SHA-256 哈希算法中的常量 K\_t 详解
字数 3026 2025-12-19 20:44:52

SHA-256 哈希算法中的常量 K_t 详解

我将详细讲解 SHA-256 哈希算法中使用的 64 个常数 K_t 的设计依据、具体数值、在算法中的作用以及背后的数学原理。

题目描述

SHA-256 算法在其压缩函数的每一轮计算中，会使用一个预先定义好的 64 个 32 位字长的常数序列，记为 K₀, K₁, …, K₆₃。这些常数并非随意选择，而是源自数学中前 64 个质数的立方根的小数部分。理解这些常数的来源、具体数值的生成方法以及它们在算法中扮演的角色，是深入理解 SHA-256 抗碰撞性和伪随机性的关键。

解题过程

第一步：明确 K_t 在 SHA-256 算法中的位置与作用

SHA-256 算法的核心是压缩函数，它接收一个 256 位的中间哈希值（8 个 32 位字，记作 a, b, c, d, e, f, g, h）和一个 512 位的消息块，输出一个新的 256 位哈希值。
每个 512 位的消息块会被扩展成 64 个 32 位的字，记作 W₀, W₁, …, W₆₃。
压缩函数对每个扩展消息字 W_t 进行 64 轮迭代计算。在第 t 轮（t 从 0 到 63），K_t 会与扩展消息字 W_t 一起，被加入到轮函数的核心运算中。

核心轮函数的伪代码如下：

for t in 0 to 63:
    T1 = h + Σ1(e) + Ch(e, f, g) + K_t + W_t
    T2 = Σ0(a) + Maj(a, b, c)
    h = g
    g = f
    f = e
    e = d + T1
    d = c
    c = b
    b = a
    a = T1 + T2

其中：

  • Ch(e, f, g) 是选择函数：(e AND f) XOR ((NOT e) AND g)。
  • Maj(a, b, c) 是多数函数：(a AND b) XOR (a AND c) XOR (b AND c)。
  • Σ0(x) 和 Σ1(x) 是循环右移和位移运算的组合。

K_t 的作用：作为一个常量加数，它与当前轮的扩展消息字 W_t 相加。W_t 源自被哈希的原始消息，是“变量”输入。K_t 的加入起到了以下关键作用：

  1. 打破对称性：如果没有 K_t，对于某些具有特殊规律的消息，压缩函数的计算可能呈现出某种对称或弱随机性，更容易找到碰撞。K_t 的引入破坏了这种潜在的规律。
  2. 消除固定点：使得 a = 0, b = 0, … 这样的全零状态不可能成为压缩函数迭代中的稳定状态，增强了算法的雪崩效应。
  3. 提供“随机”常量：K_t 源自无理数，其二进制表示在统计上近似随机，为轮函数注入了不可预测的“搅拌”因子，使得输出与输入之间的关系更为复杂，抵抗密码学分析。

第二步：探究 K_t 的生成方法——数学来源

SHA-256 的常量 K_t 并非随意指定，而是来源于数学常数，具体来说，是前 64 个质数（2, 3, 5, 7, 11, …, 311）的立方根的小数部分的前 32 位二进制值。

生成步骤详解：

  1. 取前 64 个质数：这是质数序列：2, 3, 5, 7, 11, 13, …, 311。
  2. 计算立方根：对每个质数 p，计算其立方根 ∛p。例如，第一个质数是 2，计算 ∛2。
  3. 取小数部分：取出 ∛p 的小数部分 frac(∛p)。它是一个介于 0 和 1 之间的无理数。
  4. 转换为 32 位字：将这个小数部分乘以 2^32（即 4,294,967,296），然后取结果的整数部分。这个整数部分就是一个 32 位的二进制数，即我们所需的 K_t。

用数学公式表示第 t 个常数的生成：
K_t = floor( frac( ∛(prime(t+1)) ) * 2^32 )
其中 prime(n) 表示第 n 个质数（这里 prime(1)=2, prime(2)=3, …），floor 是向下取整函数，frac 是取小数部分函数。

