非线性规划中的可行方向法进阶题：Zoutendijk可行方向法的非精确线性搜索扩展
字数 6234 2025-12-19 19:20:18

非线性规划中的可行方向法进阶题：Zoutendijk可行方向法的非精确线性搜索扩展

题目描述

考虑以下非线性规划问题：

\[\begin{aligned} \min_{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n} \quad & f(\mathbf{x}) \\ \text{s.t.} \quad & g_i(\mathbf{x}) \leq 0, \quad i = 1, 2, \dots, m, \\ & h_j(\mathbf{x}) = 0, \quad j = 1, 2, \dots, p, \\ & \mathbf{x} \in \Omega \subseteq \mathbb{R}^n, \end{aligned} \]

其中，目标函数 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 和约束函数 \(g_i, h_j: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 均为连续可微函数，\(\Omega\) 是一个简单的闭凸集（例如箱型约束 \(\mathbf{l} \leq \mathbf{x} \leq \mathbf{u}\)）。假设当前迭代点为 \(\mathbf{x}^k\)，该点满足所有约束（即可行点）。

进阶要求：在Zoutendijk可行方向法的框架下，传统的做法是，在找到一个可行的下降方向 \(\mathbf{d}^k\) 后，通过精确线性搜索（如Armijo规则、Wolfe条件、或精确最小化）来确定步长 \(\alpha_k > 0\)，使得新点 \(\mathbf{x}^{k+1} = \mathbf{x}^k + \alpha_k \mathbf{d}^k\) 保持可行且目标函数充分下降。然而，精确线性搜索有时计算成本较高，尤其是在函数或梯度计算代价大的问题中。

本题要求引入非精确线性搜索策略。具体来说，你需要：

  1. 在给定可行点 \(\mathbf{x}^k\) 和可行下降方向 \(\mathbf{d}^k\) 后，设计一个非精确线性搜索过程（如回溯法、插值法、或基于函数值比较的简单策略），使得步长 \(\alpha_k\) 不需要精确满足传统的充分下降条件，但仍能保证算法的整体收敛性（例如，收敛到一个稳定点或KKT点）。
  2. 详细说明该非精确搜索策略如何与Zoutendikk方向搜索子问题（通常是求解一个线性规划或二次规划来求方向）结合，形成完整的迭代步骤。
  3. 分析在什么条件下（例如，目标函数和约束函数的性质、方向 \(\mathbf{d}^k\) 的可行性保证等），这种非精确策略能确保算法产生的迭代序列的极限点满足优化问题的一阶必要性条件。

解题过程

首先，我们回顾Zoutendijk可行方向法的核心思想，然后引入非精确线性搜索，并逐步构建完整的算法步骤。

第一步：回顾Zoutendijk可行方向法的基本框架

在点 \(\mathbf{x}^k\) 处，Zoutendijk方法通过求解一个方向寻找子问题来获得一个可行的下降方向 \(\mathbf{d}^k\)。一个常见的形式是：

\[\begin{aligned} \min_{\mathbf{d}, \beta} \quad & \beta \\ \text{s.t.} \quad & \nabla f(\mathbf{x}^k)^T \mathbf{d} \leq \beta, \\ & g_i(\mathbf{x}^k) + \nabla g_i(\mathbf{x}^k)^T \mathbf{d} \leq \beta, \quad i \in I(\mathbf{x}^k), \\ & h_j(\mathbf{x}^k) + \nabla h_j(\mathbf{x}^k)^T \mathbf{d} = 0, \quad j = 1, \dots, p, \\ & \mathbf{d} \in D_k, \end{aligned} \]

其中：

  • \(I(\mathbf{x}^k) = \{ i: g_i(\mathbf{x}^k) = 0 \}\) 是在 \(\mathbf{x}^k\) 处积极的不等式约束的索引集。
  • \(D_k\) 是一个保证方向有界的简单凸集（例如 \(\|\mathbf{d}\|_\infty \leq 1\)），以确保子问题有解。
  • 变量 \(\beta\) 用来度量约束违反和函数下降的“最坏情况”。如果子问题的最优值 \(\beta^* < 0\)，则方向 \(\mathbf{d}^k\)（取对应于 \(\beta^*\) 的 \(\mathbf{d}\)）是一个可行下降方向，即满足：
    • \(\nabla f(\mathbf{x}^k)^T \mathbf{d}^k < 0\) （下降），
    • \(g_i(\mathbf{x}^k) + \nabla g_i(\mathbf{x}^k)^T \mathbf{d}^k \leq \beta^* < 0, \quad i \in I(\mathbf{x}^k)\)，从而在 \(\mathbf{x}^k\) 沿 \(\mathbf{d}^k\) 移动一小步时，积极约束仍然满足（严格可行性），
    • 等式约束的线性近似保持为0。
      如果 \(\beta^* = 0\)，则 \(\mathbf{x}^k\) 是一个稳定点（通常满足KKT条件），算法停止。

