设计一个支持动态顺序统计的哈希结构
字数 2579 2025-12-19 12:55:34

设计一个支持动态顺序统计的哈希结构

题目描述
设计一个数据结构，它需要支持以下四种操作，并且每个操作的平均时间复杂度应尽可能接近 O(1)：

  1. insert(key)：插入一个元素。
  2. delete(key)：删除一个元素。
  3. search(key)：检查一个元素是否存在。
  4. getRank(key)：返回给定元素在排序顺序中的排名（即，比它小的元素数量 + 1）。
  5. getKeyByRank(k)：返回排名为 k 的元素。

题目要求结合哈希表与平衡二叉搜索树的特性，以在接近常数时间内同时支持快速的查找、插入、删除以及基于排名的顺序查询。

解题过程

1. 问题分析

  • 如果只需要前三个操作，一个标准的哈希表就能在平均 O(1) 时间内完成。
  • 但哈希表内部是无序的，无法直接支持 getRank 和 getKeyByRank，因为这两个操作需要知道元素的排序顺序。
  • 如果只用一棵平衡二叉搜索树（如 AVL 树、红黑树），我们可以通过树的中序遍历来得到排序顺序，进而实现排名查询。但计算排名通常需要遍历子树节点，时间复杂度为 O(log n)，虽然不错，但题目希望我们追求更优的平均性能，并尽可能向 O(1) 靠近。

2. 设计思路
我们可以结合两种数据结构的优势：

  • 哈希表：实现 O(1) 的 search、insert、delete（平均）。
  • 平衡二叉搜索树：维护元素的有序结构，以支持排名查询。

但关键在于，我们需要在树中快速计算任意节点的排名。如果在每个节点中额外记录以其为根的子树的大小，那么就可以在 O(log n) 时间内计算出该节点的排名：

  • 节点排名 = 左子树节点数 + 1（如果查找的键等于当前节点） + 路径上所有比当前节点小的祖先节点的左子树大小之和。

为了进一步优化，我们可以将哈希表与树状数组或名次树结合。但更经典且直接的设计是采用Treap 或 红黑树，并在节点中存储子树大小。

3. 数据结构设计
我们采用红黑树（或任何平衡 BST）的变种，其中每个节点包含：

  • key：节点的键值。
  • size：以该节点为根的子树中节点的总数（包括自身）。
  • 左右子节点指针。

同时，我们维护一个哈希表，其键为 key，值为指向树中对应节点的指针。这样，我们可以通过哈希表在 O(1) 时间内定位到树中的节点。

4. 操作实现步骤

(1) 辅助函数：更新子树大小
在树的插入、删除、旋转操作后，需要更新相关节点的 size 属性。
规则：node.size = node.left.size + node.right.size + 1。
（约定空节点的 size 为 0）

(2) 插入操作

  1. 检查哈希表：如果 key 已存在，则不需要重复插入。
  2. 在红黑树中插入新节点。插入过程按照标准二叉搜索树插入，之后通过旋转和变色维持红黑树平衡。每次经过的节点路径上，更新节点的 size 值（因为子树增加了一个节点）。
  3. 将 key 和指向新树节点的指针存入哈希表。
  • 哈希表插入：O(1) 平均。
  • 红黑树插入：O(log n) 最坏情况。
  • 总平均时间复杂度接近 O(log n)（由于哈希表的存在，查找是否已存在是 O(1)，但树插入本身是 O(log n)）。

(3) 删除操作

  1. 通过哈希表检查 key 是否存在，若不存在则直接返回。
  2. 在红黑树中找到该节点（借助哈希表指针直接访问，无需搜索）。
  3. 执行标准红黑树删除操作，并在删除过程中更新路径上相关节点的 size 值。
  4. 从哈希表中删除该 key。
  • 哈希表删除：O(1) 平均。
  • 红黑树删除：O(log n) 最坏。
  • 总平均时间复杂度 O(log n)。

(4) 搜索操作
直接通过哈希表查找 key 是否存在，O(1) 平均时间复杂度。

(5) 获取排名 getRank(key)