为什么选择质数的立方根？

  • 无周期性：无理数的小数部分是无限不循环的，由其衍生的位序列没有明显的规律或短周期，提供了良好的“随机”外观。
  • 标准化与可验证：这种方法为常数提供了清晰、客观、可重复的生成规则。任何人或任何实现都可以独立计算出完全相同的 64 个常数，确保了算法的确定性，同时避免了设计者植入“后门”的嫌疑（因为生成规则是公开透明的）。
  • 区别于其他算法：SHA 家族的其他成员（如 SHA-384/512 使用质数的平方根）也采用类似但不同的数学常数，以增加算法间的差异性。

第三步：列出具体的 K_t 数值及其计算示例

我们以第一个常数 K₀ 和第二个常数 K₁ 为例，展示计算过程。

  • 计算 K₀：

    1. 取第 1 个质数：p = 2。
    2. 计算立方根：∛2 ≈ 1.2599210498948732。
    3. 取小数部分：0.2599210498948732。
    4. 乘以 2^32：0.2599210498948732 * 4294967296 ≈ 1,116,353,314.000...。
    5. 取整数部分：K₀ = 0x428a2f98（十六进制表示）。1,116,353,314 的十六进制正好是 428A2F98。

  • 计算 K₁：

    1. 取第 2 个质数：p = 3。
    2. 计算立方根：∛3 ≈ 1.4422495703074083。
    3. 取小数部分：0.4422495703074083。
    4. 乘以 2^32 ≈ 1,899,777,820.000...。
    5. 取整数部分：K₁ = 0x71374491。

以下是 SHA-256 完整的 64 个常数 K₀ 到 K₆₃ 的十六进制值列表，它们是标准定义的一部分：

428a2f98 71374491 b5c0fbcf e9b5dba5
3956c25b 59f111f1 923f82a4 ab1c5ed5
d807aa98 12835b01 243185be 550c7dc3
72be5d74 80deb1fe 9bdc06a7 c19bf174
e49b69c1 efbe4786 0fc19dc6 240ca1cc
2de92c6f 4a7484aa 5cb0a9dc 76f988da
983e5152 a831c66d b00327c8 bf597fc7
c6e00bf3 d5a79147 06ca6351 14292967
27b70a85 2e1b2138 4d2c6dfc 53380d13
650a7354 766a0abb 81c2d92e 92722c85
a2bfe8a1 a81a664b c24b8b70 c76c51a3
d192e819 d6990624 f40e3585 106aa070
19a4c116 1e376c08 2748774c 34b0bcb5
391c0cb3 4ed8aa4a 5b9cca4f 682e6ff3
748f82ee 78a5636f 84c87814 8cc70208
90befffa a4506ceb bef9a3f7 c67178f2

注意：在算法实现中，这些常数通常以 32 位无符号整数的数组形式预先存储，而不是在运行时动态计算。

第四步：理解 K_t 在安全设计中的意义

  1. 消除弱密钥和固定点：在分组密码中，弱密钥可能导致加密强度下降。在哈希函数中，K_t 这类常数的引入，使得攻击者难以找到一组消息输入，使得压缩函数的内部状态变化呈现简单的模式（例如，多轮运算后状态不变或呈现循环）。它们确保了算法没有明显的“代数捷径”。
  2. 增加线性复杂度：虽然 K_t 本身是固定常量，但将其与消息相关的 W_t 以及上一轮的状态变量进行非线性运算（通过 Ch, Maj, Σ0, Σ1 等函数）后，极大地增加了整个变换的线性复杂度和混淆效果，使得对算法进行简单的数学建模分析变得极其困难。
  3. 抵抗差分和线性密码分析：精心选择的、具有良好随机统计特性的常数，可以帮助算法抵抗差分密码分析和线性密码分析。这些攻击依赖于追踪输入差异在算法中的传播，而不可预测的常量加数会干扰和复杂化这种传播路径。
  4. 确保独立于数据：K_t 是完全独立于输入消息的常量。这意味着，无论哈希什么消息，这些“搅拌”因子都是固定不变的。这为算法的安全评估提供了一个稳定的基准，安全分析可以聚焦于算法结构本身和消息扩展过程 W_t 的相互作用。