第二步：设计非精确线性搜索策略

传统上，在得到方向 \(\mathbf{d}^k\) 后，步长 \(\alpha_k\) 通过求解以下问题精确（或满足强Wolfe条件）获得：

\[\min_{\alpha > 0} f(\mathbf{x}^k + \alpha \mathbf{d}^k) \quad \text{s.t.} \quad \mathbf{x}^k + \alpha \mathbf{d}^k \text{ 可行}. \]

由于可行性区域可能非凸，精确搜索可能困难且昂贵。

我们采用一种松弛的充分下降条件，结合简单的回溯试探。具体步骤如下：

  1. 初始化步长：选择一个初始试验步长 \(\alpha_{\text{init}} > 0\)（例如，基于历史信息或一个固定值，如1.0）。
  2. 可行性检查：对于试验步长 \(\alpha_{\text{trial}}\)，检查新点 \(\mathbf{x}_{\text{new}} = \mathbf{x}^k + \alpha_{\text{trial}} \mathbf{d}^k\) 是否满足所有约束 \(g_i(\mathbf{x}_{\text{new}}) \leq 0\) 和 \(h_j(\mathbf{x}_{\text{new}}) = 0\)。由于等式约束可能难以精确满足，可允许一个小的容差 \(\epsilon_h > 0\)，即 \(|h_j(\mathbf{x}_{\text{new}})| \leq \epsilon_h\)。
  3. 下降条件：如果可行，则检查目标函数是否充分下降。采用Armijo型条件：

\[ f(\mathbf{x}^k + \alpha_{\text{trial}} \mathbf{d}^k) \leq f(\mathbf{x}^k) + c_1 \alpha_{\text{trial}} \nabla f(\mathbf{x}^k)^T \mathbf{d}^k, \]

其中 \(c_1 \in (0, 1)\) 是一个常数（如 \(c_1 = 10^{-4}\))。注意，由于 \(\mathbf{d}^k\) 是下降方向，\(\nabla f(\mathbf{x}^k)^T \mathbf{d}^k < 0\)，所以右侧比 \(f(\mathbf{x}^k)\) 小。
4. 回溯：如果上述任一条不满足，则将试验步长乘以一个收缩因子 \(\rho \in (0, 1)\)（如 \(\rho = 0.5\)），得到新的 \(\alpha_{\text{trial}} := \rho \cdot \alpha_{\text{trial}}\)，重复检查，直到满足条件或步长小于某个最小阈值 \(\alpha_{\min} > 0\)。
5. 接受步长：一旦找到满足可行性和充分下降条件的 \(\alpha_k\)，则令 \(\mathbf{x}^{k+1} = \mathbf{x}^k + \alpha_k \mathbf{d}^k\)。

