非线性规划中的序列内点信赖域牛顿法（Sequential Interior-Point Trust Region Newton Method）进阶题
字数 4531 2025-12-20 00:11:42

非线性规划中的序列内点信赖域牛顿法（Sequential Interior-Point Trust Region Newton Method）进阶题

题目描述

考虑以下带有不等式约束的非线性规划问题：

\[\begin{aligned} \min_{x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & c_i(x) \ge 0, \quad i = 1, 2, \dots, m \end{aligned} \]

其中，目标函数 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 是二阶连续可微的，约束函数 \(c_i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 也是二阶连续可微的，且 \(m\) 可能很大。问题的难点在于约束可能是高度非线性的，使得可行域的边界非常复杂。传统的序列二次规划（SQP）或内点法在迭代过程中可能面临Hessian矩阵病态、搜索方向不可行或步长难以接受等问题。

本题要求设计并实现一种“序列内点信赖域牛顿法”，它结合了内点法（将不等式约束通过屏障函数融入目标）、牛顿法（利用二阶信息快速收敛）和信赖域策略（在每一步构建一个带约束的二次模型，并控制步长以保证模型精度和全局收敛性）。算法的核心是在每一步迭代中，在当前内点的邻域内，通过求解一个带信赖域约束的屏障牛顿方程（或近似方程）来获得搜索方向，并采用适当的接受准则更新迭代点、屏障参数和信赖域半径。

解题过程循序渐进讲解

第一步：问题重构与屏障函数引入

传统的“障碍”是将不等式约束 \(c_i(x) \ge 0\) 通过一个屏障项惩罚到目标函数中，形成屏障问题。常用的对数屏障函数为：

\[\Phi_\mu(x) = f(x) - \mu \sum_{i=1}^m \ln(c_i(x)) \]

其中，\(\mu > 0\) 称为屏障参数。当 \(\mu \to 0^+\) 时，屏障问题的最优解趋近于原问题的最优解。但在序列内点法中，我们不会将 \(\mu\) 取得非常小才开始优化，而是在迭代过程中逐步减小 \(\mu\)。

我们的目标是求解一系列依赖于 \(\mu\) 的无约束（或带简单边界）子问题 \(\min_x \Phi_\mu(x)\)，但为了结合信赖域策略，我们不会直接优化 \(\Phi_\mu\)，而是在当前迭代点 \(x_k\) 处构建它的二次模型。

第二步：构建二次模型与信赖域子问题

在当前迭代点 \(x_k\) 和当前屏障参数 \(\mu_k\) 下，计算屏障函数 \(\Phi_{\mu_k}(x)\) 在 \(x_k\) 处的梯度 \(g_k\) 和 Hessian 矩阵 \(H_k\)（或其近似，如拟牛顿法得到的矩阵）。

  • 梯度：

\[g_k = \nabla f(x_k) - \mu_k \sum_{i=1}^m \frac{1}{c_i(x_k)} \nabla c_i(x_k) \]

  • Hessian：

\[H_k = \nabla^2 f(x_k) - \mu_k \sum_{i=1}^m \left[ \frac{1}{c_i(x_k)} \nabla^2 c_i(x_k) - \frac{1}{c_i(x_k)^2} \nabla c_i(x_k) \nabla c_i(x_k)^T \right] \]

注意：为了保持内点性，我们必须保证 \(c_i(x_k) > 0\)（严格可行）。如果某个 \(c_i(x_k)\) 接近零，Hessian 矩阵中对应的项会变得非常大，可能导致病态。因此，在实际算法中，可能需要通过修改屏障函数或正则化来处理这种情况。

在点 \(x_k\) 处，我们构建二次模型：

\[m_k(p) = \Phi_{\mu_k}(x_k) + g_k^T p + \frac{1}{2} p^T H_k p \]

信赖域子问题为：

\[\min_{p \in \mathbb{R}^n} m_k(p) \quad \text{s.t.} \quad \|p\| \le \Delta_k \]

其中 \(\Delta_k > 0\) 是当前信赖域半径。这是一个带球约束的二次规划问题，可以用共轭梯度法、狗腿法或精确求解（如特征值分解）来近似求解，得到候选步长 \(p_k\)。

