区间动态规划例题：合并相邻石子堆的最大得分问题（每次合并的得分为两堆石子数量之和的立方，求最大总得分）
题目描述
我们有一排石子堆，排成一个线性数组 stones，其中 stones[i] 表示第 i 堆石子的数量。游戏的目标是通过一系列的合并操作，将所有石子堆合并为一堆。在每次操作中，你可以选择相邻的两堆石子进行合并，合并后形成一堆新的石子堆，其石子数量等于原来两堆石子数量之和，并且本次合并的得分被定义为两堆石子数量之和的立方。你需要设计一种合并顺序，使得整个过程中获得的总得分最大。要求计算最大总得分。
示例：
输入: stones = [1, 2, 3]
输出: 90
解释:
一种最优合并顺序：
1. 合并 (1, 2) -> 新堆 [3, 3]，得分 = (1+2)^3 = 27
2. 合并 (3, 3) -> 新堆 [6]，得分 = (3+3)^3 = 216
总得分 = 27 + 216 = 243? 不对，让我们重新计算实际过程。
注意：第一次合并后，数组变成 [3, 3]；第二次合并的是这两个3，得分 (3+3)^3 = 216。总得分 = 27 + 216 = 243，而不是90。所以 90 是怎么来的？
实际上，我们仔细看题目：每次合并的得分是“两堆石子数量之和的立方”，但合并后新的堆会替代原来两堆的位置，后续的合并是基于新堆的数量计算的。所以对于 [1,2,3]：
- 先合并 1 和 2：得分 (1+2)^3 = 27，新数组 [3,3]
- 再合并 3 和 3：得分 (3+3)^3 = 216，新数组 [6]
总得分 = 27 + 216 = 243
但示例输出是 90，这提示我们可能理解有误。实际上，示例可能是在每次合并时，得分并不是用“合并后新堆的数量”的立方，而是用“被合并的两堆的原始数量之和”的立方？不对，因为每次合并的两堆可能是之前合并产生的新堆，其数量是原始子数组的和。实际上，这里的“立方”得分是基于当前两堆的石子总数，也就是它们所代表的原始区间和。
所以我们重新计算 [1,2,3]：
- 先合并 1 和 2：两堆数量分别是1和2，和=3，得分 3^3 = 27，新堆数量3
- 再合并 3 和 3：两堆数量分别是3和3，和=6，得分 6^3 = 216
总得分 243，但示例输出是 90，说明题目可能不是立方，而是平方？但题目明确写了立方。这可能是示例错误，或者题目实际定义是平方。为了避免混淆，我们假定题目是“立方”，但为了示例合理，我们先用平方来理解示例。
实际上，如果得分为平方：
- 先合并1和2：得分 (1+2)^2=9，新堆3
- 再合并3和3：得分 (3+3)^2=36
总得分=45，也不是90。
如果先合并2和3：得分 (2+3)^2=25，新数组[1,5]；再合并1和5：得分 (1+5)^2=36，总得分=61，也不是90。
如果得分为乘积：(1+2)*? 也不对。
所以，为了澄清，我们假设题目中“立方”是正确描述，示例输出可能是另一组数据的结果。在讲解中，我们专注于“立方”这一设定。
为了讲解清晰，我们重新定义示例，使其与立方得分一致：
假设 stones = [1, 2, 3]，最大得分是 243，如上述计算。但可能还有另一种合并顺序：先合并 2 和 3：
- 合并 (2,3)：得分 (2+3)^3 = 125，新堆 [1,5]
- 合并 (1,5)：得分 (1+5)^3 = 216
总得分 = 125+216 = 341，比243大。所以 341 才是最大得分。因此，不同的合并顺序会导致不同总得分，我们需要找到最大值。
问题形式化：
给定数组 stones[0..n-1]，定义 dp[i][j] 为将第 i 堆到第 j 堆（闭区间）合并为一堆所能获得的最大总得分。最终要求的是 dp[0][n-1]。
注意：合并过程中，每次合并的得分是“被合并的两堆的石子数量之和”的立方。这两堆的石子数量，实际上是它们所代表的原始子数组的和。因此，我们需要快速计算任意区间 [i, j] 的石子总数，可以用前缀和数组 prefixSum 来得到，其中 prefixSum[k] 表示前 k 堆石子的总数量（一般定义 prefixSum[0]=0，prefixSum[i]=sum(stones[0..i-1])），那么区间和 sum(i,j) = prefixSum[j+1] - prefixSum[i]。
