高斯混合模型的贝叶斯推断：变分贝叶斯（Variational Bayes, VB）算法原理与后验分布近似过程
字数 6767 2025-12-19 16:11:43

高斯混合模型的贝叶斯推断：变分贝叶斯（Variational Bayes, VB）算法原理与后验分布近似过程

题目描述

在机器学习中，高斯混合模型（Gaussian Mixture Model, GMM）常用于对复杂数据进行聚类或密度估计。其标准参数估计方法为期望最大化（EM）算法，但EM算法属于频率主义框架，无法直接提供参数的不确定性度量，且容易过拟合。题目要求：详细讲解如何对GMM进行贝叶斯推断，即引入参数（混合权重、均值、精度矩阵）的先验分布，并推导使用变分贝叶斯（Variational Bayes, VB） 算法来近似计算参数与隐变量（各数据点的混合成分标签）的联合后验分布的全过程。重点包括：模型完整的贝叶斯设定、变分后验分布的因子化假设、证据下界（ELBO）的推导、变分分布的更新方程（坐标上升更新）及其收敛性分析。

解题过程

第一步：高斯混合模型的贝叶斯设定

我们假设观测数据集为 \(\mathbf{X} = \{\mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_N\}\)，其中 \(\mathbf{x}_i \in \mathbb{R}^D\)。GMM假设每个数据点 \(\mathbf{x}_i\) 由一个隐变量 \(\mathbf{z}_i\) 生成，\(\mathbf{z}_i\) 是一个 \(K\) 维的独热编码向量，表示该点属于第 \(k\) 个高斯成分（\(z_{ik} = 1\)）。

  1. 生成过程（加入先验）：

    • 混合权重 \(\boldsymbol{\pi} = (\pi_1, \dots, \pi_K)\)：服从狄利克雷先验，\(\boldsymbol{\pi} \sim \text{Dir}(\boldsymbol{\alpha}_0)\)，其中 \(\boldsymbol{\alpha}_0\) 是超参数向量。
    • 成分均值 \(\boldsymbol{\mu}_k\)：服从高斯先验，\(\boldsymbol{\mu}_k \sim \mathcal{N}(\mathbf{m}_0, \beta_0^{-1} \boldsymbol{\Lambda}_k^{-1})\)，其中 \(\mathbf{m}_0\) 是先验均值，\(\beta_0 > 0\) 控制先验强度，\(\boldsymbol{\Lambda}_k\) 是精度矩阵（见下）。
    • 成分精度矩阵 \(\boldsymbol{\Lambda}_k\)（逆协方差矩阵）：服从威沙特（Wishart）先验，\(\boldsymbol{\Lambda}_k \sim \mathcal{W}(W_0, \nu_0)\)，其中 \(W_0\) 是尺度矩阵，\(\nu_0\) 是自由度。
    • 隐变量 \(\mathbf{z}_i\)：给定 \(\boldsymbol{\pi}\)，\(\mathbf{z}_i \sim \text{Categorical}(\boldsymbol{\pi})\)。
    • 观测数据 \(\mathbf{x}_i\)：给定 \(\mathbf{z}_i\)、\(\{\boldsymbol{\mu}_k, \boldsymbol{\Lambda}_k\}\)，\(\mathbf{x}_i \mid z_{ik}=1 \sim \mathcal{N}(\boldsymbol{\mu}_k, \boldsymbol{\Lambda}_k^{-1})\)。

  2. 联合概率分布：
    所有随机变量的联合分布为：

\[ p(\mathbf{X}, \mathbf{Z}, \boldsymbol{\pi}, \{\boldsymbol{\mu}_k, \boldsymbol{\Lambda}_k\}) = p(\boldsymbol{\pi}) \prod_{k=1}^K p(\boldsymbol{\mu}_k \mid \boldsymbol{\Lambda}_k) p(\boldsymbol{\Lambda}_k) \prod_{i=1}^N p(\mathbf{z}_i \mid \boldsymbol{\pi}) p(\mathbf{x}_i \mid \mathbf{z}_i, \{\boldsymbol{\mu}_k, \boldsymbol{\Lambda}_k\}) \]

