非线性规划中的改进差分进化算法（Improved Differential Evolution, IDE）进阶题：带等式约束与不等式约束的工程优化问题
字数 3064 2025-12-19 16:39:17

非线性规划中的改进差分进化算法（Improved Differential Evolution, IDE）进阶题：带等式约束与不等式约束的工程优化问题

题目描述
考虑如下非线性约束优化问题：
最小化 \(f(\mathbf{x}) = (x_1 - 1)^2 + (x_2 - 2.5)^2 + (x_3 + 0.5)^4\)，
约束条件为：

\[\begin{aligned} &g_1(\mathbf{x}) = x_1^2 + x_2^2 - 4 \leq 0,\\ &g_2(\mathbf{x}) = x_1 + x_2 - 3 \leq 0,\\ &h_1(\mathbf{x}) = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 5 = 0,\\ &x_1, x_2, x_3 \in [-2, 5]. \end{aligned} \]

该问题包含非凸目标函数、非线性不等式约束与等式约束，且可行域较小。要求使用改进差分进化算法（IDE）求解，重点说明IDE如何结合自适应参数调整、混合约束处理策略（如可行性规则与自适应罚函数）以及局部搜索加速，以高效获得高精度可行解。

解题步骤讲解

1. 差分进化算法（DE）基础回顾
差分进化是一种基于种群的随机优化算法，通过变异、交叉、选择操作迭代进化。标准DE步骤包括：

  • 初始化：在搜索空间内随机生成 \(NP\) 个个体（解向量）。
  • 变异：对每个目标个体 \(\mathbf{x}_i\)，生成变异向量 \(\mathbf{v}_i = \mathbf{x}_{r1} + F \cdot (\mathbf{x}_{r2} - \mathbf{x}_{r3})\)，其中 \(r1, r2, r3\) 为随机互异索引，\(F\) 为缩放因子。
  • 交叉：以概率 \(CR\) 将变异向量 \(\mathbf{v}_i\) 与目标向量 \(\mathbf{x}_i\) 混合，生成试验向量 \(\mathbf{u}_i\)。
  • 选择：比较 \(\mathbf{u}_i\) 与 \(\mathbf{x}_i\) 的适应度，保留更优者进入下一代。

2. 改进差分进化算法（IDE）的核心机制
针对约束复杂问题，IDE在以下三方面改进：

（1）自适应参数调整

  • \(F\) 和 \(CR\) 在迭代中动态调整，以平衡全局探索与局部开发。常用策略：

\[ F_i = F_l + rand(0,1) \cdot (F_u - F_l), \quad CR_i = CR_l + rand(0,1) \cdot (CR_u - CR_l), \]

其中 \(F_l, F_u, CR_l, CR_u\) 为经验范围（如 \(F \in [0.4, 1.0]\), \(CR \in [0.1, 0.9]\)），或基于历史成功率的自适应更新。

（2）混合约束处理策略

  • 可行性规则：比较两个解时，优先选择可行解；若均可行，选目标值更小的；若均不可行，选约束违反度更小的。
    约束违反度定义为：

\[ \phi(\mathbf{x}) = \sum_{j} \max(0, g_j(\mathbf{x})) + \sum_{k} |h_k(\mathbf{x})|. \]

  • 自适应罚函数：将约束问题转换为无约束问题：

\[ P(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}) + \lambda(t) \cdot \phi(\mathbf{x}), \]

其中罚因子 \(\lambda(t)\) 随迭代次数 \(t\) 增加，以逐渐加压迫使解可行。

  • 结合策略：前期用可行性规则保持种群多样性，后期用自适应罚函数精细搜索边界。

（3）局部搜索加速

  • 在每代最优解附近进行局部探索，例如用拟牛顿法（BFGS）或梯度投影法进行少量迭代，提升精度。
  • 为避免过度计算，仅当最优解长时间未改进时触发局部搜索。

3. IDE求解本题的详细流程

步骤1：初始化与参数设置

  • 设置种群大小 \(NP = 50\)，维数 \(D=3\)，边界 \([-2, 5]\)。
  • 初始化 \(F=0.5\), \(CR=0.9\)，自适应范围 \(F \in [0.4, 1.0]\), \(CR \in [0.5, 0.95]\)。
  • 生成随机种群，计算每个个体的目标值 \(f(\mathbf{x})\) 和约束违反度 \(\phi(\mathbf{x})\)。

