基于格的数字签名算法：BLISS（Bimodal Lattice Signature Scheme）的密钥生成过程
字数 2153 2025-12-19 08:34:15

基于格的数字签名算法：BLISS（Bimodal Lattice Signature Scheme）的密钥生成过程

题目描述
BLISS（Bimodal Lattice Signature Scheme）是一种基于格上困难问题的后量子数字签名算法，其安全性基于环上带舍入学习（Ring-Learning With Errors，Ring-LWE）和最短向量问题（SVP）。BLISS以其较短的签名长度和高效的签名生成速度而闻名。本题目将详细讲解BLISS算法中密钥生成的具体步骤，包括参数选择、私钥生成、公钥计算及相关的数学原理。

解题过程循序渐进讲解

步骤1：理解BLISS的数学基础与参数
BLISS运行在一个多项式环 \(R_q = \mathbb{Z}_q[x] / (x^n + 1)\)，其中 \(n\) 是2的幂（如 \(n=512\)），\(q\) 是一个模数（如 \(q=12289\)）。关键参数包括：

  • 维度 \(n\)：多项式的次数。
  • 模数 \(q\)：多项式的系数模 \(q\)。
  • 私钥密度参数 \(\delta_1, \delta_2\)：控制私钥系数的分布（通常为稀疏二元多项式）。
  • 公钥噪声参数 \(\kappa\)：影响安全性。
  • 签名参数 \(M, \sigma\)：用于签名时的拒绝采样。

密钥生成的目标是产生一对密钥：私钥 \(sk\) 和公钥 \(pk\)，使得从公钥推导私钥等价于解决格上的困难问题。

步骤2：生成私钥（Secret Key）
私钥由两个短多项式 \(f, g \in R_q\) 组成，其系数取自集合 \(\{-1, 0, 1\}\)，并且满足稀疏性和可逆性条件。具体过程如下：

  1. 随机生成两个多项式 \(f, g\)，其中：
    • 每个多项式的系数独立采样：\(\Pr(1) = \Pr(-1) = \delta_1/2\)，\(\Pr(0) = 1 - \delta_1\)。
    • 确保 \(f\) 在模 \(q\) 下可逆（即存在 \(f^{-1} \in R_q\)），否则重新生成。这通过检查 \(f\) 在 \(R_q\) 中的逆元存在性实现。
  2. 私钥记为 \(sk = (f, g)\)。
    • 实际中，\(f\) 和 \(g\) 通常以紧凑的稀疏格式存储（如记录非零系数的位置和符号）。

步骤3：计算公钥（Public Key）
公钥是一个多项式 \(a \in R_q\)，满足以下关系：

  1. 计算 \(a = g \cdot f^{-1} \mod q\)。
    • 这里 \(f^{-1}\) 是 \(f\) 在环 \(R_q\) 中的乘法逆元。
  2. 公钥记为 \(pk = a\)。
    • 从公钥 \(a\) 和关系 \(a = g \cdot f^{-1} \mod q\) 中，推导 \((f, g)\) 等价于求解Ring-LWE问题，因为 \(g = a \cdot f \mod q\) 看起来像是一个带有噪声的线性方程。

步骤4：密钥的数学性质验证
为确保密钥有效，需验证：

  1. \(f\) 可逆：计算 \(f \cdot f^{-1} \equiv 1 \mod (q, x^n+1)\)。
  2. 公钥一致性：检查 \(a \cdot f \equiv g \mod q\) 是否成立。
    • 此验证在生成后本地进行，不公开。

步骤5：密钥存储与优化
在实际实现中，BLISS使用以下优化：

  • 私钥 \((f, g)\) 可进一步转换为更紧凑的形式，如存储种子用于重新生成，以减少存储开销。
  • 公钥 \(a\) 通常以向量形式存储（\(n\) 个模 \(q\) 的系数）。
  • 预计算：为加速签名过程，可预先计算 \(f^{-1}\) 和 \(2f^{-1}\) 等值并存储在私钥中。

步骤6：安全性考虑
密钥生成的安全性基于：

  1. 稀疏二元私钥：\(f, g\) 的系数来自 \(\{-1, 0, 1\}\)，但稀疏性（密度约 \(\delta_1=0.3\)）确保私钥短，同时防止暴力搜索。
  2. 公钥的Ring-LWE结构：给定 \(a\)，寻找满足 \(a \cdot f \approx g\) 的短 \((f, g)\) 是Ring-LWE问题的变体，被认为在量子计算机下困难。
  3. 参数选择：BLISS的原始参数（如 BLISS-I 到 BLISS-IV）针对不同安全级别（如128位安全性）优化了 \(n, q, \delta_1, M, \sigma\) 等，平衡安全性与效率。

总结
BLISS的密钥生成过程通过生成稀疏短私钥 \((f, g)\) 和计算公钥 \(a = g \cdot f^{-1} \mod q\)，构建了一个基于Ring-LWE问题的公私钥对。该过程确保了从公钥推导私钥的困难性，同时私钥的稀疏性为高效签名奠定了基础。后续的签名过程将利用私钥和拒绝采样技术，生成短且安全的签名。

