这些点是 $n+1$ 阶切比雪夫多项式 $T_{n+1}(x) = \cos((n+1)\arccos x)$ 的零点。它们在区间端点处分布得更密集，能有效压制高次插值的振荡，从而提高数值稳定性。

其中基函数 $ L_i(x) = \prod_{\substack{j=0 \\ j \neq i}}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} $。

对于**切比雪夫节点** $ x_i = \cos\left( \frac{2i+1}{2(n+1)}\pi \right) $，其重心权有一个非常简洁的解析表达式：

更常见的标准化形式是 $ w_i = (-1)^i \cdot c_i $，其中 $ c_0 = c_n = 1/2 $，对于 $ 1 \le i \le n-1 $，有 $ c_i = 1 $（当节点是第二类切比雪夫多项式的极值点时，其权值为 $ w_i = (-1)^i $）。对于零点节点，上述正弦形式是精确的，但实践中常通过一个简单公式计算：$ w_i = (-1)^i $，然后忽略一个公共的缩放因子，因为它在后续计算中会被消去。

这个形式在数值计算中非常稳定，因为它避免了直接计算高次多项式的系数。

则 $ P_n(x) = u(x) / v(x) $。

其中，

- 可以证明，对于切比雪夫节点，$ L_i'(x_k) $ 可以通过预计算的重心权高效得到。一个标准结果是：

    这里 $ w_i $ 是切比雪夫节点对应的重心权（例如 $ w_i = (-1)^i $）。矩阵 $ D $ 被称为**微分矩阵**。那么，在节点 $ x_k $ 处的导数值近似为：