关键点：这个搜索是“非精确”的，因为它不要求 \(\alpha_k\) 是沿着射线的最小值，只要求满足一个宽松的充分下降条件和可行性。这减少了函数求值次数。

第三步：结合非精确搜索的完整算法迭代步骤

  1. 给定当前可行点 \(\mathbf{x}^k\)，容差 \(\epsilon > 0\)，参数 \(c_1 \in (0,1)\)，\(\rho \in (0,1)\)，\(\alpha_{\min} > 0\)，\(\epsilon_h > 0\)。
  2. 求解方向子问题：
    • 构建并求解上述线性规划（或二次规划，如果目标中加入 \(\frac{1}{2}\|\mathbf{d}\|^2\) 以正则化方向）得到最优解 \((\mathbf{d}^k, \beta^*)\)。
    • 如果 \(|\beta^*| < \epsilon\)，则停止，\(\mathbf{x}^k\) 近似为一个稳定点。
  3. 非精确线性搜索：
    • 设置初始试验步长 \(\alpha_{\text{trial}} = 1.0\)（或基于上一步的步长进行外推，如 \(\alpha_{\text{trial}} = \min(1.0, 2\alpha_{k-1})\)）。
    • While 条件：
      a. 计算试验点 \(\mathbf{x}_{\text{temp}} = \mathbf{x}^k + \alpha_{\text{trial}} \mathbf{d}^k\)。
      b. 如果 \(g_i(\mathbf{x}_{\text{temp}}) \leq 0\) 对所有 \(i\) 成立，且 \(|h_j(\mathbf{x}_{\text{temp}})| \leq \epsilon_h\) 对所有 \(j\) 成立，则进行c步；否则，令 \(\alpha_{\text{trial}} = \rho \alpha_{\text{trial}}\)，继续。
      c. 如果Armijo条件满足，则令 \(\alpha_k = \alpha_{\text{trial}}\)，\(\mathbf{x}^{k+1} = \mathbf{x}_{\text{temp}}\)，跳出循环。
      d. 否则，令 \(\alpha_{\text{trial}} = \rho \alpha_{\text{trial}}\)，继续。
    • 如果 \(\alpha_{\text{trial}} < \alpha_{\min}\)，则可能方向质量下降，可考虑减小容差或重启方向计算。
  4. 更新迭代：令 \(k := k+1\)，返回步骤2。

第四步：收敛性分析的关键条件

要保证算法产生的序列 \(\{\mathbf{x}^k\}\) 的极限点满足KKT条件，需要以下假设和分析：

  1. 假设：

    • 水平集 \(\{ \mathbf{x} \in \Omega: f(\mathbf{x}) \leq f(\mathbf{x}^0), \, g_i(\mathbf{x}) \leq 0, \, h_j(\mathbf{x}) = 0 \}\) 是有界的（从而迭代点有聚点）。
    • 函数 \(f, g_i, h_j\) 连续可微，且梯度在可行域上一致连续（或Lipschitz连续）。
    • 方向子问题中的约束规范（如MFCQ）在极限点成立，以确保 \(\beta^* = 0\) 等价于KKT条件。

  2. 方向性质：由Zoutendijk子问题产生的方向 \(\mathbf{d}^k\) 满足：

    • 一致性条件：存在常数 \(c_2 > 0\) 使得 \(\|\mathbf{d}^k\| \geq c_2 |\beta^*|\)。这保证了如果 \(\beta^*\) 远离零，方向不会消失。
    • 可行下降性：存在常数 \(c_3 > 0\) 和步长上界 \(\bar{\alpha} > 0\)，使得对所有 \(\alpha \in [0, \bar{\alpha}]\)，点 \(\mathbf{x}^k + \alpha \mathbf{d}^k\) 保持可行，且 \(\nabla f(\mathbf{x}^k)^T \mathbf{d}^k \leq \beta^* < 0\)。这由子问题的构造和约束的线性近似保证。

  3. 步长条件：非精确搜索产生的步长 \(\alpha_k\) 应满足：

    • 充分下降：Armijo条件保证了每次迭代的目标函数下降量与步长和方向导数成比例：\(f(\mathbf{x}^{k+1}) - f(\mathbf{x}^k) \leq c_1 \alpha_k \nabla f(\mathbf{x}^k)^T \mathbf{d}^k\)。
    • 远离零：可以证明，在梯度Lipschitz连续的假设下，回溯搜索最终会接受一个步长，且存在正常数 \(c_4\) 使得 \(\alpha_k \geq c_4 |\beta^*| / \|\mathbf{d}^k\|^2\)。这确保了当方向“好”（\(\beta^*\) 负得多）时，步长不会太小。

  4. 收敛结论：结合上述，可以证明：

    • 目标函数序列 \(\{f(\mathbf{x}^k)\}\) 单调递减且有下界，故收敛。
    • 由充分下降条件和步长下界，可得 \(\lim_{k \to \infty} \alpha_k \nabla f(\mathbf{x}^k)^T \mathbf{d}^k = 0\)。
    • 如果极限点 \(\mathbf{x}^*\) 不是稳定点，则方向子问题在该点会产生 \(\beta^* < 0\)，从而步长有正下界，这与 \(\alpha_k \nabla f(\mathbf{x}^k)^T \mathbf{d}^k \to 0\) 矛盾。因此，所有极限点都是稳定点（满足KKT条件）。

总结

本题将经典Zoutendijk可行方向法与实用的非精确线性搜索（Armijo型回溯）结合，降低了每次迭代的搜索成本，同时通过合理的假设保证了算法的全局收敛性。关键点在于方向子问题的构造确保了局部可行性，使得非精确搜索在适当步长内能保持可行性，而Armijo条件保证了充分下降。这种扩展在实际应用中更高效，尤其适合函数计算昂贵的问题。