基于格的数字签名算法：BLISS（Bimodal Lattice Signature Scheme）的密钥生成过程 题目描述 BLISS（Bimodal Lattice Signature Scheme）是一种基于格上困难问题的后量子数字签名算法，其安全性基于环上带舍入学习（Ring-Learning With Errors，Ring-LWE）和最短向量问题（SVP）。BLISS以其较短的签名长度和高效的签名生成速度而闻名。本题目将详细讲解BLISS算法中 密钥生成 的具体步骤，包括参数选择、私钥生成、公钥计算及相关的数学原理。 解题过程循序渐进讲解 步骤1：理解BLISS的数学基础与参数 BLISS运行在一个多项式环 \( R_ q = \mathbb{Z}_ q[ x ] / (x^n + 1) \)，其中 \( n \) 是2的幂（如 \( n=512 \)），\( q \) 是一个模数（如 \( q=12289 \)）。关键参数包括： 维度 \( n \)：多项式的次数。 模数 \( q \)：多项式的系数模 \( q \)。 私钥密度参数 \( \delta_ 1, \delta_ 2 \)：控制私钥系数的分布（通常为稀疏二元多项式）。 公钥噪声参数 \( \kappa \)：影响安全性。 签名参数 \( M, \sigma \)：用于签名时的拒绝采样。 密钥生成的目标是产生一对密钥：私钥 \( sk \) 和公钥 \( pk \)，使得从公钥推导私钥等价于解决格上的困难问题。 步骤2：生成私钥（Secret Key） 私钥由两个短多项式 \( f, g \in R_ q \) 组成，其系数取自集合 \( \{-1, 0, 1\} \)，并且满足稀疏性和可逆性条件。具体过程如下： 随机生成两个多项式 \( f, g \)，其中： 每个多项式的系数独立采样：\( \Pr(1) = \Pr(-1) = \delta_ 1/2 \)，\( \Pr(0) = 1 - \delta_ 1 \)。 确保 \( f \) 在模 \( q \) 下可逆（即存在 \( f^{-1} \in R_ q \)），否则重新生成。这通过检查 \( f \) 在 \( R_ q \) 中的逆元存在性实现。 私钥记为 \( sk = (f, g) \)。 实际中，\( f \) 和 \( g \) 通常以紧凑的稀疏格式存储（如记录非零系数的位置和符号）。 步骤3：计算公钥（Public Key） 公钥是一个多项式 \( a \in R_ q \)，满足以下关系： 计算 \( a = g \cdot f^{-1} \mod q \)。 这里 \( f^{-1} \) 是 \( f \) 在环 \( R_ q \) 中的乘法逆元。 公钥记为 \( pk = a \)。 从公钥 \( a \) 和关系 \( a = g \cdot f^{-1} \mod q \) 中，推导 \( (f, g) \) 等价于求解Ring-LWE问题，因为 \( g = a \cdot f \mod q \) 看起来像是一个带有噪声的线性方程。 步骤4：密钥的数学性质验证 为确保密钥有效，需验证： \( f \) 可逆：计算 \( f \cdot f^{-1} \equiv 1 \mod (q, x^n+1) \)。 公钥一致性：检查 \( a \cdot f \equiv g \mod q \) 是否成立。 此验证在生成后本地进行，不公开。 步骤5：密钥存储与优化 在实际实现中，BLISS使用以下优化： 私钥 \( (f, g) \) 可进一步转换为更紧凑的形式，如存储种子用于重新生成，以减少存储开销。 公钥 \( a \) 通常以向量形式存储（\( n \) 个模 \( q \) 的系数）。 预计算：为加速签名过程，可预先计算 \( f^{-1} \) 和 \( 2f^{-1} \) 等值并存储在私钥中。 步骤6：安全性考虑 密钥生成的安全性基于： 稀疏二元私钥：\( f, g \) 的系数来自 \( \{-1, 0, 1\} \)，但稀疏性（密度约 \( \delta_ 1=0.3 \)）确保私钥短，同时防止暴力搜索。 公钥的Ring-LWE结构：给定 \( a \)，寻找满足 \( a \cdot f \approx g \) 的短 \( (f, g) \) 是Ring-LWE问题的变体，被认为在量子计算机下困难。 参数选择：BLISS的原始参数（如 BLISS-I 到 BLISS-IV）针对不同安全级别（如128位安全性）优化了 \( n, q, \delta_ 1, M, \sigma \) 等，平衡安全性与效率。 总结 BLISS的密钥生成过程通过生成稀疏短私钥 \( (f, g) \) 和计算公钥 \( a = g \cdot f^{-1} \mod q \)，构建了一个基于Ring-LWE问题的公私钥对。该过程确保了从公钥推导私钥的困难性，同时私钥的稀疏性为高效签名奠定了基础。后续的签名过程将利用私钥和拒绝采样技术，生成短且安全的签名。