好的，我已仔细核对历史列表。我们来看一个在“区间动态规划”领域非常重要且 未 出现在你已列出的题目中的经典问题。 题目：多边形三角剖分的最低得分问题 题目描述： 给定一个凸多边形，其顶点按顺时针顺序标记为 A[0], A[1], ..., A[n-1] 。这个多边形的 n 条边用顶点序列 (A[i], A[(i+1) % n]) 表示。 多边形的 三角剖分 是指通过不相交的对角线将多边形划分为 n-2 个三角形。三角剖分的 得分 定义为所有 n-2 个三角形的 “权重” 之和。每个三角形的权重是其三个顶点的乘积。 给定一个整数数组 values ，其中 values[i] 是顶点 A[i] 的值。对于由顶点 A[i] , A[j] , A[k] 组成的三角形，其权重为 values[i] * values[j] * values[k] 。 你的任务是找出给定凸多边形进行三角剖分所能得到的 最低总分 。 示例 1： 输入： values = [1, 2, 3] 输出： 6 解释：多边形已经是三角形，无需剖分，得分就是它自身的权重： 1 * 2 * 3 = 6 。 示例 2： 输入： values = [3, 7, 4, 5] 输出： 144 解释：有两种剖分方式。 方式1：连接对角线 (0, 2)，得到三角形 (0, 1, 2) 和 (0, 2, 3)。得分 = 3*7*4 + 3*4*5 = 84 + 60 = 144 。 方式2：连接对角线 (1, 3)，得到三角形 (0, 1, 3) 和 (1, 2, 3)。得分 = 3*7*5 + 7*4*5 = 105 + 140 = 245 。 所以最低得分是 144 。 示例 3： 输入： values = [1, 3, 1, 4, 1, 5] 输出： 13 解释：一种最优剖分是连接对角线 (0, 2), (0, 4), (2, 4)。对应的三角形为 (0,1,2), (0,2,4), (2,3,4), (0,4,5)。得分计算后为13。 循序渐进解题过程 第一步：理解问题与建立直觉 凸多边形 ：意味着任意两点之间的连线都在多边形内部。这使得“不相交的对角线”的划分总是可行的，并且一个对角线会将多边形分成两个更小的凸多边形。 三角剖分 ：一个 n 边形，需要 n-3 条对角线才能形成 n-2 个三角形。 动态规划切入点 ：如果我们选择多边形的一条边 (i, j) 作为三角形的一条边，那么三角形的第三个顶点 k 必须在 i 和 j 之间（按顶点顺序）。这个三角形 (i, k, j) 会将原多边形分成三部分： 三角形 (i, k, j) 本身。 子多边形 [i, i+1, ..., k] （顶点数 ≥ 3）。 子多边形 [k, k+1, ..., j] （顶点数 ≥ 3）。 最优子结构 ：整个多边形的最优剖分，必然包含某个三角形 (i, k, j) ，且对于其划分出的两个子多边形，各自内部的剖分也必然是最优的。否则，我们可以用更优的子剖分替换掉原来的，从而得到更优的整体剖分。 第二步：定义状态 我们定义动态规划状态 dp[i][j] ： 含义 ：表示从顶点 i 到顶点 j 按顺时针方向形成的 凸子多边形 进行三角剖分所能得到的最低得分。 范围 ： i 和 j 是多边形的顶点索引。对于一个 n 边形，我们通常考虑 0 <= i < j < n 。但为了形成有效的子多边形，顶点数必须至少为3，即 j - i >= 2 。 初始状态 ：当子多边形只有两个顶点（即一条边， j - i == 1 ）时，无法形成三角形，其得分应为 0 。当子多边形恰好是三角形（ j - i == 2 ）时，无法再进行对角线划分，其得分就是这个三角形的权重 values[i] * values[i+1] * values[j] 。 第三步：推导状态转移方程 考虑子多边形 [i, i+1, ..., j] 。 如果 j - i < 2 ，它是边或点， dp[i][j] = 0 。 如果 j - i == 2 ，它是三角形， dp[i][j] = values[i] * values[i+1] * values[j] 。 如果 j - i > 2 ，它是一个边数大于3的凸多边形。我们需要找到它的最优剖分。 关键思想： 选择三角形的中间顶点 k 。 我们选择顶点 k ，其中 i < k < j 。