其中 \(\mathbf{Z} = \{\mathbf{z}_1, \dots, \mathbf{z}_N\}\) 是所有隐变量。

贝叶斯推断的目标是计算后验分布 \(p(\mathbf{Z}, \boldsymbol{\pi}, \{\boldsymbol{\mu}_k, \boldsymbol{\Lambda}_k\} \mid \mathbf{X})\)，但该后验复杂，无法直接求解。

第二步：引入变分近似与因子化假设

变分贝叶斯的核心思想：用一个简单的分布 \(q(\cdot)\) 来近似真实后验，并通过优化使 \(q\) 尽可能接近后验。

  1. 变分分布 \(q\) 的因子化假设（平均场近似）：
    假设变分分布可以分解为：

\[ q(\mathbf{Z}, \boldsymbol{\pi}, \{\boldsymbol{\mu}_k, \boldsymbol{\Lambda}_k\}) = q(\mathbf{Z}) q(\boldsymbol{\pi}) \prod_{k=1}^K q(\boldsymbol{\mu}_k, \boldsymbol{\Lambda}_k) \]

即，隐变量与各参数组之间相互独立。进一步，对于 \(q(\boldsymbol{\mu}_k, \boldsymbol{\Lambda}_k)\)，我们假设其为高斯-威沙特分布（Normal-Wishart），这是高斯均值和精度矩阵的共轭先验形式，能简化计算。

  1. 变分分布的具体形式：
    • \(q(\mathbf{Z}) = \prod_{i=1}^N q(\mathbf{z}_i)\)，其中 \(q(\mathbf{z}_i) = \text{Categorical}(\mathbf{r}_i)\)，\(\mathbf{r}_i = (r_{i1}, \dots, r_{iK})\) 是变分责任（responsibility），满足 \(\sum_k r_{ik} = 1\)。
    • \(q(\boldsymbol{\pi}) = \text{Dir}(\boldsymbol{\alpha})\)，其中 \(\boldsymbol{\alpha} = (\alpha_1, \dots, \alpha_K)\) 是变分参数。
    • \(q(\boldsymbol{\mu}_k, \boldsymbol{\Lambda}_k) = \mathcal{N}(\boldsymbol{\mu}_k \mid \mathbf{m}_k, \beta_k^{-1} \boldsymbol{\Lambda}_k^{-1}) \cdot \mathcal{W}(\boldsymbol{\Lambda}_k \mid W_k, \nu_k)\)，即高斯-威沙特分布，参数为 \(\mathbf{m}_k, \beta_k, W_k, \nu_k\)。

第三步：推导证据下界（ELBO）

目标：最大化证据下界 \(\mathcal{L}(q)\)，它等于对数边际似然的下界。

  1. ELBO的定义：

\[ \ln p(\mathbf{X}) \ge \mathcal{L}(q) = \mathbb{E}_q[\ln p(\mathbf{X}, \mathbf{Z}, \boldsymbol{\pi}, \{\boldsymbol{\mu}_k, \boldsymbol{\Lambda}_k\})] - \mathbb{E}_q[\ln q(\mathbf{Z}, \boldsymbol{\pi}, \{\boldsymbol{\mu}_k, \boldsymbol{\Lambda}_k\})] \]

其中期望 \(\mathbb{E}_q\) 是对变分分布 \(q\) 取的。

  1. 分解 ELBO：
    代入因子化的 \(q\) 和联合分布，ELBO 可分解为：

\[ \mathcal{L}(q) = \mathbb{E}_q[\ln p(\mathbf{X} \mid \mathbf{Z}, \{\boldsymbol{\mu}_k, \boldsymbol{\Lambda}_k\})] + \mathbb{E}_q[\ln p(\mathbf{Z} \mid \boldsymbol{\pi})] + \mathbb{E}_q[\ln p(\boldsymbol{\pi})] + \sum_k \mathbb{E}_q[\ln p(\boldsymbol{\mu}_k \mid \boldsymbol{\Lambda}_k) + \ln p(\boldsymbol{\Lambda}_k)] - \mathbb{E}_q[\ln q(\mathbf{Z})] - \mathbb{E}_q[\ln q(\boldsymbol{\pi})] - \sum_k \mathbb{E}_q[\ln q(\boldsymbol{\mu}_k, \boldsymbol{\Lambda}_k)] \]