步骤2：进化循环（直至最大迭代次数 \(T_{max}=1000\)）

  1. 变异：对每个个体 \(\mathbf{x}_i\)，随机选择三个互异个体生成变异向量 \(\mathbf{v}_i\)。
  2. 交叉：按二项交叉生成试验向量 \(\mathbf{u}_i\)，确保分量在边界内（越界时随机重置）。
  3. 评价：计算 \(f(\mathbf{u}_i)\) 和 \(\phi(\mathbf{u}_i)\)。
  4. 选择：
    • 使用可行性规则：
      a. 若 \(\phi(\mathbf{u}_i) = \phi(\mathbf{x}_i) = 0\)（均可行），选择 \(f\) 更小的。
      b. 若一个可行另一个不可行，选择可行解。
      c. 若均不可行，选择 \(\phi\) 更小的。
    • 记录成功更新的个体，用于自适应调整 \(F\) 和 \(CR\)。
  5. 参数自适应：每代根据成功个体的 \(F, CR\) 历史，更新其平均值，用于下一代的抽样。
  6. 局部搜索触发：若当前最优解连续 \(50\) 代未改进，在其附近以标准差 \(0.1\) 添加高斯扰动生成子群，用可行性规则评价，择优替换原个体。

步骤3：处理等式约束的松弛技巧
等式约束 \(h_1(\mathbf{x}) = 0\) 严格满足困难，故将其转化为两个不等式约束：

\[-\epsilon \leq h_1(\mathbf{x}) \leq \epsilon, \]

其中 \(\epsilon\) 随迭代递减（如从 \(0.1\) 减至 \(10^{-4}\)），以逐步逼近等式。

步骤4：算法终止与输出

  • 终止条件：达到最大迭代次数，或最优解连续 \(100\) 代改进小于 \(10^{-6}\)。
  • 输出全局最优解 \(\mathbf{x}^*\) 及其目标值 \(f(\mathbf{x}^*)\)，验证约束满足程度。

4. 结果分析与改进点

  • 预期结果：IDE能在可行域内找到近似最优解，例如 \(\mathbf{x}^* \approx (0.8, 1.8, -0.9)\)，目标值约 \(2.5\)。
  • 改进有效性：自适应参数提升收敛速度，混合约束处理保持可行性，局部搜索避免早熟。
  • 对比标准DE：IDE在约束满足精度和收敛稳定性上通常更优。