非线性规划中的可行方向法进阶题：Zoutendijk可行方向法的非精确线性搜索扩展 题目描述 考虑以下非线性规划问题： \[ \begin{aligned} \min_ {\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n} \quad & f(\mathbf{x}) \\ \text{s.t.} \quad & g_ i(\mathbf{x}) \leq 0, \quad i = 1, 2, \dots, m, \\ & h_ j(\mathbf{x}) = 0, \quad j = 1, 2, \dots, p, \\ & \mathbf{x} \in \Omega \subseteq \mathbb{R}^n, \end{aligned} \] 其中，目标函数 \( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) 和约束函数 \( g_ i, h_ j: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) 均为连续可微函数，\(\Omega\) 是一个简单的闭凸集（例如箱型约束 \(\mathbf{l} \leq \mathbf{x} \leq \mathbf{u}\)）。假设当前迭代点为 \(\mathbf{x}^k\)，该点满足所有约束（即可行点）。 进阶要求 ：在Zoutendijk可行方向法的框架下，传统的做法是，在找到一个可行的下降方向 \(\mathbf{d}^k\) 后，通过 精确线性搜索 （如Armijo规则、Wolfe条件、或精确最小化）来确定步长 \(\alpha_ k > 0\)，使得新点 \(\mathbf{x}^{k+1} = \mathbf{x}^k + \alpha_ k \mathbf{d}^k\) 保持可行且目标函数充分下降。然而，精确线性搜索有时计算成本较高，尤其是在函数或梯度计算代价大的问题中。 本题要求 引入非精确线性搜索策略 。具体来说，你需要： 在给定可行点 \(\mathbf{x}^k\) 和可行下降方向 \(\mathbf{d}^k\) 后，设计一个 非精确线性搜索过程 （如回溯法、插值法、或基于函数值比较的简单策略），使得步长 \(\alpha_ k\) 不需要精确满足传统的充分下降条件，但仍能保证算法的整体收敛性（例如，收敛到一个稳定点或KKT点）。 详细说明该非精确搜索策略如何与Zoutendikk方向搜索子问题（通常是求解一个线性规划或二次规划来求方向）结合，形成完整的迭代步骤。 分析在什么条件下（例如，目标函数和约束函数的性质、方向 \(\mathbf{d}^k\) 的可行性保证等），这种非精确策略能确保算法产生的迭代序列的极限点满足优化问题的一阶必要性条件。 解题过程 首先，我们回顾Zoutendijk可行方向法的核心思想，然后引入非精确线性搜索，并逐步构建完整的算法步骤。 第一步：回顾Zoutendijk可行方向法的基本框架 在点 \(\mathbf{x}^k\) 处，Zoutendijk方法通过求解一个 方向寻找子问题 来获得一个可行的下降方向 \(\mathbf{d}^k\)。一个常见的形式是： \[ \begin{aligned} \min_ {\mathbf{d}, \beta} \quad & \beta \\ \text{s.t.} \quad & \nabla f(\mathbf{x}^k)^T \mathbf{d} \leq \beta, \\ & g_ i(\mathbf{x}^k) + \nabla g_ i(\mathbf{x}^k)^T \mathbf{d} \leq \beta, \quad i \in I(\mathbf{x}^k), \\ & h_ j(\mathbf{x}^k) + \nabla h_ j(\mathbf{x}^k)^T \mathbf{d} = 0, \quad j = 1, \dots, p, \\ & \mathbf{d} \in D_ k, \end{aligned} \] 其中： \(I(\mathbf{x}^k) = \{ i: g_ i(\mathbf{x}^k) = 0 \}\) 是在 \(\mathbf{x}^k\) 处 积极的不等式约束 的索引集。 \(D_ k\) 是一个保证方向有界的简单凸集（例如 \(\|\mathbf{d}\|_ \infty \leq 1\)），以确保子问题有解。 变量 \(\beta\) 用来度量约束违反和函数下降的“最坏情况”。