基于线性规划的图边双连通性增广问题的整数规划建模与分支定界法求解示例
字数 4005 2025-12-19 14:42:31

基于线性规划的图边双连通性增广问题的整数规划建模与分支定界法求解示例

题目描述

假设我们有一个无向连通图 \(G = (V, E)\)，其中 \(V\) 是顶点集，\(E\) 是已有的边集。现在，我们有一组候选边（或候选链接）\(C\)，每条候选边可以以一定的成本添加到图中。我们的目标是从 \(C\) 中选择一个成本最小的边子集 \(S\)，使得将 \(S\) 中的边添加到 \(G\) 后，得到的新图是边双连通的（即，移除任意一条边后，图仍然保持连通）。我们需要为这个问题建立一个整数线性规划模型，并解释如何使用分支定界法进行求解。

循序渐进讲解

第一步：问题理解与定义

  1. 边双连通性：一个无向图是边双连通的，当且仅当图中没有桥（即，移除任意一条边后，图仍然连通）。等价地，任意两个顶点之间至少存在两条边不相交的路径。
  2. 问题目标：给定初始图 \(G\) 和候选边集 \(C\)，我们需要选择最小成本的候选边子集 \(S \subseteq C\)，使得 \(G' = (V, E \cup S)\) 是边双连通的。
  3. 关键点：初始图 \(G\) 是连通的，但可能包含桥（即不是边双连通的）。添加候选边可以消除桥，但需要以最小成本实现全图边双连通。

第二步：建立整数规划模型

我们需要定义决策变量、目标函数和约束条件。

  1. 决策变量：
    对每条候选边 \(e \in C\)，定义一个二元变量：

\[ x_e = \begin{cases} 1, & \text{如果候选边 } e \text{ 被选中添加到图中} \\ 0, & \text{否则} \end{cases} \]

  1. 目标函数：
    最小化所选候选边的总成本：

\[ \min \sum_{e \in C} c_e x_e \]

其中 \(c_e\) 是候选边 \(e\) 的成本。

  1. 约束条件：
    边双连通性的核心是：对于任意一条边 \(f \in E \cup C\)，移除 \(f\) 后图仍然连通。但 \(C\) 中的边可能未被选中，所以我们需要考虑已存在的边和选中的候选边。

    更精确的刻画：对于图的任意一个非空真子集 \(U \subset V\)（即 \(U \neq \emptyset, U \neq V\)），至少要有两条边横跨割 \((U, V \setminus U)\)，否则这个割对应的边就是桥（如果只有一条边）或子集不连通（如果没有边）。

    定义 \(\delta(U)\) 为所有一端在 \(U\)、另一端在 \(V \setminus U\) 的边的集合。边双连通要求：对任意非空真子集 \(U \subset V\)，

\[ |\delta(U) \cap E| + \sum_{e \in \delta(U) \cap C} x_e \geq 2 \]

即，横跨割 \((U, V \setminus U)\) 的已有边数量加上被选中的候选边数量至少为2。

注意：这个约束确保了任意割至少包含两条边，因此图中没有桥，满足边双连通。

  1. 完整整数规划模型：

\[ \begin{aligned} \min \quad & \sum_{e \in C} c_e x_e \\ \text{s.t.} \quad & |\delta(U) \cap E| + \sum_{e \in \delta(U) \cap C} x_e \geq 2, \quad \forall U \subset V, \emptyset \neq U \neq V \\ & x_e \in \{0,1\}, \quad \forall e \in C \end{aligned} \]

第三步：模型分析与挑战

  1. 约束数量：对每个非空真子集 \(U\) 都有一个约束，共有 \(2^{|V|} - 2\) 个约束，是指数级的，不能直接列出。
  2. 解决方法：采用分支定界法，并在每个节点求解线性规划松弛。由于约束数量巨大，我们会使用割平面法（分离问题）来动态添加必要的约束。

第四步：分支定界法框架

分支定界法是一种系统搜索整数解空间的方法，通过不断分支（固定变量取值）和定界（计算下界）来找到最优解。

  1. 初始化：建立根节点，所有 \(x_e\) 自由（在 \([0,1]\) 内）。
  2. 线性规划松弛：在每个节点，将整数约束 \(x_e \in \{0,1\}\) 松弛为 \(0 \leq x_e \leq 1\)，求解线性规划松弛问题。但约束仍是指数级的，所以我们需要用分离问题动态生成约束。

第五步：分离问题与割平面

  1. 分离问题：给定一个解 \(\bar{x}\)（可能分数），我们需要检查是否所有边双连通约束都满足。若不满足，则找到一个被违反的约束（即一个割 \(U\) 使得约束不成立），将其加入线性规划中。

