非线性规划中的松弛线性互补算法（Relaxed Linear Complementarity Algorithm, RLCA）基础题
字数 3499 2025-12-19 23:11:23

非线性规划中的松弛线性互补算法（Relaxed Linear Complementarity Algorithm, RLCA）基础题

题目描述

考虑一个非线性规划问题，其目标函数为凸二次函数，约束包含非线性不等式和线性互补约束。具体形式如下：

最小化 \(f(x) = \frac{1}{2} x^T Q x + c^T x\)
满足约束：

\[g_i(x) \leq 0, \quad i = 1, \ldots, m \]

\[ 0 \leq y \perp w = M x + q \geq 0 \]

其中，决策变量 \(x \in \mathbb{R}^n\)，\(y, w \in \mathbb{R}^p\) 是互补变量。\(Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\) 是对称正定矩阵，\(c \in \mathbb{R}^n\)，\(M \in \mathbb{R}^{p \times n}\)，\(q \in \mathbb{R}^p\)。函数 \(g_i(x)\) 是连续可微的非线性函数。符号 \(\perp\) 表示互补条件，即 \(y \geq 0\)，\(w \geq 0\)，且 \(y^T w = 0\)。

线性互补约束（LCP）使得问题成为一个数学规划与均衡约束（MPEC）问题，直接求解困难。松弛线性互补算法（RLCA） 的核心思想是通过引入一个松弛参数，将严格的互补条件松弛为一个不等式系统，从而将原问题转化为一系列标准非线性规划子问题进行迭代求解。

本题要求你理解RLCA的基本原理，并应用其求解上述问题。

解题过程循序渐进讲解

第一步：理解问题结构与难点

  1. 目标函数：\(f(x)\) 是一个凸二次函数，其本身是光滑且凸的，易于处理。
  2. 非线性不等式约束：\(g_i(x) \leq 0\)，是标准的非线性规划约束。
  3. 线性互补约束：\(0 \leq y \perp w = M x + q \geq 0\)。这是问题的核心难点。它等价于三组条件：
    • \(y \geq 0\)（变量非负）
    • \(w = M x + q \geq 0\)（线性不等式）
    • \(y^T w = \sum_{j=1}^{p} y_j w_j = 0\)（互补条件）
      互补条件 \(y_j w_j = 0\) 对每个 \(j\) 成立，意味着对于每个 \(j\)，\(y_j\) 和 \(w_j\) 至少有一个为0。这使得可行域是非凸的，并且不满足标准非线性规划的大多数约束规格（如线性独立约束规格，LICQ），在互补点处，梯度可能线性相关，导致算法收敛困难。

第二步：引入松弛策略

为了处理互补约束的困难，RLCA用一个带松弛参数 \(\tau > 0\) 的不等式系统来近似它：

\[y \geq 0, \quad w = Mx + q \geq 0, \quad y_j w_j \leq \tau, \quad j = 1, \ldots, p \]

  • 解释：当 \(\tau = 0\) 时，\(y_j w_j \leq 0\) 结合 \(y_j, w_j \geq 0\) 强制 \(y_j w_j = 0\)，即精确互补。当 \(\tau > 0\) 时，允许 \(y_j w_j\) 为一个小的正数，即允许“近似互补”。
  • 几何意义：严格的互补条件定义了一个由多个“面”（\(y_j=0\) 或 \(w_j=0\)）组成的非光滑集合。松弛条件 \(y_j w_j \leq \tau\) 定义了一个光滑的、稍微“膨胀”的集合，包含了原互补集的一个邻域。

第三步：构造松弛子问题

对于给定的松弛参数 \(\tau_k > 0\)（k 是迭代次数），我们求解如下松弛非线性规划子问题（RNLP）：

最小化 \(f(x) = \frac{1}{2} x^T Q x + c^T x\)
满足约束：

\[g_i(x) \leq 0, \quad i = 1, \ldots, m \]

\[ y \geq 0 \]

\[ w = M x + q \geq 0 \]

\[ y_j w_j \leq \tau_k, \quad j = 1, \ldots, p \]