每个期望均可解析计算，因为涉及的分布是指数族。

第四步：坐标上升更新变分参数

通过固定其他因子，轮流优化每个变分因子 \(q(\cdot)\) 来最大化 \(\mathcal{L}(q)\)。这导出了一组更新方程：

  1. 更新 \(q(\mathbf{Z})\) （变分责任 \(r_{ik}\))：
    最大化 \(\mathcal{L}\) 关于 \(q(\mathbf{Z})\) 的部分，得到：

\[ r_{ik} \propto \exp\left( \mathbb{E}_q[\ln \pi_k] + \frac{1}{2} \mathbb{E}_q[\ln |\boldsymbol{\Lambda}_k|] - \frac{D}{2} \ln(2\pi) - \frac{1}{2} \mathbb{E}_q[(\mathbf{x}_i - \boldsymbol{\mu}_k)^\top \boldsymbol{\Lambda}_k (\mathbf{x}_i - \boldsymbol{\mu}_k)] \right) \]

其中：

  • \(\mathbb{E}_q[\ln \pi_k] = \psi(\alpha_k) - \psi(\sum_{j=1}^K \alpha_j)\)，\(\psi\) 是 digamma 函数。
  • \(\mathbb{E}_q[\ln |\boldsymbol{\Lambda}_k|] = \sum_{d=1}^D \psi\left(\frac{\nu_k + 1 - d}{2}\right) + D \ln 2 + \ln |W_k|\)。
  • \(\mathbb{E}_q[(\mathbf{x}_i - \boldsymbol{\mu}_k)^\top \boldsymbol{\Lambda}_k (\mathbf{x}_i - \boldsymbol{\mu}_k)] = \nu_k (\mathbf{x}_i - \mathbf{m}_k)^\top W_k (\mathbf{x}_i - \mathbf{m}_k) + \beta_k^{-1} D\)。

计算后归一化：\(r_{ik} = r_{ik} / \sum_{j=1}^K r_{ij}\)。

  1. 更新 \(q(\boldsymbol{\pi})\) （参数 \(\boldsymbol{\alpha}\))：
    最大化得到狄利克雷后验：

\[ \alpha_k = \alpha_0 + N_k, \quad \text{其中 } N_k = \sum_{i=1}^N r_{ik} \]

  1. 更新 \(q(\boldsymbol{\mu}_k, \boldsymbol{\Lambda}_k)\) （高斯-威沙特参数）：
    最大化得到共轭更新：
    • \(\beta_k = \beta_0 + N_k\)
    • \(\mathbf{m}_k = \frac{1}{\beta_k} \left( \beta_0 \mathbf{m}_0 + \sum_{i=1}^N r_{ik} \mathbf{x}_i \right)\)
    • \(W_k^{-1} = W_0^{-1} + \sum_{i=1}^N r_{ik} (\mathbf{x}_i - \bar{\mathbf{x}}_k)(\mathbf{x}_i - \bar{\mathbf{x}}_k)^\top + \frac{\beta_0 N_k}{\beta_0 + N_k} (\bar{\mathbf{x}}_k - \mathbf{m}_0)(\bar{\mathbf{x}}_k - \mathbf{m}_0)^\top\)，其中 \(\bar{\mathbf{x}}_k = \frac{1}{N_k} \sum_{i=1}^N r_{ik} \mathbf{x}_i\)。
    • \(\nu_k = \nu_0 + N_k\)