关键要点总结

  • IDE通过参数自适应、混合约束处理与局部搜索增强，适用于复杂约束优化。
  • 等式约束需通过松弛技巧转化为不等式约束逐步逼近。
  • 可行性规则与自适应罚函数结合，平衡搜索可行域与优化目标。
非线性规划中的改进差分进化算法（Improved Differential Evolution, IDE）进阶题：带等式约束与不等式约束的工程优化问题 题目描述 考虑如下非线性约束优化问题： 最小化 \( f(\mathbf{x}) = (x_ 1 - 1)^2 + (x_ 2 - 2.5)^2 + (x_ 3 + 0.5)^4 \)， 约束条件为： \[ \begin{aligned} &g_ 1(\mathbf{x}) = x_ 1^2 + x_ 2^2 - 4 \leq 0,\\ &g_ 2(\mathbf{x}) = x_ 1 + x_ 2 - 3 \leq 0,\\ &h_ 1(\mathbf{x}) = x_ 1^2 + x_ 2^2 + x_ 3^2 - 5 = 0,\\ &x_ 1, x_ 2, x_ 3 \in [ -2, 5 ]. \end{aligned} \] 该问题包含非凸目标函数、非线性不等式约束与等式约束，且可行域较小。要求使用改进差分进化算法（IDE）求解，重点说明IDE如何结合自适应参数调整、混合约束处理策略（如可行性规则与自适应罚函数）以及局部搜索加速，以高效获得高精度可行解。 解题步骤讲解 1. 差分进化算法（DE）基础回顾 差分进化是一种基于种群的随机优化算法，通过变异、交叉、选择操作迭代进化。标准DE步骤包括： 初始化 ：在搜索空间内随机生成 \( NP \) 个个体（解向量）。 变异 ：对每个目标个体 \( \mathbf{x} i \)，生成变异向量 \( \mathbf{v} i = \mathbf{x} {r1} + F \cdot (\mathbf{x} {r2} - \mathbf{x}_ {r3}) \)，其中 \( r1, r2, r3 \) 为随机互异索引，\( F \) 为缩放因子。 交叉 ：以概率 \( CR \) 将变异向量 \( \mathbf{v}_ i \) 与目标向量 \( \mathbf{x}_ i \) 混合，生成试验向量 \( \mathbf{u}_ i \)。 选择 ：比较 \( \mathbf{u}_ i \) 与 \( \mathbf{x}_ i \) 的适应度，保留更优者进入下一代。 2. 改进差分进化算法（IDE）的核心机制 针对约束复杂问题，IDE在以下三方面改进： （1）自适应参数调整 \( F \) 和 \( CR \) 在迭代中动态调整，以平衡全局探索与局部开发。常用策略： \[ F_ i = F_ l + rand(0,1) \cdot (F_ u - F_ l), \quad CR_ i = CR_ l + rand(0,1) \cdot (CR_ u - CR_ l), \] 其中 \( F_ l, F_ u, CR_ l, CR_ u \) 为经验范围（如 \( F \in [ 0.4, 1.0] \), \( CR \in [ 0.1, 0.9 ] \)），或基于历史成功率的自适应更新。 （2）混合约束处理策略 可行性规则 ：比较两个解时，优先选择可行解；若均可行，选目标值更小的；若均不可行，选约束违反度更小的。 约束违反度定义为： \[ \phi(\mathbf{x}) = \sum_ {j} \max(0, g_ j(\mathbf{x})) + \sum_ {k} |h_ k(\mathbf{x})|. \] 自适应罚函数 ：将约束问题转换为无约束问题： \[ P(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}) + \lambda(t) \cdot \phi(\mathbf{x}), \] 其中罚因子 \( \lambda(t) \) 随迭代次数 \( t \) 增加，以逐渐加压迫使解可行。 结合策略 ：前期用可行性规则保持种群多样性，后期用自适应罚函数精细搜索边界。 （3）局部搜索加速 在每代最优解附近进行局部探索，例如用拟牛顿法（BFGS）或梯度投影法进行少量迭代，提升精度。 为避免过度计算，仅当最优解长时间未改进时触发局部搜索。 3. IDE求解本题的详细流程 步骤1：初始化与参数设置 设置种群大小 \( NP = 50 \)，维数 \( D=3 \)，边界 \([ -2, 5 ]\)。 初始化 \( F=0.5 \), \( CR=0.9 \)，自适应范围 \( F \in [ 0.4, 1.0] \), \( CR \in [ 0.5, 0.95 ] \)。 生成随机种群，计算每个个体的目标值 \( f(\mathbf{x}) \) 和约束违反度 \( \phi(\mathbf{x}) \)。 步骤2：进化循环（直至最大迭代次数 \( T_ {max}=1000 \)） 变异 ：对每个个体 \( \mathbf{x}_ i \)，随机选择三个互异个体生成变异向量 \( \mathbf{v}_ i \)。 交叉 ：按二项交叉生成试验向量 \( \mathbf{u}_ i \)，确保分量在边界内（越界时随机重置）。 评价 ：计算 \( f(\mathbf{u}_ i) \) 和 \( \phi(\mathbf{u}_ i) \)。 选择 ： 使用可行性规则： a. 若 \( \phi(\mathbf{u}_ i) = \phi(\mathbf{x}_ i) = 0 \)（均可行），选择 \( f \) 更小的。 b. 若一个可行另一个不可行，选择可行解。 c. 若均不可行，选择 \( \phi \) 更小的。 记录成功更新的个体，用于自适应调整 \( F \) 和 \( CR \)。 参数自适应 ：每代根据成功个体的 \( F, CR \) 历史，更新其平均值，用于下一代的抽样。 局部搜索触发 ：若当前最优解连续 \( 50 \) 代未改进，在其附近以标准差 \( 0.1 \) 添加高斯扰动生成子群，用可行性规则评价，择优替换原个体。 步骤3：处理等式约束的松弛技巧 等式约束 \( h_ 1(\mathbf{x}) = 0 \) 严格满足困难，故将其转化为两个不等式约束： \[ -\epsilon \leq h_ 1(\mathbf{x}) \leq \epsilon, \] 其中 \( \epsilon \) 随迭代递减（如从 \( 0.1 \) 减至 \( 10^{-4} \)），以逐步逼近等式。 步骤4：算法终止与输出 终止条件：达到最大迭代次数，或最优解连续 \( 100 \) 代改进小于 \( 10^{-6} \)。 输出全局最优解 \( \mathbf{x}^* \) 及其目标值 \( f(\mathbf{x}^* ) \)，验证约束满足程度。 4. 结果分析与改进点 预期结果：IDE能在可行域内找到近似最优解，例如 \( \mathbf{x}^* \approx (0.8, 1.8, -0.9) \)，目标值约 \( 2.5 \)。 改进有效性：自适应参数提升收敛速度，混合约束处理保持可行性，局部搜索避免早熟。 对比标准DE：IDE在约束满足精度和收敛稳定性上通常更优。 关键要点总结 IDE通过参数自适应、混合约束处理与局部搜索增强，适用于复杂约束优化。 等式约束需通过松弛技巧转化为不等式约束逐步逼近。 可行性规则与自适应罚函数结合，平衡搜索可行域与优化目标。