  1. 通过哈希表获取该 key 对应的树节点指针。如果不存在，返回错误或 0。
  2. 在树中，从根节点开始向下搜索到该节点，沿途计算排名：
    • 初始化排名 = 0。
    • 设当前节点为 curr，从根开始。
    • 如果 key 等于 curr.key，则排名增加 curr.left.size + 1，结束。
    • 如果 key < curr.key，则进入左子树继续。
    • 如果 key > curr.key，则排名增加 curr.left.size + 1，然后进入右子树继续。
  3. 最终得到的排名即为结果。
  • 由于我们通过哈希表直接获得了节点指针，但为了计算排名，我们仍需从根遍历到该节点以累计左子树大小。这个过程是 O(log n)。

(6) 根据排名获取键 getKeyByRank(k)

  1. 如果 k < 1 或 k > 树的总节点数，返回错误。
  2. 从根节点开始：
    • 设左子树大小 leftSize = curr.left.size。
    • 如果 k == leftSize + 1，则当前节点键值就是答案。
    • 如果 k <= leftSize，进入左子树继续查找。
    • 否则，k = k - (leftSize + 1)，进入右子树继续查找。
  3. 返回找到的节点的键。
  • 时间复杂度 O(log n)。

5. 复杂度分析

  • 搜索：O(1) 平均（哈希表）。
  • 插入：O(log n) 最坏（红黑树调整）。
  • 删除：O(log n) 最坏。
  • 获取排名：O(log n)。
  • 根据排名获取键：O(log n)。

6. 边界情况与注意事项

  • 当树为空时，getKeyByRank 应返回错误。
  • 重复插入相同键应被忽略（或视为更新操作，但题目未要求更新值，所以忽略即可）。
  • 在删除节点时，注意更新哈希表与树的同步，避免野指针。
  • 在旋转操作（红黑树再平衡）时，需正确重新计算受影响节点的 size 值。

总结
本题通过结合哈希表与平衡二叉搜索树，构建了一个既能快速查找、插入、删除，又能支持基于排名的顺序查询的数据结构。哈希表负责提供 O(1) 的查找能力，而带子树大小记录的红黑树则维护了全序关系，并能在对数时间内响应排名查询。这是一种典型的空间换时间策略，通过额外的指针关联和子树大小维护，实现了动态顺序统计的高效操作。