总结

SHA-256 算法中的 64 个常数 K_t 是算法设计的关键组成部分。它们通过一个公开、确定的数学规则（前 64 个质数立方根的小数部分）生成，确保了可验证性和无后门。在压缩函数的每一轮中，K_t 作为一个固定加数被引入，其主要安全作用是打破运算的对称性、消除弱点和固定点、增加非线性与混淆，从而共同增强了 SHA-256 哈希函数的抗碰撞性、伪随机性和对抗各种密码分析的能力。理解 K_t 不仅在于记住这 64 个十六进制数，更在于领会其背后“利用数学常数的随机性来强化密码学结构”的设计哲学。

SHA-256 哈希算法中的常量 K\_t 详解 我将详细讲解 SHA-256 哈希算法中使用的 64 个常数 K\_t 的设计依据、具体数值、在算法中的作用以及背后的数学原理。 题目描述 SHA-256 算法在其压缩函数的每一轮计算中，会使用一个预先定义好的 64 个 32 位字长的常数序列，记为 K₀, K₁, …, K₆₃。这些常数并非随意选择，而是源自数学中前 64 个质数的立方根的小数部分。理解这些常数的来源、具体数值的生成方法以及它们在算法中扮演的角色，是深入理解 SHA-256 抗碰撞性和伪随机性的关键。 解题过程 第一步：明确 K_ t 在 SHA-256 算法中的位置与作用 SHA-256 算法的核心是 压缩函数 ，它接收一个 256 位的中间哈希值（8 个 32 位字，记作 a, b, c, d, e, f, g, h）和一个 512 位的消息块，输出一个新的 256 位哈希值。 每个 512 位的消息块会被扩展成 64 个 32 位的字，记作 W₀, W₁, …, W₆₃。 压缩函数对每个扩展消息字 W_ t 进行 64 轮迭代计算。在第 t 轮（t 从 0 到 63），K_ t 会与扩展消息字 W_ t 一起，被加入到轮函数的核心运算中。 核心轮函数的伪代码如下： 其中： Ch(e, f, g) 是选择函数： (e AND f) XOR ((NOT e) AND g) 。 Maj(a, b, c) 是多数函数： (a AND b) XOR (a AND c) XOR (b AND c) 。 Σ0(x) 和 Σ1(x) 是循环右移和位移运算的组合。 K_ t 的作用 ：作为一个常量加数，它与当前轮的扩展消息字 W_ t 相加。W_ t 源自被哈希的原始消息，是“变量”输入。K_ t 的加入起到了以下关键作用： 打破对称性 ：如果没有 K_ t，对于某些具有特殊规律的消息，压缩函数的计算可能呈现出某种对称或弱随机性，更容易找到碰撞。K_ t 的引入破坏了这种潜在的规律。 消除固定点 ：使得 a = 0, b = 0, … 这样的全零状态不可能成为压缩函数迭代中的稳定状态，增强了算法的雪崩效应。 提供“随机”常量 ：K_ t 源自无理数，其二进制表示在统计上近似随机，为轮函数注入了不可预测的“搅拌”因子，使得输出与输入之间的关系更为复杂，抵抗密码学分析。 第二步：探究 K_ t 的生成方法——数学来源 SHA-256 的常量 K_ t 并非随意指定，而是来源于 数学常数 ，具体来说，是 前 64 个质数（2, 3, 5, 7, 11, …, 311）的立方根的小数部分的前 32 位二进制值 。 生成步骤详解 ： 取前 64 个质数 ：这是质数序列：2, 3, 5, 7, 11, 13, …, 311。 计算立方根 ：对每个质数 p，计算其立方根 ∛p。例如，第一个质数是 2，计算 ∛2。 取小数部分 ：取出 ∛p 的小数部分 frac(∛p)。它是一个介于 0 和 1 之间的无理数。 转换为 32 位字 ：将这个小数部分乘以 2^32（即 4,294,967,296），然后取结果的整数部分。这个整数部分就是一个 32 位的二进制数，即我们所需的 K_ t。 