第五步：算法执行与收敛性分析

  1. 算法流程：

    • 初始化变分参数 \(\boldsymbol{\alpha}, \{\mathbf{m}_k, \beta_k, W_k, \nu_k\}\)，以及责任 \(r_{ik}\)（可随机初始化）。
    • 重复以下步骤直到 ELBO 收敛：
      a. 用当前参数计算 \(r_{ik}\)（E 步类似）。
      b. 用更新后的 \(r_{ik}\) 计算 \(\boldsymbol{\alpha}\) 和各 \(\{\mathbf{m}_k, \beta_k, W_k, \nu_k\}\)（M 步类似）。
      c. 计算 ELBO 值 \(\mathcal{L}(q)\)（可选，用于监控收敛）。

  2. 收敛性：

    • 由于每一步更新都保证 ELBO 不下降，算法保证收敛到局部最优。
    • 收敛条件可以是 ELBO 的变化小于阈值，或参数变化很小。
    • 变分贝叶斯通常比 EM 算法收敛慢，但能提供后验不确定性（如通过 \(q(\boldsymbol{\mu}_k, \boldsymbol{\Lambda}_k)\) 的分布）。

  3. 结果解释：

    • 变分责任 \(r_{ik}\)：给出了数据点 \(i\) 属于成分 \(k\) 的后验概率，可用于软聚类。
    • 变分后验 \(q(\boldsymbol{\pi})\)：给出了混合权重的分布，其均值 \(\alpha_k / \sum_j \alpha_j\) 表示各成分的权重估计。
    • 变分后验 \(q(\boldsymbol{\mu}_k, \boldsymbol{\Lambda}_k)\)：给出了每个高斯成分的均值和协方差的后验分布，可用于估计参数及置信区间。

总结

本题目详细阐述了高斯混合模型的贝叶斯推断变分求解过程。通过引入共轭先验和平均场假设，将复杂的后验近似为可分解的变分分布，并通过最大化 ELBO 推导出各变分参数的坐标上升更新方程。该方法不仅提供了参数估计，还给出了不确定性的度量，相比 EM 算法更具贝叶斯优势。