第三步：计算实际下降量与预测下降量，决定是否接受步长

定义实际下降量：

\[\text{ared}_k = \Phi_{\mu_k}(x_k) - \Phi_{\mu_k}(x_k + p_k) \]

预测下降量（由二次模型给出）：

\[\text{pred}_k = m_k(0) - m_k(p_k) = -g_k^T p_k - \frac{1}{2} p_k^T H_k p_k \]

计算比值：

\[\rho_k = \frac{\text{ared}_k}{\text{pred}_k} \]

  • 如果 \(\rho_k\) 接近 1（例如大于某个阈值 \(\eta_1 > 0\)），说明二次模型在当前信赖域内是精确的，我们接受这一步：\(x_{k+1} = x_k + p_k\)。
  • 否则，说明模型不够精确，我们拒绝这一步：\(x_{k+1} = x_k\)，并缩小信赖域半径（例如 \(\Delta_{k+1} = \gamma_1 \Delta_k\)，其中 \(0 < \gamma_1 < 1\)）。

如果步长被接受，并且 \(\rho_k\) 很大（例如大于另一个阈值 \(\eta_2 > \eta_1\)），我们可能扩大信赖域半径（例如 \(\Delta_{k+1} = \min(\gamma_2 \Delta_k, \Delta_{\max})\)，其中 \(\gamma_2 > 1\)）。

第四步：更新屏障参数 \(\mu\)

在序列内点法中，屏障参数 \(\mu\) 需要随着迭代逐渐减小，以迫使解逼近原问题的边界。常见的更新策略是：

\[\mu_{k+1} = \sigma_k \mu_k \]

其中 \(\sigma_k \in (0, 1)\)。\(\sigma_k\) 可以根据当前约束违反程度、对偶间隙或迭代进程自适应地选择。例如，一种简单策略是设置一个固定的衰减因子（如 0.1）。更复杂的策略可能根据互补性条件 \(c_i(x) s_i = \mu\)（其中 \(s_i\) 是松弛变量，但在纯障碍法中，我们通常不显式引入松弛变量）的满足程度来调整。

在每次更新 \(\mu\) 后，需要重新计算梯度 \(g\) 和 Hessian \(H\)，因为它们依赖于 \(\mu\)。

第五步：收敛性判断

算法在满足以下条件之一时停止：

  1. 原问题的约束违反度很小（例如 \(\max_i |\min(0, c_i(x))| < \epsilon_{\text{feas}}\)），并且屏障函数梯度范数 \(\|g_k\|\) 小于某个容差 \(\epsilon_{\text{opt}}\)。
  2. 屏障参数 \(\mu_k\) 已经小于预设的最小值 \(\mu_{\min}\)，且当前点近似满足一阶最优性条件。
  3. 迭代次数达到上限。

第六步：处理病态与数值稳定性

  • 当某个约束 \(c_i(x)\) 非常接近零时，Hessian 矩阵中对应的项 \(\frac{1}{c_i(x)^2} \nabla c_i(x) \nabla c_i(x)^T\) 会变得非常大，导致 \(H_k\) 病态。一种常见技巧是在 Hessian 中添加一个正则化项（如 \(\delta I\)），或者在构建二次模型时使用拟牛顿近似（如 BFGS 或有限内存 BFGS），避免显式计算二阶导数。
  • 另一种策略是使用“原始-对偶”形式，显式引入松弛变量和对偶变量，但本题设定为序列内点法，侧重于障碍函数与信赖域的结合。
  • 在求解信赖域子问题时，可以使用截断共轭梯度法，它天然能处理不定 Hessian 并遵守信赖域约束。