用数学公式表示第 t 个常数的生成： K_t = floor( frac( ∛(prime(t+1)) ) * 2^32 ) 其中 prime(n) 表示第 n 个质数（这里 prime(1)=2, prime(2)=3, …）， floor 是向下取整函数， frac 是取小数部分函数。 为什么选择质数的立方根？ 无周期性 ：无理数的小数部分是无限不循环的，由其衍生的位序列没有明显的规律或短周期，提供了良好的“随机”外观。 标准化与可验证 ：这种方法为常数提供了清晰、客观、可重复的生成规则。任何人或任何实现都可以独立计算出完全相同的 64 个常数，确保了算法的确定性，同时避免了设计者植入“后门”的嫌疑（因为生成规则是公开透明的）。 区别于其他算法 ：SHA 家族的其他成员（如 SHA-384/512 使用质数的平方根）也采用类似但不同的数学常数，以增加算法间的差异性。 第三步：列出具体的 K_ t 数值及其计算示例 我们以第一个常数 K₀ 和第二个常数 K₁ 为例，展示计算过程。 计算 K₀ ： 取第 1 个质数：p = 2。 计算立方根：∛2 ≈ 1.2599210498948732。 取小数部分：0.2599210498948732。 乘以 2^32：0.2599210498948732 * 4294967296 ≈ 1,116,353,314.000...。 取整数部分： K₀ = 0x428a2f98 （十六进制表示）。1,116,353,314 的十六进制正好是 428A2F98。 计算 K₁ ： 取第 2 个质数：p = 3。 计算立方根：∛3 ≈ 1.4422495703074083。 取小数部分：0.4422495703074083。 乘以 2^32 ≈ 1,899,777,820.000...。 取整数部分： K₁ = 0x71374491 。 以下是 SHA-256 完整的 64 个常数 K₀ 到 K₆₃ 的十六进制值列表，它们是标准定义的一部分： 注意 ：在算法实现中，这些常数通常以 32 位无符号整数的数组形式预先存储，而不是在运行时动态计算。 第四步：理解 K_ t 在安全设计中的意义 消除弱密钥和固定点 ：在分组密码中，弱密钥可能导致加密强度下降。在哈希函数中，K_ t 这类常数的引入，使得攻击者难以找到一组消息输入，使得压缩函数的内部状态变化呈现简单的模式（例如，多轮运算后状态不变或呈现循环）。它们确保了算法没有明显的“代数捷径”。 增加线性复杂度 ：虽然 K_ t 本身是固定常量，但将其与消息相关的 W_ t 以及上一轮的状态变量进行非线性运算（通过 Ch, Maj, Σ0, Σ1 等函数）后，极大地增加了整个变换的线性复杂度和混淆效果，使得对算法进行简单的数学建模分析变得极其困难。 抵抗差分和线性密码分析 ：精心选择的、具有良好随机统计特性的常数，可以帮助算法抵抗差分密码分析和线性密码分析。这些攻击依赖于追踪输入差异在算法中的传播，而不可预测的常量加数会干扰和复杂化这种传播路径。 确保独立于数据 ：K_ t 是完全独立于输入消息的常量。这意味着，无论哈希什么消息，这些“搅拌”因子都是固定不变的。这为算法的安全评估提供了一个稳定的基准，安全分析可以聚焦于算法结构本身和消息扩展过程 W_ t 的相互作用。 总结 SHA-256 算法中的 64 个常数 K_ t 是算法设计的关键组成部分。它们通过一个公开、确定的数学规则（前 64 个质数立方根的小数部分）生成，确保了可验证性和无后门。在压缩函数的每一轮中，K_ t 作为一个固定加数被引入，其主要安全作用是打破运算的对称性、消除弱点和固定点、增加非线性与混淆，从而共同增强了 SHA-256 哈希函数的抗碰撞性、伪随机性和对抗各种密码分析的能力。理解 K_ t 不仅在于记住这 64 个十六进制数，更在于领会其背后“利用数学常数的随机性来强化密码学结构”的设计哲学。