区间动态规划例题：多边形的最优三角形剖分（最小化弦长和）

一、问题描述

给定一个凸多边形，其顶点按顺时针（或逆时针）顺序标记为 \(v_0, v_1, v_2, \dots, v_{n-1}\)，共有 \(n\) 条边。
多边形的任意三个不相邻的顶点可以形成一个三角形，称为多边形的一个“三角形剖分”是指用 \(n-3\) 条不相交的对角线（弦）将多边形划分成 \(n-2\) 个三角形。

定义一条弦 \((v_i, v_j)\) 的长度为顶点 \(v_i\) 与 \(v_j\) 之间的欧几里得距离（假设顶点坐标已知）。
要求找到一个三角形剖分，使得所有弦（即用于划分的 \(n-3\) 条对角线）的长度之和最小。

二、问题抽象

设多边形顶点按顺序编号为 \(0, 1, 2, \dots, n-1\)，坐标分别为 \((x_i, y_i)\)。
顶点 \(i\) 与 \(j\) 之间的弦长记为：

\[\operatorname{dist}(i,j) = \sqrt{(x_i - x_j)^2 + (y_i - y_j)^2} \]

目标：选择 \(n-3\) 条不相交的对角线，将多边形划分成三角形，使得这些对角线的总长度最小。

注意：三角形的“边”包括多边形的原始边（不计入成本）和添加的对角线（计入成本）。

三、区间 DP 设计思路

1. 状态定义

将多边形看作一个环，但通常区间 DP 处理“链”更简单，因此我们固定多边形的一条边，从顶点 \(0\) 到顶点 \(n-1\) 沿环切开，得到一个链式顶点序列 \(0, 1, 2, \dots, n-1\)。

设 \(dp[i][j]\) 表示以顶点 \(i, i+1, \dots, j\) 按顺序构成的一个子多边形（即链 \(i, i+1, \dots, j\) 再加上边 \((i,j)\) 构成的凸多边形）进行三角形剖分时，其所有新增弦的最小总长度。
注意：这里“子多边形”是指从 \(i\) 到 \(j\) 连续的一段顶点，边 \((i,j)\) 是多边形的一条边（可能是原始边，也可能是后续划分的弦，但在这个子问题中，它作为边界不计入成本）。
初始多边形是 \(dp[0][n-1]\)。

边界条件：当子多边形顶点数 ≤ 3 时，它本身就是一个三角形，不需要添加弦，所以 \(dp[i][j] = 0\) 当 \(j-i \le 2\)。

2. 状态转移

考虑子多边形 \(i, i+1, \dots, j\)：

• 如果 \(j-i \le 2\)，则 \(dp[i][j] = 0\)。

• 如果 \(j-i \ge 3\)，我们需要选择一条弦将子多边形划分为两个更小的子多边形，这条弦必须是连接 \(i\) 和某个 \(k\)（\(i < k < j\)）的对角线吗？
  实际上，更常用的划分是：选择三角形 \((i, k, j)\) 作为剖分的一部分，将子多边形分成：

  • 左侧子多边形：\(i, i+1, \dots, k\)（如果 \(k-i \ge 2\)）
  • 右侧子多边形：\(k, k+1, \dots, j\)（如果 \(j-k \ge 2\)）

  然后这条划分的弦是 \((i,k)\) 和 \((k,j)\)，但它们可能是原始边（当 \(k=i+1\) 时，\((i,k)\) 是原边，不计入成本；同理 \(k=j-1\) 时 \((k,j)\) 是原边）。
  更严谨的方法是：固定三角形 \((i, k, j)\) 后，这个三角形的三条边中，除了原始多边形的边（即编号相邻的顶点）外，其他边就是新增的弦，其长度需要计入成本。

  那么，新增弦包括：

  • 如果 \(k \neq i+1\)，则 \((i,k)\) 是一条弦，成本为 \(\operatorname{dist}(i,k)\)。
  • 如果 \(k \neq j-1\)，则 \((k,j)\) 是一条弦，成本为 \(\operatorname{dist}(k,j)\)。
  • 边 \((i,j)\) 是否弦？不，在子多边形 \(dp[i][j]\) 中，\((i,j)\) 是边界边，不计入成本。

  但这样会重复计算弦吗？不会，因为每个子多边形的边界边不计入成本，只有划分时新增的弦才计入。

  更好的标准转移方程（通用且不易出错）：
  我们枚举子多边形 \(dp[i][j]\) 的一个分割点 \(k\)（\(i < k < j\)），以弦 \((i,k)\) 和 \((k,j)\) 不一定都是弦，但我们可以通过三角形 \((i,k,j)\) 直接划分：
  将子多边形 \(i..j\) 分成三部分：

  1. 三角形 \((i,k,j)\) 本身的新增弦成本。
  2. 左侧子多边形 \(i..k\) 的最小弦长和。
  3. 右侧子多边形 \(k..j\) 的最小弦长和。

  在三角形 \((i,k,j)\) 中，三条边是 \((i,k)\)、\((k,j)\)、\((i,j)\)。

  • 如果 \(k = i+1\)，则 \((i,k)\) 是原边，不计成本。
  • 如果 \(k = j-1\)，则 \((k,j)\) 是原边，不计成本。
  • 如果 \(k \neq i+1\)，则 \((i,k)\) 是弦，成本为 \(\operatorname{dist}(i,k)\)。
  • 如果 \(k \neq j-1\)，则 \((k,j)\) 是弦，成本为 \(\operatorname{dist}(k,j)\)。
  • 边 \((i,j)\) 是当前子多边形边界，不计成本。