第七步：算法伪代码概要

  1. 给定初始点 \(x_0\) 满足 \(c_i(x_0) > 0\)，初始屏障参数 \(\mu_0 > 0\)，初始信赖域半径 \(\Delta_0 > 0\)，参数 \(0 < \eta_1 < \eta_2 < 1\)，\(0 < \gamma_1 < 1 < \gamma_2\)，容差 \(\epsilon_{\text{feas}}, \epsilon_{\text{opt}}\)。
  2. For \(k = 0, 1, 2, \dots\) until convergence:
    a. 计算梯度 \(g_k\) 和 Hessian（或其近似） \(H_k\)。
    b. 求解信赖域子问题 \(\min_{\|p\| \le \Delta_k} m_k(p)\)，得到候选步长 \(p_k\)。
    c. 计算实际下降量 \(\text{ared}_k\) 和预测下降量 \(\text{pred}_k\)，进而得到比值 \(\rho_k\)。
    d. 根据 \(\rho_k\) 决定是否接受步长并更新信赖域半径：
    • 如果 \(\rho_k \ge \eta_1\)，接受步长：\(x_{k+1} = x_k + p_k\)。
    • 否则，拒绝步长：\(x_{k+1} = x_k\)，\(\Delta_{k+1} = \gamma_1 \Delta_k\)。
    • 如果 \(\rho_k \ge \eta_2\)，可以扩大信赖域：\(\Delta_{k+1} = \min(\gamma_2 \Delta_k, \Delta_{\max})\)。
      e. 如果步长被接受，更新屏障参数：\(\mu_{k+1} = \sigma_k \mu_k\)（否则保持 \(\mu_{k+1} = \mu_k\)）。
      f. 检查收敛条件，若满足则停止。

总结

本题的“序列内点信赖域牛顿法”有机融合了三种技术：

  • 内点法：通过屏障函数处理不等式约束，保证迭代点始终严格可行。
  • 牛顿法：利用二阶信息构建精确的局部二次模型，期望获得快速局部收敛速度。
  • 信赖域：控制步长大小，确保二次模型在当前区域内是目标函数的合理近似，从而保证全局收敛性。

该算法适合求解中等规模、约束非线性程度高的问题。在实际实现中，需要仔细处理数值稳定性、Hessian 近似、子问题求解效率等细节。通过调整屏障参数的下降策略和信赖域半径的更新规则，可以在不同问题中获得良好的性能。