关键变化：原来的等式互补约束 \(y_j w_j = 0\) 被不等式 \(y_j w_j \leq \tau_k\) 替代。这个子问题是一个标准的、具有光滑不等式约束的非线性规划问题（尽管约束 \(y_j w_j \leq \tau_k\) 是非线性的，但它是连续可微的）。因此，可以使用任何成熟的标准非线性规划求解器（如内点法、SQP等）来求解。

第四步：算法迭代框架

RLCA是一个迭代算法，外循环逐渐收紧松弛参数 \(\tau_k\)。

  1. 初始化：给定初始点 \((x^0, y^0)\)，初始松弛参数 \(\tau_0 > 0\)（例如 \(\tau_0 = 1\)），缩减因子 \(\beta \in (0, 1)\)（例如 \(\beta = 0.5\)），收敛容差 \(\epsilon > 0\)。设迭代次数 \(k = 0\)。
  2. 求解松弛子问题：以当前点 \((x^k, y^k)\) 为初始猜测，求解第 k 个松弛子问题 RNLP(\(\tau_k\))，得到解 \((x^{k+1}, y^{k+1}, w^{k+1})\)。
  3. 检查收敛：计算当前互补残差 \(\eta_k = \max_{1 \leq j \leq p} \{ y_j^{k+1} w_j^{k+1} \}\) 和约束违反度。如果 \(\eta_k \leq \epsilon\) 且约束满足精度要求，则算法终止，\((x^{k+1}, y^{k+1})\) 为近似解。
  4. 更新松弛参数：如果未收敛，则更新松弛参数：\(\tau_{k+1} = \beta \cdot \tau_k\)。
    • 目的：逐渐减小 \(\tau\)，迫使解越来越满足精确的互补条件。
  5. 设置下一初始点：将当前解 \((x^{k+1}, y^{k+1})\) 作为求解下一个子问题 RNLP(\(\tau_{k+1}\)) 的初始点。令 \(k = k+1\)，返回步骤2。

第五步：算法特性与注意事项

  1. 可行性：对于每个 \(\tau_k > 0\)，松弛子问题 RNLP(\(\tau_k\)) 的可行域通常比原问题大（更松），且是光滑的。随着 \(\tau_k \to 0\)，RNLP的可行域逐渐“收缩”向原问题的可行集。
  2. 收敛性：在适当的约束规范和算法参数下，可以证明RLCA产生的序列 \(\{ (x^k, y^k) \}\) 的极限点满足原问题的近似一阶最优性条件（如近似KKT条件）。由于原问题是MPEC，其标准KKT条件可能不成立，但RLCA能找到一个稳定点。
  3. 初始点与 \(\tau_0\)：初始点应满足 \(y^0 \geq 0, w^0 \geq 0\)。\(\tau_0\) 不能太小，否则第一个子问题可能就接近原问题的非凸性，导致求解困难。\(\tau_0\) 也不能太大，否则松弛过于宽松，解可能远离真实解。
  4. 子问题求解：子问题 RNLP 是一个有非线性约束的规划。约束 \(y_j w_j \leq \tau\) 的梯度和Hessian需要计算，以便使用基于导数的方法（如内点法）。其梯度为 \(\nabla (y_j w_j) = (w_j e_j, y_j M_j)\)，其中 \(e_j\) 是第j个单位向量，\(M_j\) 是M的第j行。

总结

松弛线性互补算法（RLCA） 通过引入一个逐渐趋于零的松弛参数序列，将带有难处理的线性互补约束的非线性规划问题，转化为一系列标准的、光滑的非线性规划子问题。通过迭代求解这些更容易处理的子问题，并逐步收紧互补条件的允许误差，最终逼近原问题的一个稳定解。它是一种处理MPEC问题的实用且基础的外逼近方法。