  所以三角形 \((i,k,j)\) 的新增弦成本：

\[ \text{cost}(i,k,j) = \begin{cases} \operatorname{dist}(i,k) + \operatorname{dist}(k,j), & \text{if } k \neq i+1 \text{ and } k \neq j-1 \\ \operatorname{dist}(i,k), & \text{if } k \neq i+1 \text{ and } k = j-1 \\ \operatorname{dist}(k,j), & \text{if } k = i+1 \text{ and } k \neq j-1 \\ 0, & \text{if } k = i+1 \text{ and } k = j-1 \end{cases} \]

注意：当 \(k = i+1\) 且 \(k = j-1\) 时，子多边形只有三个点，三角形就是它本身，无新增弦。

转移方程：

\[ dp[i][j] = \min_{i < k < j} \left\{ dp[i][k] + dp[k][j] + \text{cost}(i,k,j) \right\} \]

其中 \(dp[i][k]\) 和 \(dp[k][j]\) 已定义好。

3. 边界与最终答案

• 边界：当 \(j-i \le 2\) 时，\(dp[i][j] = 0\)。
• 最终答案：\(dp[0][n-1]\)。

四、计算顺序与复杂度

我们需要按子区间的长度从小到大计算。
外层循环长度 \(len = 3\) 到 \(n-1\)（因为长度为 2 时是边，长度为 3 时是三角形，成本为0）。
内层循环起始点 \(i\)，计算 \(j = i + len\)。
内层枚举分割点 \(k\)。
时间复杂度 \(O(n^3)\)，空间复杂度 \(O(n^2)\)。

五、举例说明

假设有凸五边形，顶点坐标（简化）：
\(P_0(0,0)\), \(P_1(1,0)\), \(P_2(2,1)\), \(P_3(1,2)\), \(P_4(0,1)\)。

我们要计算 \(dp[0][4]\)。

步骤1：计算所有顶点对的弦长（略去具体数值，假设已知）。

步骤2：按长度递增计算 dp：

• 长度 3 的子多边形：如 \(dp[0][2]\) 是三角形 0-1-2，无新增弦，所以 \(dp[0][2]=0\)。
  同理 \(dp[1][3]=0\), \(dp[2][4]=0\), \(dp[0][3]\) 是四边形 0-1-2-3，需要划分。

步骤3：计算 \(dp[0][3]\)：

• 枚举 k=1：三角形 (0,1,3) 中，边(0,1) 是原边，边(1,3) 是弦，边(0,3) 是弦。
  但注意：在子多边形 0-1-2-3 中，边界是 (0,3) 和 (0,1,2,3)。实际上这里标准方法是用上面公式：
  对于 dp[0][3]，枚举 k=1 和 k=2。
  • k=1：三角形 (0,1,3)，k ≠ 0+1? 不，k=1=0+1，所以 (0,1) 是原边，不计成本。k=1≠3-1? 3-1=2，k=1≠2，所以 (1,3) 是弦，成本 = dist(1,3)。
    左侧 dp[0][1] 长度 2 为 0，右侧 dp[1][3] 长度 3 为 0。总成本 = 0+0+dist(1,3)。
  • k=2：三角形 (0,2,3)，k=2≠0+1，所以 (0,2) 是弦，成本=dist(0,2)；k=2=3-1，所以 (2,3) 是原边，不计成本。
    左侧 dp[0][2]=0，右侧 dp[2][3] 长度 2 为 0。总成本 = 0+0+dist(0,2)。
    取最小。

步骤4：同理计算所有长度 4 的子多边形，最后计算长度 5 的 dp[0][4]，得到最小总弦长。

六、代码框架（Python）

import math

def min_chord_length_sum(points):
    n = len(points)
    if n < 4:
        return 0.0
    
    def dist(i, j):
        x1, y1 = points[i]
        x2, y2 = points[j]
        return math.hypot(x1 - x2, y1 - y2)
    
    dp = [[0.0] * n for _ in range(n)]
    
    # length 从 3 到 n-1
    for length in range(3, n):  # length = j-i
        for i in range(n - length):
            j = i + length
            dp[i][j] = float('inf')
            for k in range(i + 1, j):
                # 计算三角形 (i,k,j) 的新增弦成本
                add_cost = 0.0
                if k != i + 1:
                    add_cost += dist(i, k)
                if k != j - 1:
                    add_cost += dist(k, j)
                total = dp[i][k] + dp[k][j] + add_cost
                if total < dp[i][j]:
                    dp[i][j] = total
    return dp[0][n-1]

# 示例
points = [(0,0), (1,0), (2,1), (1,2), (0,1)]
print(min_chord_length_sum(points))

七、总结

本题是区间 DP 在几何划分问题中的典型应用。
核心：将多边形视为顶点环，固定一条边将其转为链，定义 \(dp[i][j]\) 为子多边形的最小弦长和。
转移：枚举划分三角形，将其分成两个更小的子多边形，并累加当前三角形的新增弦成本。
注意：要小心判断哪些边是原边（不计成本），哪些是新增弦（计入成本）。

这个框架可推广到其他目标函数（如最小化三角形周长和、最小化最大弦长等）。