这个公式虽然看起来复杂，但一旦预先计算好所有的 $ w_i $，对于给定的 $ \bar{x} $，计算量是 $ O(n) $ 的，且数值稳定性好。

其中 $ \xi, \eta $ 位于包含 $ x $ 和所有 $ x_i $ 的区间内。这个公式较为复杂。

基于切比雪夫多项式逼近的数值微分：重心权公式构造与误差分析 题目描述 数值微分的目标是利用函数在某些离散节点上的函数值，来近似计算函数在某点的导数值。给定一组节点（不一定是等距的）以及对应的函数值，我们希望构造一个稳定的、高精度的数值微分公式，尤其当节点为切比雪夫节点（Chebyshev nodes）时，其具有良好的数值稳定性。本题要求：解释如何基于切比雪夫多项式的零点（即切比雪夫节点）构造对应的插值多项式，并推导用于计算一阶导数近似值的高效、稳定的“重心权公式”（Barycentric Weights Formula）。然后，分析该数值微分公式的误差特性，讨论其优势。 解题过程 第一步：问题分析与切比雪夫节点选取 数值微分的基本思路 ：我们希望计算函数 \( f(x) \) 在某个点 \( \bar{x} \) 处的导数值 \( f'(\bar{x}) \)。一种经典的方法是先构造一个通过给定数据点 \( \{ (x_ i, f(x_ i)) \}_ {i=0}^{n} \) 的插值多项式 \( P_ n(x) \)，然后对 \( P_ n(x) \) 求导，并用 \( P_ n'(\bar{x}) \) 作为 \( f'(\bar{x}) \) 的近似。 节点选择的重要性 ：对于高次多项式插值，等距节点可能导致严重的龙格现象（Runge's phenomenon），在区间端点附近误差急剧放大。为了改善这一情况，我们选择在区间 \([ -1, 1]\) 上（通过线性变换可推广到任意有限区间）的 切比雪夫节点 ： \[ x_ i = \cos\left( \frac{2i+1}{2(n+1)}\pi \right), \quad i = 0, 1, ..., n \] 这些点是 \(n+1\) 阶切比雪夫多项式 \(T_ {n+1}(x) = \cos((n+1)\arccos x)\) 的零点。它们在区间端点处分布得更密集，能有效压制高次插值的振荡，从而提高数值稳定性。 第二步：构建切比雪夫节点的拉格朗日插值多项式与重心形式 拉格朗日基函数 ：给定节点 \( x_ 0, x_ 1, ..., x_ n \)，拉格朗日插值多项式为： \[ P_ n(x) = \sum_ {i=0}^{n} f(x_ i) L_ i(x) \] 其中基函数 \( L_ i(x) = \prod_ {\substack{j=0 \\ j \neq i}}^{n} \frac{x - x_ j}{x_ i - x_ j} \)。 引入重心权 ：计算 \( L_ i(x) \) 的分母部分可以预先计算并存储。定义 重心权 \( w_ i \) 为： \[ w_ i = \frac{1}{\prod_ {\substack{j=0 \\ j \neq i}}^{n} (x_ i - x_ j)} \] 对于 切比雪夫节点 \( x_ i = \cos\left( \frac{2i+1}{2(n+1)}\pi \right) \)，其重心权有一个非常简洁的解析表达式： \[ w_ i = (-1)^i \cdot \sin\left( \frac{2i+1}{2(n+1)}\pi \right) \] 更常见的标准化形式是 \( w_ i = (-1)^i \cdot c_ i \)，其中 \( c_ 0 = c_ n = 1/2 \)，对于 \( 1 \le i \le n-1 \)，有 \( c_ i = 1 \)（当节点是第二类切比雪夫多项式的极值点时，其权值为 \( w_ i = (-1)^i \)）。对于零点节点，上述正弦形式是精确的，但实践中常通过一个简单公式计算：\( w_ i = (-1)^i \)，然后忽略一个公共的缩放因子，因为它在后续计算中会被消去。 重心形式的插值多项式 ：利用重心权，插值多项式可以写成更稳定的“重心形式”： \[ P_ n(x) = \frac{\sum_ {i=0}^{n} \frac{w_ i}{x - x_ i} f(x_ i)}{\sum_ {i=0}^{n} \frac{w_ i}{x - x_ i}}, \quad \text{当 } x \notin \{x_ i\} \] 这个形式在数值计算中非常稳定，因为它避免了直接计算高次多项式的系数。 第三步：推导基于重心权形式的数值微分公式 我们需要计算 \( f'(\bar{x}) \approx P_ n'(\bar{x}) \)。对重心形式的 \( P_ n(x) \) 求导。 设 ： \[ u(x) = \sum_ {i=0}^{n} \frac{w_ i}{x - x_ i} f(x_ i), \quad v(x) = \sum_ {i=0}^{n} \frac{w_ i}{x - x_ i} \] 则 \( P_ n(x) = u(x) / v(x) \)。 