非线性规划中的序列内点信赖域牛顿法（Sequential Interior-Point Trust Region Newton Method）进阶题 题目描述 考虑以下带有不等式约束的非线性规划问题： \[\begin{aligned} \min_ {x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & c_ i(x) \ge 0, \quad i = 1, 2, \dots, m \end{aligned}\] 其中，目标函数 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 是二阶连续可微的，约束函数 \(c_ i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 也是二阶连续可微的，且 \(m\) 可能很大。问题的难点在于约束可能是高度非线性的，使得可行域的边界非常复杂。传统的序列二次规划（SQP）或内点法在迭代过程中可能面临Hessian矩阵病态、搜索方向不可行或步长难以接受等问题。 本题要求设计并实现一种“序列内点信赖域牛顿法”，它结合了内点法（将不等式约束通过屏障函数融入目标）、牛顿法（利用二阶信息快速收敛）和信赖域策略（在每一步构建一个带约束的二次模型，并控制步长以保证模型精度和全局收敛性）。算法的核心是在每一步迭代中，在当前内点的邻域内，通过求解一个带信赖域约束的屏障牛顿方程（或近似方程）来获得搜索方向，并采用适当的接受准则更新迭代点、屏障参数和信赖域半径。 解题过程循序渐进讲解 第一步：问题重构与屏障函数引入 传统的“障碍”是将不等式约束 \(c_ i(x) \ge 0\) 通过一个屏障项惩罚到目标函数中，形成屏障问题。常用的对数屏障函数为： \[ \Phi_ \mu(x) = f(x) - \mu \sum_ {i=1}^m \ln(c_ i(x)) \] 其中，\(\mu > 0\) 称为屏障参数。当 \(\mu \to 0^+\) 时，屏障问题的最优解趋近于原问题的最优解。但在序列内点法中，我们不会将 \(\mu\) 取得非常小才开始优化，而是在迭代过程中逐步减小 \(\mu\)。 我们的目标是求解一系列依赖于 \(\mu\) 的无约束（或带简单边界）子问题 \(\min_ x \Phi_ \mu(x)\)，但为了结合信赖域策略，我们不会直接优化 \(\Phi_ \mu\)，而是在当前迭代点 \(x_ k\) 处构建它的二次模型。 第二步：构建二次模型与信赖域子问题 在当前迭代点 \(x_ k\) 和当前屏障参数 \(\mu_ k\) 下，计算屏障函数 \(\Phi_ {\mu_ k}(x)\) 在 \(x_ k\) 处的梯度 \(g_ k\) 和 Hessian 矩阵 \(H_ k\)（或其近似，如拟牛顿法得到的矩阵）。 梯度： \[ g_ k = \nabla f(x_ k) - \mu_ k \sum_ {i=1}^m \frac{1}{c_ i(x_ k)} \nabla c_ i(x_ k) \] Hessian： \[ H_ k = \nabla^2 f(x_ k) - \mu_ k \sum_ {i=1}^m \left[ \frac{1}{c_ i(x_ k)} \nabla^2 c_ i(x_ k) - \frac{1}{c_ i(x_ k)^2} \nabla c_ i(x_ k) \nabla c_ i(x_ k)^T \right ] \] 注意：为了保持内点性，我们必须保证 \(c_ i(x_ k) > 0\)（严格可行）。如果某个 \(c_ i(x_ k)\) 接近零，Hessian 矩阵中对应的项会变得非常大，可能导致病态。因此，在实际算法中，可能需要通过修改屏障函数或正则化来处理这种情况。 在点 \(x_ k\) 处，我们构建二次模型： \[ m_ k(p) = \Phi_ {\mu_ k}(x_ k) + g_ k^T p + \frac{1}{2} p^T H_ k p \] 信赖域子问题为： \[ \min_ {p \in \mathbb{R}^n} m_ k(p) \quad \text{s.t.} \quad \|p\| \le \Delta_ k \] 其中 \(\Delta_ k > 0\) 是当前信赖域半径。这是一个带球约束的二次规划问题，可以用共轭梯度法、狗腿法或精确求解（如特征值分解）来近似求解，得到候选步长 \(p_ k\)。 第三步：计算实际下降量与预测下降量，决定是否接受步长 定义实际下降量： \[ \text{ared} k = \Phi {\mu_ k}(x_ k) - \Phi_ {\mu_ k}(x_ k + p_ k) \] 预测下降量（由二次模型给出）： \[ \text{pred}_ k = m_ k(0) - m_ k(p_ k) = -g_ k^T p_ k - \frac{1}{2} p_ k^T H_ k p_ k \] 计算比值： \[ \rho_ k = \frac{\text{ared}_ k}{\text{pred}_ k} \] 如果 \(\rho_ k\) 接近 1（例如大于某个阈值 \(\eta_ 1 > 0\)），说明二次模型在当前信赖域内是精确的，我们接受这一步：\(x_ {k+1} = x_ k + p_ k\)。 