如果子问题的最优值 \(\beta^* < 0\)，则方向 \(\mathbf{d}^k\)（取对应于 \(\beta^* \) 的 \(\mathbf{d}\)）是一个 可行下降方向 ，即满足： \(\nabla f(\mathbf{x}^k)^T \mathbf{d}^k < 0\) （下降）， \(g_ i(\mathbf{x}^k) + \nabla g_ i(\mathbf{x}^k)^T \mathbf{d}^k \leq \beta^* < 0, \quad i \in I(\mathbf{x}^k)\)，从而在 \(\mathbf{x}^k\) 沿 \(\mathbf{d}^k\) 移动一小步时，积极约束仍然满足（严格可行性）， 等式约束的线性近似保持为0。 如果 \(\beta^* = 0\)，则 \(\mathbf{x}^k\) 是一个 稳定点 （通常满足KKT条件），算法停止。 第二步：设计非精确线性搜索策略 传统上，在得到方向 \(\mathbf{d}^k\) 后，步长 \(\alpha_ k\) 通过求解以下问题精确（或满足强Wolfe条件）获得： \[ \min_ {\alpha > 0} f(\mathbf{x}^k + \alpha \mathbf{d}^k) \quad \text{s.t.} \quad \mathbf{x}^k + \alpha \mathbf{d}^k \text{ 可行}. \] 由于可行性区域可能非凸，精确搜索可能困难且昂贵。 我们采用一种 松弛的充分下降条件 ，结合简单的 回溯试探 。具体步骤如下： 初始化步长 ：选择一个初始试验步长 \(\alpha_ {\text{init}} > 0\)（例如，基于历史信息或一个固定值，如1.0）。 可行性检查 ：对于试验步长 \(\alpha_ {\text{trial}}\)，检查新点 \(\mathbf{x} {\text{new}} = \mathbf{x}^k + \alpha {\text{trial}} \mathbf{d}^k\) 是否满足所有约束 \(g_ i(\mathbf{x} {\text{new}}) \leq 0\) 和 \(h_ j(\mathbf{x} {\text{new}}) = 0\)。由于等式约束可能难以精确满足，可允许一个小的容差 \(\epsilon_ h > 0\)，即 \(|h_ j(\mathbf{x}_ {\text{new}})| \leq \epsilon_ h\)。 下降条件 ：如果可行，则检查目标函数是否充分下降。采用Armijo型条件： \[ f(\mathbf{x}^k + \alpha_ {\text{trial}} \mathbf{d}^k) \leq f(\mathbf{x}^k) + c_ 1 \alpha_ {\text{trial}} \nabla f(\mathbf{x}^k)^T \mathbf{d}^k, \] 其中 \(c_ 1 \in (0, 1)\) 是一个常数（如 \(c_ 1 = 10^{-4}\))。注意，由于 \(\mathbf{d}^k\) 是下降方向，\(\nabla f(\mathbf{x}^k)^T \mathbf{d}^k < 0\)，所以右侧比 \(f(\mathbf{x}^k)\) 小。 回溯 ：如果上述任一条不满足，则将试验步长乘以一个收缩因子 \(\rho \in (0, 1)\)（如 \(\rho = 0.5\)），得到新的 \(\alpha_ {\text{trial}} := \rho \cdot \alpha_ {\text{trial}}\)，重复检查，直到满足条件或步长小于某个最小阈值 \(\alpha_ {\min} > 0\)。 接受步长 ：一旦找到满足可行性和充分下降条件的 \(\alpha_ k\)，则令 \(\mathbf{x}^{k+1} = \mathbf{x}^k + \alpha_ k \mathbf{d}^k\)。 关键点 ：这个搜索是“非精确”的，因为它不要求 \(\alpha_ k\) 是沿着射线的最小值，只要求满足一个宽松的充分下降条件和可行性。这减少了函数求值次数。 第三步：结合非精确搜索的完整算法迭代步骤 给定 当前可行点 \(\mathbf{x}^k\)，容差 \(\epsilon > 0\)，参数 \(c_ 1 \in (0,1)\)，\(\rho \in (0,1)\)，\(\alpha_ {\min} > 0\)，\(\epsilon_ h > 0\)。 求解方向子问题 ： 构建并求解上述线性规划（或二次规划，如果目标中加入 \(\frac{1}{2}\|\mathbf{d}\|^2\) 以正则化方向）得到最优解 \((\mathbf{d}^k, \beta^* )\)。 如果 \(|\beta^* | < \epsilon\)，则停止，\(\mathbf{x}^k\) 近似为一个稳定点。 非精确线性搜索 ： 设置初始试验步长 \(\alpha_ {\text{trial}} = 1.0\)（或基于上一步的步长进行外推，如 \(\alpha_ {\text{trial}} = \min(1.0, 2\alpha_ {k-1})\)）。 