设计一个支持动态顺序统计的哈希结构 题目描述 设计一个数据结构，它需要支持以下四种操作，并且每个操作的平均时间复杂度应尽可能接近 O(1)： insert(key) ：插入一个元素。 delete(key) ：删除一个元素。 search(key) ：检查一个元素是否存在。 getRank(key) ：返回给定元素在排序顺序中的排名（即，比它小的元素数量 + 1）。 getKeyByRank(k) ：返回排名为 k 的元素。 题目要求结合哈希表与平衡二叉搜索树的特性，以在接近常数时间内同时支持快速的查找、插入、删除以及基于排名的顺序查询。 解题过程 1. 问题分析 如果只需要前三个操作，一个标准的哈希表就能在平均 O(1) 时间内完成。 但哈希表内部是无序的，无法直接支持 getRank 和 getKeyByRank ，因为这两个操作需要知道元素的排序顺序。 如果只用一棵平衡二叉搜索树（如 AVL 树、红黑树），我们可以通过树的中序遍历来得到排序顺序，进而实现排名查询。但计算排名通常需要遍历子树节点，时间复杂度为 O(log n)，虽然不错，但题目希望我们追求更优的平均性能，并尽可能向 O(1) 靠近。 2. 设计思路 我们可以结合两种数据结构的优势： 哈希表 ：实现 O(1) 的 search 、 insert 、 delete （平均）。 平衡二叉搜索树 ：维护元素的有序结构，以支持排名查询。 但关键在于，我们需要在树中快速计算任意节点的排名。如果在每个节点中额外记录 以其为根的子树的大小 ，那么就可以在 O(log n) 时间内计算出该节点的排名： 节点排名 = 左子树节点数 + 1（如果查找的键等于当前节点） + 路径上所有比当前节点小的祖先节点的左子树大小之和。 为了进一步优化，我们可以将哈希表与 树状数组 或 名次树 结合。但更经典且直接的设计是采用 Treap 或 红黑树 ，并在节点中存储子树大小。 3. 数据结构设计 我们采用 红黑树 （或任何平衡 BST）的变种，其中每个节点包含： key ：节点的键值。 size ：以该节点为根的子树中节点的总数（包括自身）。 左右子节点指针。 同时，我们维护一个 哈希表 ，其键为 key ，值为指向树中对应节点的指针。这样，我们可以通过哈希表在 O(1) 时间内定位到树中的节点。 4. 操作实现步骤 (1) 辅助函数：更新子树大小 在树的插入、删除、旋转操作后，需要更新相关节点的 size 属性。 规则： node.size = node.left.size + node.right.size + 1 。 （约定空节点的 size 为 0） (2) 插入操作 检查哈希表：如果 key 已存在，则不需要重复插入。 在红黑树中插入新节点。插入过程按照标准二叉搜索树插入，之后通过旋转和变色维持红黑树平衡。每次经过的节点路径上，更新节点的 size 值（因为子树增加了一个节点）。 将 key 和指向新树节点的指针存入哈希表。 哈希表插入：O(1) 平均。 红黑树插入：O(log n) 最坏情况。 总平均时间复杂度接近 O(log n)（由于哈希表的存在，查找是否已存在是 O(1)，但树插入本身是 O(log n)）。 (3) 删除操作 通过哈希表检查 key 是否存在，若不存在则直接返回。 在红黑树中找到该节点（借助哈希表指针直接访问，无需搜索）。 执行标准红黑树删除操作，并在删除过程中更新路径上相关节点的 size 值。 从哈希表中删除该 key 。 哈希表删除：O(1) 平均。 红黑树删除：O(log n) 最坏。 总平均时间复杂度 O(log n)。 (4) 搜索操作 直接通过哈希表查找 key 是否存在，O(1) 平均时间复杂度。 (5) 获取排名 getRank(key) 通过哈希表获取该 key 对应的树节点指针。如果不存在，返回错误或 0。 在树中，从根节点开始向下搜索到该节点，沿途计算排名： 初始化排名 = 0。 设当前节点为 curr ，从根开始。 如果 key 等于 curr.key ，则排名增加 curr.left.size + 1 ，结束。 如果 key < curr.key ，则进入左子树继续。 如果 key > curr.key ，则排名增加 curr.left.size + 1 ，然后进入右子树继续。 最终得到的排名即为结果。 由于我们通过哈希表直接获得了节点指针，但为了计算排名，我们仍需从根遍历到该节点以累计左子树大小。这个过程是 O(log n)。 (6) 根据排名获取键 getKeyByRank(k) 如果 k < 1 或 k > 树的总节点数，返回错误。 从根节点开始： 设左子树大小 leftSize = curr.left.size 。 如果 k == leftSize + 1，则当前节点键值就是答案。 如果 k <= leftSize，进入左子树继续查找。 否则， k = k - (leftSize + 1) ，进入右子树继续查找。 返回找到的节点的键。 时间复杂度 O(log n)。 5. 复杂度分析 搜索：O(1) 平均（哈希表）。 插入：O(log n) 最坏（红黑树调整）。 删除：O(log n) 最坏。 获取排名：O(log n)。 根据排名获取键：O(log n)。 6. 边界情况与注意事项 当树为空时， getKeyByRank 应返回错误。 重复插入相同键应被忽略（或视为更新操作，但题目未要求更新值，所以忽略即可）。 在删除节点时，注意更新哈希表与树的同步，避免野指针。 在旋转操作（红黑树再平衡）时，需正确重新计算受影响节点的 size 值。 总结 本题通过结合哈希表与平衡二叉搜索树，构建了一个既能快速查找、插入、删除，又能支持基于排名的顺序查询的数据结构。哈希表负责提供 O(1) 的查找能力，而带子树大小记录的红黑树则维护了全序关系，并能在对数时间内响应排名查询。这是一种典型的空间换时间策略，通过额外的指针关联和子树大小维护，实现了动态顺序统计的高效操作。