以边 (i, j) 为基础，连接 (i, k) 和 (k, j) ，这样我们就用三角形 (i, k, j) 将这个子多边形划分成了三个部分： 三角形 (i, k, j) ，其权重为 w(i, k, j) = values[i] * values[k] * values[j] 。 左子多边形 [i, i+1, ..., k] ，其最优得分为 dp[i][k] 。 右子多边形 [k, k+1, ..., j] ，其最优得分为 dp[k][j] 。 那么，以 k 作为划分点的总得分就是： dp[i][k] + dp[k][j] + w(i, k, j) 。 我们需要尝试所有可能的 k ( i < k < j )，取其中的最小值作为 dp[i][j] 的值。 因此，状态转移方程为： 对于 j - i >= 2 ， dp[i][j] = min( dp[i][k] + dp[k][j] + values[i] * values[k] * values[j] ) ，其中 k 从 i+1 遍历到 j-1 。 特殊情况 ：当 j - i == 2 时，只有一个 k (即 i+1 )，且 dp[i][i+1] 和 dp[i+1][j] 都为0，方程简化为 values[i]*values[i+1]*values[j] ，与我们的基础情况一致。 第四步：确定计算顺序 观察状态转移方程 dp[i][j] 依赖于 dp[i][k] 和 dp[k][j] ，其中 i < k < j 。这意味着 dp[i][k] 和 dp[k][j] 对应的子多边形都比 dp[i][j] 对应的子多边形要“小”（区间长度更短）。 因此，我们必须按照 区间长度 len = j - i 从小到大的顺序来计算 dp 表。 len = 2 ：对应三角形，直接计算。 len = 3 ：对应四边形，依赖于 len=2 的结果。 len = 4 ：对应五边形，依赖于 len=2 和 len=3 的结果。 ... len = n-1 ：对应整个 n 边形，这是我们最终要求解的 dp[0][n-1] 。 第五步：算法实现与示例推演 以 values = [3, 7, 4, 5] 为例 ( n=4 )。 初始化 dp 表为 n x n 的二维数组，初始值设为 0 。 计算 len=2 (三角形) : dp[0][2] = values[0]*values[1]*values[2] = 3*7*4 = 84 dp[1][3] = values[1]*values[2]*values[3] = 7*4*5 = 140 dp[2][4] 无效，因为索引从0到3。 计算 len=3 (四边形，即整个多边形 dp[0][3] ) : i=0, j=3 ，需要遍历 k=1, 2 。 k=1 : 得分 = dp[0][1] + dp[1][3] + values[0]*values[1]*values[3] = 0 + 140 + 3*7*5 = 0+140+105=245 k=2 : 得分 = dp[0][2] + dp[2][3] + values[0]*values[2]*values[3] = 84 + 0 + 3*4*5 = 84+0+60=144 dp[0][3] = min(245, 144) = 144 最终结果 dp[0][n-1] = dp[0][3] = 144 。 第六步：复杂度分析 时间复杂度 ：状态数为 O(n²)，对于每个状态 dp[i][j] ，我们需要遍历 O(j-i) 个 k 。因此总的时间复杂度为 O(n³)。 空间复杂度 ：我们使用了一个 n x n 的二维数组，因此空间复杂度为 O(n²)。 第七步：关键点与总结 核心思想 ：将大凸多边形的最优剖分，分解为选择一个“中间顶点”构成三角形后，左右两个更小凸多边形的最优剖分。 状态定义 ： dp[i][j] 表示从顶点 i 到 j 的子多边形的最优得分。这是区间DP的典型定义。 计算顺序 ：务必按照区间长度递增的顺序计算，确保在计算大区间时，其所依赖的所有小区间都已被计算出来。 边界处理 ：当子多边形是三角形时，得分固定；当子多边形是边时，得分为0。 这个问题是区间DP解决最优划分问题的经典范例，其思路可以迁移到许多其他类似的最优分割、最优组合问题上。