    对于给定的 \(\bar{x}\)，定义每条边 \(e\) 的“容量”：

    • 如果 \(e \in E\)（已有边），容量为 1。
    • 如果 \(e \in C\)（候选边），容量为 \(\bar{x}_e\)。

    则约束可写为：对任意非空真子集 \(U\)，横跨割 \((U, V\setminus U)\) 的容量之和 \(\geq 2\)。

  2. 如何找到违反的割：
    在容量网络中，找到最小容量的割（即最小割）。如果最小割的容量 < 2，则该割对应的约束被违反。否则，所有约束满足。

    计算最小割：可以使用最大流算法（如 Edmonds-Karp 或 Push-Relabel）在 \(O(|V|^3)\) 或更优时间内完成。因为边容量非负，最小割等于最大流。

  3. 割平面迭代：

    • 求解当前线性规划松弛，得到解 \(\bar{x}\)。
    • 构建容量网络，计算最小割。
    • 如果最小割容量 < 2，得到对应子集 \(U\)，添加约束 \(|\delta(U) \cap E| + \sum_{e \in \delta(U) \cap C} x_e \geq 2\) 到线性规划中，重新求解。
    • 重复直到最小割容量 ≥ 2，此时解 \(\bar{x}\) 满足所有边双连通约束。

第六步：分支定界步骤详解

  1. 求解根节点：

    • 初始化线性规划，只有变量界约束 \(0 \leq x_e \leq 1\)。
    • 用割平面法求解松弛问题，得到最优解 \(\bar{x}\) 和目标值 \(LB_0\)（下界）。
    • 如果 \(\bar{x}\) 是整数（所有 \(x_e\) 为 0 或 1），则找到可行解，记录为当前最优解 \(x^*\)，目标值为 \(UB\)（上界）。
    • 否则，进行分支。

  2. 分支规则：
    选择一个分数变量 \(x_e\)（例如，最接近 0.5 的变量），创建两个子节点：

    • 左子节点：固定 \(x_e = 0\)。
    • 右子节点：固定 \(x_e = 1\)。

  3. 子节点处理：
    对每个子节点：

    • 求解线性规划松弛（使用割平面法）。
    • 如果松弛不可行，剪枝。
    • 如果松弛最优值 ≥ 当前 \(UB\)，剪枝（不会得到更优解）。
    • 如果松弛解为整数且值 < \(UB\)，更新 \(UB\) 和 \(x^*\)。
    • 否则，继续分支。

  4. 搜索策略：
    使用深度优先或最佳下界优先（优先处理下界最小的节点）。

  5. 终止条件：
    所有节点都被处理（剪枝或整数解）后，当前 \(x^*\) 即为最优解，\(UB\) 为最优值。

第七步：举例说明

考虑一个简单例子：

  • 图 \(G\)：顶点 \(V = \{1,2,3\}\)，初始边 \(E = \{(1,2), (2,3)\}\)（一条路径，有两个桥）。
  • 候选边 \(C = \{(1,3)\}\)，成本 \(c = 5\)。
  • 目标：添加候选边使图边双连通。

模型：

  • 变量：\(x\) 对应候选边 (1,3)。
  • 约束：对每个非空真子集 \(U\)：
    • \(U = \{1\}\)：\(\delta(U)\) 包含边 (1,2) 和候选边 (1,3)。约束：\(1 + x \geq 2\) → \(x \geq 1\)。
    • \(U = \{2\}\)：\(\delta(U)\) 包含边 (1,2) 和 (2,3)。约束：\(2 + 0 \geq 2\) 成立。
    • \(U = \{3\}\)：类似 \(U=\{1\}\)：\(1 + x \geq 2\) → \(x \geq 1\)。
    • 其他子集对称。

整数规划：

\[\min 5x, \quad \text{s.t. } x \geq 1, x \in \{0,1\} \]

最优解：\(x=1\)，成本 5。添加边 (1,3) 后，图变成三角形，边双连通。

分支定界过程（示意）：

  • 根节点：松弛 \(0 \leq x \leq 1\)，约束 \(x \geq 1\)，解 \(x=1\)，下界 5。是整数，更新 \(UB=5\)，最优解找到。