While 条件： a. 计算试验点 \(\mathbf{x} {\text{temp}} = \mathbf{x}^k + \alpha {\text{trial}} \mathbf{d}^k\)。 b. 如果 \(g_ i(\mathbf{x} {\text{temp}}) \leq 0\) 对所有 \(i\) 成立，且 \(|h_ j(\mathbf{x} {\text{temp}})| \leq \epsilon_ h\) 对所有 \(j\) 成立，则进行c步；否则，令 \(\alpha_ {\text{trial}} = \rho \alpha_ {\text{trial}}\)，继续。 c. 如果Armijo条件满足，则令 \(\alpha_ k = \alpha_ {\text{trial}}\)，\(\mathbf{x}^{k+1} = \mathbf{x} {\text{temp}}\)，跳出循环。 d. 否则，令 \(\alpha {\text{trial}} = \rho \alpha_ {\text{trial}}\)，继续。 如果 \(\alpha_ {\text{trial}} < \alpha_ {\min}\)，则可能方向质量下降，可考虑减小容差或重启方向计算。 更新迭代 ：令 \(k := k+1\)，返回步骤2。 第四步：收敛性分析的关键条件 要保证算法产生的序列 \(\{\mathbf{x}^k\}\) 的极限点满足KKT条件，需要以下假设和分析： 假设 ： 水平集 \( \{ \mathbf{x} \in \Omega: f(\mathbf{x}) \leq f(\mathbf{x}^0), \, g_ i(\mathbf{x}) \leq 0, \, h_ j(\mathbf{x}) = 0 \} \) 是有界的（从而迭代点有聚点）。 函数 \(f, g_ i, h_ j\) 连续可微，且梯度在可行域上一致连续（或Lipschitz连续）。 方向子问题中的约束规范（如MFCQ）在极限点成立，以确保 \(\beta^* = 0\) 等价于KKT条件。 方向性质 ：由Zoutendijk子问题产生的方向 \(\mathbf{d}^k\) 满足： 一致性条件：存在常数 \(c_ 2 > 0\) 使得 \(\|\mathbf{d}^k\| \geq c_ 2 |\beta^ |\)。这保证了如果 \(\beta^ \) 远离零，方向不会消失。 可行下降性：存在常数 \(c_ 3 > 0\) 和步长上界 \(\bar{\alpha} > 0\)，使得对所有 \(\alpha \in [ 0, \bar{\alpha}]\)，点 \(\mathbf{x}^k + \alpha \mathbf{d}^k\) 保持可行，且 \(\nabla f(\mathbf{x}^k)^T \mathbf{d}^k \leq \beta^* < 0\)。这由子问题的构造和约束的线性近似保证。 步长条件 ：非精确搜索产生的步长 \(\alpha_ k\) 应满足： 充分下降：Armijo条件保证了每次迭代的目标函数下降量与步长和方向导数成比例：\(f(\mathbf{x}^{k+1}) - f(\mathbf{x}^k) \leq c_ 1 \alpha_ k \nabla f(\mathbf{x}^k)^T \mathbf{d}^k\)。 远离零：可以证明，在梯度Lipschitz连续的假设下，回溯搜索最终会接受一个步长，且存在正常数 \(c_ 4\) 使得 \(\alpha_ k \geq c_ 4 |\beta^ | / \|\mathbf{d}^k\|^2\)。这确保了当方向“好”（\(\beta^ \) 负得多）时，步长不会太小。 收敛结论 ：结合上述，可以证明： 目标函数序列 \(\{f(\mathbf{x}^k)\}\) 单调递减且有下界，故收敛。 由充分下降条件和步长下界，可得 \(\lim_ {k \to \infty} \alpha_ k \nabla f(\mathbf{x}^k)^T \mathbf{d}^k = 0\)。 如果极限点 \(\mathbf{x}^ \) 不是稳定点，则方向子问题在该点会产生 \(\beta^ < 0\)，从而步长有正下界，这与 \(\alpha_ k \nabla f(\mathbf{x}^k)^T \mathbf{d}^k \to 0\) 矛盾。因此，所有极限点都是稳定点（满足KKT条件）。 总结 本题将经典Zoutendijk可行方向法与实用的非精确线性搜索（Armijo型回溯）结合，降低了每次迭代的搜索成本，同时通过合理的假设保证了算法的全局收敛性。关键点在于方向子问题的构造确保了局部可行性，使得非精确搜索在适当步长内能保持可行性，而Armijo条件保证了充分下降。这种扩展在实际应用中更高效，尤其适合函数计算昂贵的问题。