求导 ： \[ P_ n'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[ v(x) ]^2} \] 其中， \[ u'(x) = -\sum_ {i=0}^{n} \frac{w_ i}{(x - x_ i)^2} f(x_ i), \quad v'(x) = -\sum_ {i=0}^{n} \frac{w_ i}{(x - x_ i)^2} \] 计算在节点 \( x_ k \) 处的导数值 （这是最常见的需求，比如计算所有节点处的导数值）： 当 \( x = x_ k \) 时，公式 \( P_ n(x) = u(x)/v(x) \) 出现 \(0/0\) 的不定式，需要取极限处理。更直接的方法是回到拉格朗日形式的导数公式。 对 \( P_ n(x) = \sum_ {i=0}^{n} f(x_ i) L_ i(x) \) 求导，在 \( x=x_ k \) 处： \[ P_ n'(x_ k) = \sum_ {i=0}^{n} f(x_ i) L_ i'(x_ k) \] 可以证明，对于切比雪夫节点，\( L_ i'(x_ k) \) 可以通过预计算的重心权高效得到。一个标准结果是： \[ D_ {ki} = L_ i'(x_ k) = \begin{cases} \frac{w_ i / w_ k}{x_ k - x_ i}, & \text{if } i \neq k \\ -\sum_ {\substack{j=0 \\ j \neq k}}^{n} \frac{w_ j / w_ k}{x_ k - x_ j}, & \text{if } i = k \end{cases} \] 这里 \( w_ i \) 是切比雪夫节点对应的重心权（例如 \( w_ i = (-1)^i \)）。矩阵 \( D \) 被称为 微分矩阵 。那么，在节点 \( x_ k \) 处的导数值近似为： \[ f'(x_ k) \approx \sum_ {i=0}^{n} D_ {ki} f(x_ i) \] 计算在非节点 \( \bar{x} \) 处的导数值 ： 可以直接使用步骤2中推导的 \( P_ n'(x) \) 公式，但需要确保 \( \bar{x} \) 不与任何节点重合。将 \( x = \bar{x} \) 代入： \[ f'(\bar{x}) \approx P_ n'(\bar{x}) = \frac{ -\sum_ {i} \frac{w_ i}{(\bar{x}-x_ i)^2} f(x_ i) \cdot \sum_ {j} \frac{w_ j}{\bar{x}-x_ j} + \sum_ {i} \frac{w_ i}{\bar{x}-x_ i} f(x_ i) \cdot \sum_ {j} \frac{w_ j}{(\bar{x}-x_ j)^2} }{\left[ \sum_ {j} \frac{w_ j}{\bar{x}-x_ j} \right ]^2 } \] 这个公式虽然看起来复杂，但一旦预先计算好所有的 \( w_ i \)，对于给定的 \( \bar{x} \)，计算量是 \( O(n) \) 的，且数值稳定性好。 第四步：误差分析 误差公式 ：对于基于 \( n+1 \) 个节点的插值多项式数值微分，其截断误差来源于用 \( P_ n'(x) \) 代替 \( f'(x) \)。经典误差公式为： \[ f'(x) - P_ n'(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \frac{d}{dx} \left[ \prod_ {i=0}^{n} (x - x_ i) \right] + \frac{\prod_ {i=0}^{n} (x - x_ i)}{(n+1) !} \frac{d}{dx} f^{(n+1)}(\eta) \] 其中 \( \xi, \eta \) 位于包含 \( x \) 和所有 \( x_ i \) 的区间内。这个公式较为复杂。 实用误差估计 ：一个更常用的定性结论是，如果函数 \( f(x) \) 在区间上足够光滑，那么数值微分的误差主要由插值误差的导数决定。对于切比雪夫节点，节点多项式 \( \prod_ {i=0}^{n} (x - x_ i) \) 的最小最大性质，使得插值误差 \( f(x)-P_ n(x) \) 在区间上近似均匀分布，从而其导数误差也能得到较好控制。 误差阶 ：通常，使用 \( n+1 \) 个节点构造的插值多项式进行数值微分，在节点处的误差阶为 \( O(h^{n}) \)，其中 \( h \) 是节点密度的特征尺度（对于切比雪夫节点，\( h \sim 1/n \)）。在区间内部点的误差阶可能稍低，但整体上，随着节点数 \( n \) 增加，误差呈代数收敛速度。 优势 ： 稳定性 ：重心权公式避免了直接计算高次多项式的系数，减少了舍入误差的积累，尤其对于高次插值（大 \( n \) ）比等距节点的拉格朗日公式稳定得多。 高效 ：一旦预先计算好重心权 \( w_ i \) 和节点 \( x_ i \)，对于任意点 \( \bar{x} \) 求导数值，计算复杂度为 \( O(n) \)。若需计算所有节点处的导数值（即构造微分矩阵 \( D \)），复杂度为 \( O(n^2) \)，但矩阵只需构造一次。 适用性广 ：不要求节点等距，可处理任意节点分布，而切比雪夫节点是其中最优的选择之一。 总结 基于切比雪夫多项式逼近的数值微分，其核心是利用切比雪夫节点优秀的插值稳定性，结合重心权公式这一高效的数学工具，将导数计算转化为对一组预先算好的权值与节点信息的加权求和。这种方法在计算高精度导数近似值时，尤其是在整个区间上需要均匀的高精度结果时，相比传统的等距节点有限差分方法，具有明显的稳定性和精度优势。