高斯混合模型的贝叶斯推断：变分贝叶斯（Variational Bayes, VB）算法原理与后验分布近似过程 题目描述 在机器学习中，高斯混合模型（Gaussian Mixture Model, GMM）常用于对复杂数据进行聚类或密度估计。其标准参数估计方法为期望最大化（EM）算法，但EM算法属于频率主义框架，无法直接提供参数的不确定性度量，且容易过拟合。题目要求：详细讲解如何对GMM进行贝叶斯推断，即引入参数（混合权重、均值、精度矩阵）的先验分布，并推导使用 变分贝叶斯（Variational Bayes, VB） 算法来近似计算参数与隐变量（各数据点的混合成分标签）的联合后验分布的全过程。重点包括：模型完整的贝叶斯设定、变分后验分布的因子化假设、证据下界（ELBO）的推导、变分分布的更新方程（坐标上升更新）及其收敛性分析。 解题过程 第一步：高斯混合模型的贝叶斯设定 我们假设观测数据集为 \( \mathbf{X} = \{\mathbf{x}_ 1, \dots, \mathbf{x}_ N\} \)，其中 \( \mathbf{x}_ i \in \mathbb{R}^D \)。GMM假设每个数据点 \( \mathbf{x}_ i \) 由一个隐变量 \( \mathbf{z}_ i \) 生成，\( \mathbf{z} i \) 是一个 \( K \) 维的独热编码向量，表示该点属于第 \( k \) 个高斯成分（\( z {ik} = 1 \)）。 生成过程（加入先验） ： 混合权重 \( \boldsymbol{\pi} = (\pi_ 1, \dots, \pi_ K) \)：服从狄利克雷先验，\( \boldsymbol{\pi} \sim \text{Dir}(\boldsymbol{\alpha}_ 0) \)，其中 \( \boldsymbol{\alpha}_ 0 \) 是超参数向量。 成分均值 \( \boldsymbol{\mu}_ k \)：服从高斯先验，\( \boldsymbol{\mu}_ k \sim \mathcal{N}(\mathbf{m}_ 0, \beta_ 0^{-1} \boldsymbol{\Lambda}_ k^{-1}) \)，其中 \( \mathbf{m}_ 0 \) 是先验均值，\( \beta_ 0 > 0 \) 控制先验强度，\( \boldsymbol{\Lambda}_ k \) 是精度矩阵（见下）。 成分精度矩阵 \( \boldsymbol{\Lambda}_ k \)（逆协方差矩阵）：服从威沙特（Wishart）先验，\( \boldsymbol{\Lambda}_ k \sim \mathcal{W}(W_ 0, \nu_ 0) \)，其中 \( W_ 0 \) 是尺度矩阵，\( \nu_ 0 \) 是自由度。 隐变量 \( \mathbf{z}_ i \)：给定 \( \boldsymbol{\pi} \)，\( \mathbf{z}_ i \sim \text{Categorical}(\boldsymbol{\pi}) \)。 观测数据 \( \mathbf{x}_ i \)：给定 \( \mathbf{z}_ i \)、\( \{\boldsymbol{\mu}_ k, \boldsymbol{\Lambda}_ k\} \)，\( \mathbf{x} i \mid z {ik}=1 \sim \mathcal{N}(\boldsymbol{\mu}_ k, \boldsymbol{\Lambda}_ k^{-1}) \)。 联合概率分布 ： 所有随机变量的联合分布为： \[ p(\mathbf{X}, \mathbf{Z}, \boldsymbol{\pi}, \{\boldsymbol{\mu}_ k, \boldsymbol{\Lambda} k\}) = p(\boldsymbol{\pi}) \prod {k=1}^K p(\boldsymbol{\mu}_ k \mid \boldsymbol{\Lambda}_ k) p(\boldsymbol{\Lambda} k) \prod {i=1}^N p(\mathbf{z}_ i \mid \boldsymbol{\pi}) p(\mathbf{x}_ i \mid \mathbf{z}_ i, \{\boldsymbol{\mu}_ k, \boldsymbol{\Lambda}_ k\}) \] 其中 \( \mathbf{Z} = \{\mathbf{z}_ 1, \dots, \mathbf{z}_ N\} \) 是所有隐变量。 贝叶斯推断的目标是计算后验分布 \( p(\mathbf{Z}, \boldsymbol{\pi}, \{\boldsymbol{\mu}_ k, \boldsymbol{\Lambda}_ k\} \mid \mathbf{X}) \)，但该后验复杂，无法直接求解。 第二步：引入变分近似与因子化假设 变分贝叶斯的核心思想：用一个简单的分布 \( q(\cdot) \) 来近似真实后验，并通过优化使 \( q \) 尽可能接近后验。 