状态设计：
dp[i][j] 表示将区间 [i, j] 内的所有石子堆合并为一堆所能获得的最大总得分。当区间长度为 1 时，只有一堆，不需要合并，得分为 0。
状态转移：
考虑区间 [i, j]，我们如何将其合并为一堆？最后一步合并一定是将 [i, j] 分成两个连续区间 [i, k] 和 [k+1, j]，分别将它们各自合并为一堆，然后再将这两堆合并。因此，总得分 = 将左边区间合并为一堆的最大得分 + 将右边区间合并为一堆的最大得分 + 最后合并这两堆的得分。
其中，最后合并的得分是 (sum(i,k) + sum(k+1,j))^3，但 sum(i,k) 是左边区间合并后那堆的石子数，sum(k+1,j) 是右边区间合并后那堆的石子数，它们的和正是整个区间 [i, j] 的石子总数，即 sum(i,j)。所以最后合并的得分 = (sum(i,j))^3。
因此，状态转移方程为：
dp[i][j] = max{ dp[i][k] + dp[k+1][j] } + (sum(i,j))^3，其中 k 从 i 到 j-1
注意：当 i == j 时，区间只有一堆，dp[i][j] = 0。
计算顺序：
由于 dp[i][j] 依赖于更短的区间（即长度小于 j-i+1 的区间），所以我们按照区间长度从小到大计算。先计算所有长度为 1 的区间（得分0），然后长度 2, 3, ..., n。
最终答案：
dp[0][n-1]
示例计算（stones = [1,2,3]）：
n=3，前缀和 prefixSum: [0,1,3,6]（prefixSum[i] 表示前 i 个元素和，i 从0到n）。
区间和 sum(i,j) = prefixSum[j+1] - prefixSum[i]。
- 长度1：dp[0][0]=0, dp[1][1]=0, dp[2][2]=0。
- 长度2：
- 区间 [0,1]: sum=1+2=3，得分=3^3=27。只有一种划分（k=0）：dp[0][0]+dp[1][1]+27=0+0+27=27，所以 dp[0][1]=27。
- 区间 [1,2]: sum=2+3=5，得分=125。dp[1][2]=0+0+125=125。
- 长度3：区间 [0,2]，sum=1+2+3=6，得分=216。
划分点 k=0：dp[0][0]+dp[1][2]+216 = 0+125+216 = 341
划分点 k=1：dp[0][1]+dp[2][2]+216 = 27+0+216 = 243
取最大值：dp[0][2]=max(341,243)=341。
所以最大总得分为 341。
时间复杂度：
状态数 O(n^2)，每个状态需要枚举划分点 k，O(n) 种可能，总时间复杂度 O(n^3)。空间复杂度 O(n^2)。
优化考虑：
对于区间DP，O(n^3) 是常规复杂度，在 n 较小时可行（例如 n <= 200）。如果 n 更大，可能需要优化，但本题通常设定 n 在 100 左右，因此直接 DP 即可。
实现细节：
- 计算前缀和数组 prefixSum。
- 初始化 dp 数组，所有元素为0（因为长度为1时得分为0）。
- 按长度 len 从 2 到 n 遍历。
- 对于每个起点 i，计算终点 j = i+len-1。
- 计算区间和 total = prefixSum[j+1] - prefixSum[i]。
- 枚举划分点 k 从 i 到 j-1，计算 dp[i][k] + dp[k+1][j] + total^3 的最大值，赋给 dp[i][j]。
边界情况：
- 如果 n=0，没有石子堆，得分为0。
- 如果 n=1，只有一堆，不需要合并，得分为0。
总结：
这道题是经典的“石子合并”问题的变体，区别在于合并得分函数从“两堆石子数量之和”变为“和的三次方”。三次方的引入使得得分增长更快，可能会影响最优合并顺序（因为大数立方增长极快，倾向于尽早合并大数？），但状态转移方程的结构保持不变，仍然是通过枚举最后合并的分界点来求解。通过区间DP，我们可以在 O(n^3) 时间内求解最大总得分。
希望这个讲解让你清晰理解这个问题的解法。