否则，说明模型不够精确，我们拒绝这一步：\(x_ {k+1} = x_ k\)，并缩小信赖域半径（例如 \(\Delta_ {k+1} = \gamma_ 1 \Delta_ k\)，其中 \(0 < \gamma_ 1 < 1\)）。 如果步长被接受，并且 \(\rho_ k\) 很大（例如大于另一个阈值 \(\eta_ 2 > \eta_ 1\)），我们可能扩大信赖域半径（例如 \(\Delta_ {k+1} = \min(\gamma_ 2 \Delta_ k, \Delta_ {\max})\)，其中 \(\gamma_ 2 > 1\)）。 第四步：更新屏障参数 \(\mu\) 在序列内点法中，屏障参数 \(\mu\) 需要随着迭代逐渐减小，以迫使解逼近原问题的边界。常见的更新策略是： \[ \mu_ {k+1} = \sigma_ k \mu_ k \] 其中 \(\sigma_ k \in (0, 1)\)。\(\sigma_ k\) 可以根据当前约束违反程度、对偶间隙或迭代进程自适应地选择。例如，一种简单策略是设置一个固定的衰减因子（如 0.1）。更复杂的策略可能根据互补性条件 \(c_ i(x) s_ i = \mu\)（其中 \(s_ i\) 是松弛变量，但在纯障碍法中，我们通常不显式引入松弛变量）的满足程度来调整。 在每次更新 \(\mu\) 后，需要重新计算梯度 \(g\) 和 Hessian \(H\)，因为它们依赖于 \(\mu\)。 第五步：收敛性判断 算法在满足以下条件之一时停止： 原问题的约束违反度很小（例如 \(\max_ i |\min(0, c_ i(x))| < \epsilon_ {\text{feas}}\)），并且屏障函数梯度范数 \(\|g_ k\|\) 小于某个容差 \(\epsilon_ {\text{opt}}\)。 屏障参数 \(\mu_ k\) 已经小于预设的最小值 \(\mu_ {\min}\)，且当前点近似满足一阶最优性条件。 迭代次数达到上限。 第六步：处理病态与数值稳定性 当某个约束 \(c_ i(x)\) 非常接近零时，Hessian 矩阵中对应的项 \(\frac{1}{c_ i(x)^2} \nabla c_ i(x) \nabla c_ i(x)^T\) 会变得非常大，导致 \(H_ k\) 病态。一种常见技巧是在 Hessian 中添加一个正则化项（如 \(\delta I\)），或者在构建二次模型时使用拟牛顿近似（如 BFGS 或有限内存 BFGS），避免显式计算二阶导数。 另一种策略是使用“原始-对偶”形式，显式引入松弛变量和对偶变量，但本题设定为序列内点法，侧重于障碍函数与信赖域的结合。 在求解信赖域子问题时，可以使用截断共轭梯度法，它天然能处理不定 Hessian 并遵守信赖域约束。 第七步：算法伪代码概要 给定初始点 \(x_ 0\) 满足 \(c_ i(x_ 0) > 0\)，初始屏障参数 \(\mu_ 0 > 0\)，初始信赖域半径 \(\Delta_ 0 > 0\)，参数 \(0 < \eta_ 1 < \eta_ 2 < 1\)，\(0 < \gamma_ 1 < 1 < \gamma_ 2\)，容差 \(\epsilon_ {\text{feas}}, \epsilon_ {\text{opt}}\)。 For \(k = 0, 1, 2, \dots\) until convergence: a. 计算梯度 \(g_ k\) 和 Hessian（或其近似） \(H_ k\)。 b. 求解信赖域子问题 \(\min_ {\|p\| \le \Delta_ k} m_ k(p)\)，得到候选步长 \(p_ k\)。 c. 计算实际下降量 \(\text{ared}_ k\) 和预测下降量 \(\text{pred}_ k\)，进而得到比值 \(\rho_ k\)。 d. 根据 \(\rho_ k\) 决定是否接受步长并更新信赖域半径： 如果 \(\rho_ k \ge \eta_ 1\)，接受步长：\(x_ {k+1} = x_ k + p_ k\)。 否则，拒绝步长：\(x_ {k+1} = x_ k\)，\(\Delta_ {k+1} = \gamma_ 1 \Delta_ k\)。 如果 \(\rho_ k \ge \eta_ 2\)，可以扩大信赖域：\(\Delta_ {k+1} = \min(\gamma_ 2 \Delta_ k, \Delta_ {\max})\)。 e. 如果步长被接受，更新屏障参数：\(\mu_ {k+1} = \sigma_ k \mu_ k\)（否则保持 \(\mu_ {k+1} = \mu_ k\)）。 f. 检查收敛条件，若满足则停止。 总结 本题的“序列内点信赖域牛顿法”有机融合了三种技术： 内点法 ：通过屏障函数处理不等式约束，保证迭代点始终严格可行。 牛顿法 ：利用二阶信息构建精确的局部二次模型，期望获得快速局部收敛速度。 信赖域 ：控制步长大小，确保二次模型在当前区域内是目标函数的合理近似，从而保证全局收敛性。 该算法适合求解中等规模、约束非线性程度高的问题。在实际实现中，需要仔细处理数值稳定性、Hessian 近似、子问题求解效率等细节。通过调整屏障参数的下降策略和信赖域半径的更新规则，可以在不同问题中获得良好的性能。