非线性规划中的松弛线性互补算法（Relaxed Linear Complementarity Algorithm, RLCA）基础题 题目描述 考虑一个非线性规划问题，其目标函数为凸二次函数，约束包含非线性不等式和线性互补约束。具体形式如下： 最小化 \( f(x) = \frac{1}{2} x^T Q x + c^T x \) 满足约束： \[ g_ i(x) \leq 0, \quad i = 1, \ldots, m \] \[ 0 \leq y \perp w = M x + q \geq 0 \] 其中，决策变量 \( x \in \mathbb{R}^n \)，\( y, w \in \mathbb{R}^p \) 是互补变量。\( Q \in \mathbb{R}^{n \times n} \) 是对称正定矩阵，\( c \in \mathbb{R}^n \)，\( M \in \mathbb{R}^{p \times n} \)，\( q \in \mathbb{R}^p \)。函数 \( g_ i(x) \) 是连续可微的非线性函数。符号 \( \perp \) 表示互补条件，即 \( y \geq 0 \)，\( w \geq 0 \)，且 \( y^T w = 0 \)。 线性互补约束（LCP）使得问题成为一个数学规划与均衡约束（MPEC）问题，直接求解困难。 松弛线性互补算法（RLCA） 的核心思想是通过引入一个松弛参数，将严格的互补条件松弛为一个不等式系统，从而将原问题转化为一系列标准非线性规划子问题进行迭代求解。 本题要求你理解RLCA的基本原理，并应用其求解上述问题。 解题过程循序渐进讲解 第一步：理解问题结构与难点 目标函数 ：\( f(x) \) 是一个凸二次函数，其本身是光滑且凸的，易于处理。 非线性不等式约束 ：\( g_ i(x) \leq 0 \)，是标准的非线性规划约束。 线性互补约束 ：\( 0 \leq y \perp w = M x + q \geq 0 \)。这是问题的核心难点。它等价于三组条件： \( y \geq 0 \)（变量非负） \( w = M x + q \geq 0 \)（线性不等式） \( y^T w = \sum_ {j=1}^{p} y_ j w_ j = 0 \)（互补条件） 互补条件 \( y_ j w_ j = 0 \) 对每个 \( j \) 成立，意味着对于每个 \( j \)，\( y_ j \) 和 \( w_ j \) 至少有一个为0。这使得可行域是非凸的，并且不满足标准非线性规划的大多数约束规格（如线性独立约束规格，LICQ），在互补点处，梯度可能线性相关，导致算法收敛困难。 第二步：引入松弛策略 为了处理互补约束的困难，RLCA用一个带松弛参数 \( \tau > 0 \) 的不等式系统来近似它： \[ y \geq 0, \quad w = Mx + q \geq 0, \quad y_ j w_ j \leq \tau, \quad j = 1, \ldots, p \] 解释 ：当 \( \tau = 0 \) 时，\( y_ j w_ j \leq 0 \) 结合 \( y_ j, w_ j \geq 0 \) 强制 \( y_ j w_ j = 0 \)，即精确互补。当 \( \tau > 0 \) 时，允许 \( y_ j w_ j \) 为一个小的正数，即允许“近似互补”。 几何意义 ：严格的互补条件定义了一个由多个“面”（\( y_ j=0 \) 或 \( w_ j=0 \)）组成的非光滑集合。松弛条件 \( y_ j w_ j \leq \tau \) 定义了一个光滑的、稍微“膨胀”的集合，包含了原互补集的一个邻域。 