b) \)，将它加入 MST \( T \) 会形成一个环，环上 最大权边 如果等于 \( w(e') \)，则说明可以用 \( e' \) 替换那条最大边得到另一棵相同权重的生成树。 更形式化： 设 \( \text{maxWeight}(a,b) \) 表示在 MST \( T \) 中从 \( a \) 到 \( b \) 的唯一路径上的最大边权重。 如果存在非树边 \( e' \) 使得 \( w(e') = \text{maxWeight}(a,b) \)，则 MST 不唯一。 为什么 ：在 \( T \) 中，路径 \( a \to b \) 上的某条边 \( e_ {\max} \) 的权重等于 \( w(e') \)，那么删掉 \( e_ {\max} \)，加入 \( e' \)，还是一棵生成树，总权重不变，但结构不同。 6. 优化算法步骤 6.1 求 MST 用 Kruskal 或 Prim 得到 MST \( T \)，用邻接表存储。 6.2 预处理树上任意两点间最大边权 将 MST 看作一棵树，我们可以用 树上倍增法 （binary lifting）在 \( O(n \log n) \) 预处理后，\( O(\log n) \) 查询任意两点间路径上的最大边权。 定义 \( up[ u][ k ] \) 表示从 \( u \) 向上 \( 2^k \) 步到达的祖先。 定义 \( maxw[ u][ k] \) 表示从 \( u \) 到 \( up[ u][ k ] \) 的路径上的最大边权。 预处理方法：DFS 遍历树，设根为 1，记录深度、祖先、最大边权。 6.3 检查每条非树边 对原图 \( G \) 的每条非树边 \( (u,v,w) \)： 查询 \( T \) 中 \( u \) 到 \( v \) 路径上的最大边权重 \( M \)（用倍增法 \( O(\log n) \) 得到）。 如果 \( M = w \)，则 MST 不唯一，结束算法。 6.4 唯一性判断 如果所有非树边都满足 \( w > M \)（严格大于路径最大边权），则 MST 唯一。 7. 正确性证明 如果存在另一棵 MST \( T' \neq T \)，则 \( T \) 和 \( T' \) 的对称差包含若干条边，每条边在 \( T \) 中或在 \( T' \) 中。 考虑 \( T' \) 中不在 \( T \) 的一条边 \( e' \)，将它加入 \( T \) 会形成环，环上必有某条树边 \( e \in T \) 且 \( e \notin T' \)。由切性质，\( w(e') = w(e) \)。 在 MST 中，\( e \) 是 \( T \) 中连接环上两点的路径上的最大边（否则 \( T \) 不是 MST）。 因此存在非树边 \( e' \) 满足 \( w(e') = \text{maxWeight}(u,v) \)。 反之，如果存在这样的非树边，替换后就得到另一棵 MST。 8. 时间复杂度 求 MST：\( O(m \log n) \)（Kruskal）。 预处理倍增数组：\( O(n \log n) \)。 对每条非树边查询路径最大边权：\( O(m \log n) \)。 总复杂度：\( O(m \log n) \)。 9. 举例 假设图如下（顶点 1~4）： 边： (1,2,1) (2,3,2) (3,4,2) (1,4,3) (2,4,3) MST：选边 (1,2,1), (2,3,2), (3,4,2) 总权重 5。 检查非树边： (1,4,3)：路径 1→4 在 MST 上是 1-2-3-4，最大边权 2。3 > 2，不可替换。 (2,4,3)：路径 2→4 是 2-3-4，最大边权 2。3 > 2，不可替换。 所以唯一。 如果图增加一条边 (1,3,2) 权重 2（原图无）。MST 可能还是选 (1,2,1),(2,3,2),(3,4,2) 总权重 5。 非树边 (1,3,2)：在 MST 中路径 1-2-3 最大边权 2，等于 2，那么用 (1,3,2) 替换 (2,3,2) 得到另一棵 MST (1,2,1),(1,3,2),(3,4,2) 权重 5，MST 不唯一。 10. 总结 最小生成树唯一性判定的高效方法是： 求出任意一棵 MST \( T \)。 预处理 MST 上任意两点间路径的最大边权（倍增法或树链剖分）。 检查每条非树边，如果它的权重等于它在 MST 中两端点路径上的最大边权，则 MST 不唯一。 如果没有这样的非树边，则 MST 唯一。 这个算法既清晰又高效，是解决该问题的标准方法。