总结

这个示例展示了如何将图边双连通性增广问题建模为整数线性规划，并利用分支定界法结合割平面（分离最小割问题）来求解。关键点包括：

  1. 用割约束刻画边双连通性。
  2. 用分离问题（最小割）动态生成约束。
  3. 分支定界法处理整数性。

这种方法可以扩展到更大规模的问题，是组合优化中处理连通性增广问题的典型技术。

基于线性规划的图边双连通性增广问题的整数规划建模与分支定界法求解示例 题目描述 假设我们有一个无向连通图 \( G = (V, E) \)，其中 \( V \) 是顶点集，\( E \) 是已有的边集。现在，我们有一组候选边（或候选链接）\( C \)，每条候选边可以以一定的成本添加到图中。我们的目标是从 \( C \) 中选择一个成本最小的边子集 \( S \)，使得将 \( S \) 中的边添加到 \( G \) 后，得到的新图是 边双连通 的（即，移除任意一条边后，图仍然保持连通）。我们需要为这个问题建立一个整数线性规划模型，并解释如何使用分支定界法进行求解。 循序渐进讲解 第一步：问题理解与定义 边双连通性 ：一个无向图是边双连通的，当且仅当图中没有 桥 （即，移除任意一条边后，图仍然连通）。等价地，任意两个顶点之间至少存在两条边不相交的路径。 问题目标 ：给定初始图 \( G \) 和候选边集 \( C \)，我们需要选择最小成本的候选边子集 \( S \subseteq C \)，使得 \( G' = (V, E \cup S) \) 是边双连通的。 关键点 ：初始图 \( G \) 是连通的，但可能包含桥（即不是边双连通的）。添加候选边可以消除桥，但需要以最小成本实现全图边双连通。 第二步：建立整数规划模型 我们需要定义决策变量、目标函数和约束条件。 决策变量 ： 对每条候选边 \( e \in C \)，定义一个二元变量： \[ x_ e = \begin{cases} 1, & \text{如果候选边 } e \text{ 被选中添加到图中} \\ 0, & \text{否则} \end{cases} \] 目标函数 ： 最小化所选候选边的总成本： \[ \min \sum_ {e \in C} c_ e x_ e \] 其中 \( c_ e \) 是候选边 \( e \) 的成本。 约束条件 ： 边双连通性的核心是：对于任意一条边 \( f \in E \cup C \)，移除 \( f \) 后图仍然连通。但 \( C \) 中的边可能未被选中，所以我们需要考虑已存在的边和选中的候选边。 更精确的刻画：对于图的任意一个 非空真子集 \( U \subset V \)（即 \( U \neq \emptyset, U \neq V \)），至少要有两条边横跨割 \( (U, V \setminus U) \)，否则这个割对应的边就是桥（如果只有一条边）或子集不连通（如果没有边）。 定义 \( \delta(U) \) 为所有一端在 \( U \)、另一端在 \( V \setminus U \) 的边的集合。边双连通要求：对任意非空真子集 \( U \subset V \)， \[ |\delta(U) \cap E| + \sum_ {e \in \delta(U) \cap C} x_ e \geq 2 \] 即，横跨割 \( (U, V \setminus U) \) 的 已有边数量 加上 被选中的候选边数量 至少为2。 注意：这个约束确保了任意割至少包含两条边，因此图中没有桥，满足边双连通。 完整整数规划模型 ： \[ \begin{aligned} \min \quad & \sum_ {e \in C} c_ e x_ e \\ \text{s.t.} \quad & |\delta(U) \cap E| + \sum_ {e \in \delta(U) \cap C} x_ e \geq 2, \quad \forall U \subset V, \emptyset \neq U \neq V \\ & x_ e \in \{0,1\}, \quad \forall e \in C \end{aligned} \] 第三步：模型分析与挑战 约束数量 ：对每个非空真子集 \( U \) 都有一个约束，共有 \( 2^{|V|} - 2 \) 个约束，是指数级的，不能直接列出。 解决方法 ：采用 分支定界法 ，并在每个节点求解线性规划松弛。由于约束数量巨大，我们会使用 割平面法 （分离问题）来动态添加必要的约束。 第四步：分支定界法框架 分支定界法是一种系统搜索整数解空间的方法，通过不断分支（固定变量取值）和定界（计算下界）来找到最优解。 初始化 ：建立根节点，所有 \( x_ e \) 自由（在 \([ 0,1 ]\) 内）。 线性规划松弛 ：在每个节点，将整数约束 \( x_ e \in \{0,1\} \) 松弛为 \( 0 \leq x_ e \leq 1 \)，求解线性规划松弛问题。