第三步：构造松弛子问题 对于给定的松弛参数 \( \tau_ k > 0 \)（k 是迭代次数），我们求解如下 松弛非线性规划子问题（RNLP） ： 最小化 \( f(x) = \frac{1}{2} x^T Q x + c^T x \) 满足约束： \[ g_ i(x) \leq 0, \quad i = 1, \ldots, m \] \[ y \geq 0 \] \[ w = M x + q \geq 0 \] \[ y_ j w_ j \leq \tau_ k, \quad j = 1, \ldots, p \] 关键变化 ：原来的等式互补约束 \( y_ j w_ j = 0 \) 被不等式 \( y_ j w_ j \leq \tau_ k \) 替代。这个子问题是一个标准的、具有光滑不等式约束的非线性规划问题（尽管约束 \( y_ j w_ j \leq \tau_ k \) 是非线性的，但它是连续可微的）。因此，可以使用任何成熟的标准非线性规划求解器（如内点法、SQP等）来求解。 第四步：算法迭代框架 RLCA是一个迭代算法，外循环逐渐收紧松弛参数 \( \tau_ k \)。 初始化 ：给定初始点 \( (x^0, y^0) \)，初始松弛参数 \( \tau_ 0 > 0 \)（例如 \( \tau_ 0 = 1 \)），缩减因子 \( \beta \in (0, 1) \)（例如 \( \beta = 0.5 \)），收敛容差 \( \epsilon > 0 \)。设迭代次数 \( k = 0 \)。 求解松弛子问题 ：以当前点 \( (x^k, y^k) \) 为初始猜测，求解第 k 个松弛子问题 RNLP(\( \tau_ k \))，得到解 \( (x^{k+1}, y^{k+1}, w^{k+1}) \)。 检查收敛 ：计算当前互补残差 \( \eta_ k = \max_ {1 \leq j \leq p} \{ y_ j^{k+1} w_ j^{k+1} \} \) 和约束违反度。如果 \( \eta_ k \leq \epsilon \) 且约束满足精度要求，则算法终止，\( (x^{k+1}, y^{k+1}) \) 为近似解。 更新松弛参数 ：如果未收敛，则更新松弛参数：\( \tau_ {k+1} = \beta \cdot \tau_ k \)。 目的 ：逐渐减小 \( \tau \)，迫使解越来越满足精确的互补条件。 设置下一初始点 ：将当前解 \( (x^{k+1}, y^{k+1}) \) 作为求解下一个子问题 RNLP(\( \tau_ {k+1} \)) 的初始点。令 \( k = k+1 \)，返回步骤2。 第五步：算法特性与注意事项 可行性 ：对于每个 \( \tau_ k > 0 \)，松弛子问题 RNLP(\( \tau_ k \)) 的可行域通常比原问题大（更松），且是光滑的。随着 \( \tau_ k \to 0 \)，RNLP的可行域逐渐“收缩”向原问题的可行集。 收敛性 ：在适当的约束规范和算法参数下，可以证明RLCA产生的序列 \( \{ (x^k, y^k) \} \) 的极限点满足原问题的 近似一阶最优性条件 （如近似KKT条件）。由于原问题是MPEC，其标准KKT条件可能不成立，但RLCA能找到一个稳定点。 初始点与 \( \tau_ 0 \) ：初始点应满足 \( y^0 \geq 0, w^0 \geq 0 \)。\( \tau_ 0 \) 不能太小，否则第一个子问题可能就接近原问题的非凸性，导致求解困难。\( \tau_ 0 \) 也不能太大，否则松弛过于宽松，解可能远离真实解。 子问题求解 ：子问题 RNLP 是一个有非线性约束的规划。约束 \( y_ j w_ j \leq \tau \) 的梯度和Hessian需要计算，以便使用基于导数的方法（如内点法）。其梯度为 \( \nabla (y_ j w_ j) = (w_ j e_ j, y_ j M_ j) \)，其中 \( e_ j \) 是第j个单位向量，\( M_ j \) 是M的第j行。 总结 松弛线性互补算法（RLCA） 通过引入一个逐渐趋于零的松弛参数序列，将带有难处理的线性互补约束的非线性规划问题，转化为一系列标准的、光滑的非线性规划子问题。通过迭代求解这些更容易处理的子问题，并逐步收紧互补条件的允许误差，最终逼近原问题的一个稳定解。它是一种处理MPEC问题的实用且基础的外逼近方法。