变分分布 \( q \) 的因子化假设 （平均场近似）： 假设变分分布可以分解为： \[ q(\mathbf{Z}, \boldsymbol{\pi}, \{\boldsymbol{\mu}_ k, \boldsymbol{\Lambda} k\}) = q(\mathbf{Z}) q(\boldsymbol{\pi}) \prod {k=1}^K q(\boldsymbol{\mu}_ k, \boldsymbol{\Lambda}_ k) \] 即，隐变量与各参数组之间相互独立。进一步，对于 \( q(\boldsymbol{\mu}_ k, \boldsymbol{\Lambda}_ k) \)，我们假设其为高斯-威沙特分布（Normal-Wishart），这是高斯均值和精度矩阵的共轭先验形式，能简化计算。 变分分布的具体形式 ： \( q(\mathbf{Z}) = \prod_ {i=1}^N q(\mathbf{z}_ i) \)，其中 \( q(\mathbf{z} i) = \text{Categorical}(\mathbf{r} i) \)，\( \mathbf{r} i = (r {i1}, \dots, r {iK}) \) 是变分责任（responsibility），满足 \( \sum_ k r {ik} = 1 \)。 \( q(\boldsymbol{\pi}) = \text{Dir}(\boldsymbol{\alpha}) \)，其中 \( \boldsymbol{\alpha} = (\alpha_ 1, \dots, \alpha_ K) \) 是变分参数。 \( q(\boldsymbol{\mu}_ k, \boldsymbol{\Lambda}_ k) = \mathcal{N}(\boldsymbol{\mu}_ k \mid \mathbf{m}_ k, \beta_ k^{-1} \boldsymbol{\Lambda}_ k^{-1}) \cdot \mathcal{W}(\boldsymbol{\Lambda}_ k \mid W_ k, \nu_ k) \)，即高斯-威沙特分布，参数为 \( \mathbf{m}_ k, \beta_ k, W_ k, \nu_ k \)。 第三步：推导证据下界（ELBO） 目标：最大化证据下界 \( \mathcal{L}(q) \)，它等于对数边际似然的下界。 ELBO的定义 ： \[ \ln p(\mathbf{X}) \ge \mathcal{L}(q) = \mathbb{E}_ q[ \ln p(\mathbf{X}, \mathbf{Z}, \boldsymbol{\pi}, \{\boldsymbol{\mu}_ k, \boldsymbol{\Lambda}_ k\})] - \mathbb{E}_ q[ \ln q(\mathbf{Z}, \boldsymbol{\pi}, \{\boldsymbol{\mu}_ k, \boldsymbol{\Lambda}_ k\}) ] \] 其中期望 \( \mathbb{E}_ q \) 是对变分分布 \( q \) 取的。 分解 ELBO ： 代入因子化的 \( q \) 和联合分布，ELBO 可分解为： \[ \mathcal{L}(q) = \mathbb{E}_ q[ \ln p(\mathbf{X} \mid \mathbf{Z}, \{\boldsymbol{\mu}_ k, \boldsymbol{\Lambda}_ k\})] + \mathbb{E}_ q[ \ln p(\mathbf{Z} \mid \boldsymbol{\pi})] + \mathbb{E}_ q[ \ln p(\boldsymbol{\pi})] + \sum_ k \mathbb{E}_ q[ \ln p(\boldsymbol{\mu}_ k \mid \boldsymbol{\Lambda}_ k) + \ln p(\boldsymbol{\Lambda}_ k)] - \mathbb{E}_ q[ \ln q(\mathbf{Z})] - \mathbb{E}_ q[ \ln q(\boldsymbol{\pi})] - \sum_ k \mathbb{E}_ q[ \ln q(\boldsymbol{\mu}_ k, \boldsymbol{\Lambda}_ k) ] \] 每个期望均可解析计算，因为涉及的分布是指数族。 第四步：坐标上升更新变分参数 通过固定其他因子，轮流优化每个变分因子 \( q(\cdot) \) 来最大化 \( \mathcal{L}(q) \)。这导出了一组更新方程： 更新 \( q(\mathbf{Z}) \) （变分责任 \( r_ {ik} \)) ： 最大化 \( \mathcal{L} \) 关于 \( q(\mathbf{Z}) \) 的部分，得到： \[ r_ {ik} \propto \exp\left( \mathbb{E}_ q[ \ln \pi_ k] + \frac{1}{2} \mathbb{E}_ q[ \ln |\boldsymbol{\Lambda}_ k|] - \frac{D}{2} \ln(2\pi) - \frac{1}{2} \mathbb{E}_ q[ (\mathbf{x}_ i - \boldsymbol{\mu}_ k)^\top \boldsymbol{\Lambda}_ k (\mathbf{x}_ i - \boldsymbol{\mu}_ k) ] \right) \] 其中： \( \mathbb{E} q[ \ln \pi_ k] = \psi(\alpha_ k) - \psi(\sum {j=1}^K \alpha_ j) \)，\( \psi \) 是 digamma 函数。 \( \mathbb{E}_ q[ \ln |\boldsymbol{\Lambda} k|] = \sum {d=1}^D \psi\left(\frac{\nu_ k + 1 - d}{2}\right) + D \ln 2 + \ln |W_ k| \)。 \( \mathbb{E}_ q[ (\mathbf{x}_ i - \boldsymbol{\mu}_ k)^\top \boldsymbol{\Lambda}_ k (\mathbf{x}_ i - \boldsymbol{\mu}_ k)] = \nu_ k (\mathbf{x}_ i - \mathbf{m}_ k)^\top W_ k (\mathbf{x}_ i - \mathbf{m}_ k) + \beta_ k^{-1} D \)。 计算后归一化：\( r_ {ik} = r_ {ik} / \sum_ {j=1}^K r_ {ij} \)。 更新 \( q(\boldsymbol{\pi}) \) （参数 \( \boldsymbol{\alpha} \)) ： 最大化得到狄利克雷后验： \[ \alpha_ k = \alpha_ 0 + N_ k, \quad \text{其中 } N_ k = \sum_ {i=1}^N r_ {ik} \] 更新 \( q(\boldsymbol{\mu}_ k, \boldsymbol{\Lambda}_ k) \) （高斯-威沙特参数） ： 最大化得到共轭更新： \( \beta_ k = \beta_ 0 + N_ k \) \( \mathbf{m} k = \frac{1}{\beta_ k} \left( \beta_ 0 \mathbf{m} 0 + \sum {i=1}^N r {ik} \mathbf{x}_ i \right) \) \( W_ k^{-1} = W_ 0^{-1} + \sum_ {i=1}^N r_ {ik} (\mathbf{x}_ i - \bar{\mathbf{x}}_ k)(\mathbf{x}_ i - \bar{\mathbf{x}}_ k)^\top + \frac{\beta_ 0 N_ k}{\beta_ 0 + N_ k} (\bar{\mathbf{x}}_ k - \mathbf{m}_ 0)(\bar{\mathbf{x}}_ k - \mathbf{m} 0)^\top \)，其中 \( \bar{\mathbf{x}} k = \frac{1}{N_ k} \sum {i=1}^N r {ik} \mathbf{x}_ i \)。 \( \nu_ k = \nu_ 0 + N_ k \) 第五步：算法执行与收敛性分析 算法流程 ： 初始化变分参数 \( \boldsymbol{\alpha}, \{\mathbf{m} k, \beta_ k, W_ k, \nu_ k\} \)，以及责任 \( r {ik} \)（可随机初始化）。 重复以下步骤直到 ELBO 收敛： a. 用当前参数计算 \( r_ {ik} \)（E 步类似）。 b. 用更新后的 \( r_ {ik} \) 计算 \( \boldsymbol{\alpha} \) 和各 \( \{\mathbf{m}_ k, \beta_ k, W_ k, \nu_ k\} \)（M 步类似）。 c. 计算 ELBO 值 \( \mathcal{L}(q) \)（可选，用于监控收敛）。 收敛性 ： 由于每一步更新都保证 ELBO 不下降，算法保证收敛到局部最优。 收敛条件可以是 ELBO 的变化小于阈值，或参数变化很小。 变分贝叶斯通常比 EM 算法收敛慢，但能提供后验不确定性（如通过 \( q(\boldsymbol{\mu}_ k, \boldsymbol{\Lambda}_ k) \) 的分布）。 结果解释 ： 变分责任 \( r_ {ik} \)：给出了数据点 \( i \) 属于成分 \( k \) 的后验概率，可用于软聚类。 变分后验 \( q(\boldsymbol{\pi}) \)：给出了混合权重的分布，其均值 \( \alpha_ k / \sum_ j \alpha_ j \) 表示各成分的权重估计。 变分后验 \( q(\boldsymbol{\mu}_ k, \boldsymbol{\Lambda}_ k) \)：给出了每个高斯成分的均值和协方差的后验分布，可用于估计参数及置信区间。 总结 本题目详细阐述了高斯混合模型的贝叶斯推断变分求解过程。通过引入共轭先验和平均场假设，将复杂的后验近似为可分解的变分分布，并通过最大化 ELBO 推导出各变分参数的坐标上升更新方程。该方法不仅提供了参数估计，还给出了不确定性的度量，相比 EM 算法更具贝叶斯优势。