但约束仍是指数级的，所以我们需要用分离问题动态生成约束。 第五步：分离问题与割平面 分离问题 ：给定一个解 \( \bar{x} \)（可能分数），我们需要检查是否所有边双连通约束都满足。若不满足，则找到一个被违反的约束（即一个割 \( U \) 使得约束不成立），将其加入线性规划中。 对于给定的 \( \bar{x} \)，定义每条边 \( e \) 的“容量”： 如果 \( e \in E \)（已有边），容量为 1。 如果 \( e \in C \)（候选边），容量为 \( \bar{x}_ e \)。 则约束可写为：对任意非空真子集 \( U \)，横跨割 \( (U, V\setminus U) \) 的容量之和 \( \geq 2 \)。 如何找到违反的割 ： 在容量网络中，找到最小容量的割（即最小割）。如果最小割的容量 < 2，则该割对应的约束被违反。否则，所有约束满足。 计算最小割：可以使用最大流算法（如 Edmonds-Karp 或 Push-Relabel）在 \( O(|V|^3) \) 或更优时间内完成。因为边容量非负，最小割等于最大流。 割平面迭代 ： 求解当前线性规划松弛，得到解 \( \bar{x} \)。 构建容量网络，计算最小割。 如果最小割容量 < 2，得到对应子集 \( U \)，添加约束 \( |\delta(U) \cap E| + \sum_ {e \in \delta(U) \cap C} x_ e \geq 2 \) 到线性规划中，重新求解。 重复直到最小割容量 ≥ 2，此时解 \( \bar{x} \) 满足所有边双连通约束。 第六步：分支定界步骤详解 求解根节点 ： 初始化线性规划，只有变量界约束 \( 0 \leq x_ e \leq 1 \)。 用割平面法求解松弛问题，得到最优解 \( \bar{x} \) 和目标值 \( LB_ 0 \)（下界）。 如果 \( \bar{x} \) 是整数（所有 \( x_ e \) 为 0 或 1），则找到可行解，记录为当前最优解 \( x^* \)，目标值为 \( UB \)（上界）。 否则，进行分支。 分支规则 ： 选择一个分数变量 \( x_ e \)（例如，最接近 0.5 的变量），创建两个子节点： 左子节点：固定 \( x_ e = 0 \)。 右子节点：固定 \( x_ e = 1 \)。 子节点处理 ： 对每个子节点： 求解线性规划松弛（使用割平面法）。 如果松弛不可行，剪枝。 如果松弛最优值 ≥ 当前 \( UB \)，剪枝（不会得到更优解）。 如果松弛解为整数且值 < \( UB \)，更新 \( UB \) 和 \( x^* \)。 否则，继续分支。 搜索策略 ： 使用深度优先或最佳下界优先（优先处理下界最小的节点）。 终止条件 ： 所有节点都被处理（剪枝或整数解）后，当前 \( x^* \) 即为最优解，\( UB \) 为最优值。 第七步：举例说明 考虑一个简单例子： 图 \( G \)：顶点 \( V = \{1,2,3\} \)，初始边 \( E = \{(1,2), (2,3)\} \)（一条路径，有两个桥）。 候选边 \( C = \{(1,3)\} \)，成本 \( c = 5 \)。 目标：添加候选边使图边双连通。 模型 ： 变量：\( x \) 对应候选边 (1,3)。 约束：对每个非空真子集 \( U \)： \( U = \{1\} \)：\( \delta(U) \) 包含边 (1,2) 和候选边 (1,3)。约束：\( 1 + x \geq 2 \) → \( x \geq 1 \)。 \( U = \{2\} \)：\( \delta(U) \) 包含边 (1,2) 和 (2,3)。约束：\( 2 + 0 \geq 2 \) 成立。 \( U = \{3\} \)：类似 \( U=\{1\} \)：\( 1 + x \geq 2 \) → \( x \geq 1 \)。 其他子集对称。 整数规划 ： \[ \min 5x, \quad \text{s.t. } x \geq 1, x \in \{0,1\} \] 最优解：\( x=1 \)，成本 5。添加边 (1,3) 后，图变成三角形，边双连通。 分支定界过程 （示意）： 根节点：松弛 \( 0 \leq x \leq 1 \)，约束 \( x \geq 1 \)，解 \( x=1 \)，下界 5。是整数，更新 \( UB=5 \)，最优解找到。 总结 这个示例展示了如何将图边双连通性增广问题建模为整数线性规划，并利用分支定界法结合割平面（分离最小割问题）来求解。关键点包括： 用割约束刻画边双连通性。 用分离问题（最小割）动态生成约束。 分支定界法处理整数性。 这种方法可以扩展到更大规模的问题，是组合优化中处理连通性增广问题的典型技术。