合并相邻字符的最小成本问题（相邻相同字符可合并为另一种字符，且合并有不同成本）

字数 4869 2025-12-19 08:12:32

合并相邻字符的最小成本问题（相邻相同字符可合并为另一种字符，且合并有不同成本）

我将为你讲解一道区间动态规划的题目，它涉及字符串合并操作，并包含多种合并规则和成本。这道题是区间DP中较为复杂且有代表性的题目，能很好体现状态设计和决策枚举的思想。

题目描述

给定一个字符串 s，其字符集为小写字母。你有一系列合并操作：每次可以选择两个相邻的相同字符，将它们合并成一个新的字符（可能与原字符不同），合并需要消耗一定的成本。具体规则如下：

只有相邻且相同的两个字符才能被合并。
合并后的新字符可以是任意小写字母（包括与原来相同或不同）。
对于每一对可合并的字符 (a, a) 和合并结果 b，有一个已知成本 cost(a, a, b)（其中 a 和 b 是小写字母，a 可以是任意字符，b 是合并后的结果）。
合并操作是递归进行的：每次合并后，得到的新字符串长度减1，之后可以继续在合并后的新字符串上进行合并操作。
目标是：通过一系列合并操作，将原始字符串 s 最终合并为单个字符，并使得总合并成本最小。

如果无法将字符串合并为单个字符，则返回 -1。

示例：
假设字符集为 {a, b, c}，合并成本规则如下（部分举例）：

cost(a, a, a) = 1（两个 a 合并成 a 的成本是1）
cost(a, a, b) = 2
cost(a, a, c) = 5
cost(b, b, a) = 3
其他组合可能无效（成本无穷大）。
给定字符串 s = "aabb"，问最小合并成本是多少？

解题思路

这道题的核心是：每次合并只能合并相邻且相同的字符，但合并后可以变成另一种字符。这会导致字符的变化，因此我们不仅要关心区间是否能合并，还要关心合并成什么字符。

我们可以用区间动态规划来解决：

定义状态
设 dp[l][r][c] 表示将子串 s[l:r]（左闭右闭区间）合并成单个字符 c 的最小成本。如果不可能合并成 c，则值为 INF（一个很大的数，表示不可行）。
状态转移
考虑如何将区间 [l, r] 合并成字符 c：
- 如果子串长度是1（即 l == r），那么它本身就已经是单个字符。只有当 s[l] == c 时，成本为0（无需合并）；否则不可行（INF）。
- 如果长度大于1，我们需要找到一种合并顺序。因为每次合并的是两个相邻的相同字符，我们可以考虑最后一次合并：
  最后一次合并一定是将区间 [l, k] 合并成的某个字符 x，与区间 [k+1, r] 合并成的某个字符 y 进行合并，并且要求 x == y（只有相同字符才能合并），然后合并成字符 c，此次合并的成本是 cost(x, x, c)。
  但注意，这里的 x 和 y 必须相同，我们设它们都是字符 m，则合并成 c 的成本是 cost(m, m, c)。
  那么，总成本 = 将 [l, k] 合并成 m 的最小成本 + 将 [k+1, r] 合并成 m 的最小成本 + cost(m, m, c)。
因此，我们需要枚举：
- 分割点 k（l <= k < r）
- 中间字符 m（可以是任意小写字母）
状态转移方程为：
```
如果 l == r:
    dp[l][r][c] = 0  if s[l] == c else INF
否则：
    dp[l][r][c] = min_{l <= k < r, m in 字符集} (dp[l][k][m] + dp[k+1][r][m] + cost(m, m, c))
```
初始化
- 将所有 dp[l][r][c] 初始化为 INF。
- 对于长度为1的子串，设置 dp[i][i][s[i]] = 0。
计算顺序
按区间长度从小到大计算。因为大区间的计算依赖于小区间。
答案
最终，整个字符串 s[0:n-1] 合并成单个字符的最小成本是 min_{c} dp[0][n-1][c]。如果所有 c 对应的值都是 INF，则返回 -1。

详细示例

假设 s = "aabb"，字符集为 {a, b}，成本规则如下：

cost(a, a, a) = 1
cost(a, a, b) = 2
cost(b, b, a) = 3
cost(b, b, b) = 1
其他组合无效（成本为 INF）。

我们逐步计算：

长度为1的子串：

dp[0][0]['a'] = 0, dp[0][0]['b'] = INF
dp[1][1]['a'] = 0, dp[1][1]['b'] = INF
dp[2][2]['a'] = INF, dp[2][2]['b'] = 0
dp[3][3]['a'] = INF, dp[3][3]['b'] = 0

长度为2的子串：

区间 [0,1]：两个 "aa"
枚举合并结果 c：
- 合并成 'a'：cost(a, a, a) = 1，所以 dp[0][1]['a'] = 1
- 合并成 'b'：cost(a, a, b) = 2，所以 dp[0][1]['b'] = 2
区间 [2,3]：两个 "bb"
- 合并成 'a'：cost(b, b, a) = 3，所以 dp[2][3]['a'] = 3
- 合并成 'b'：cost(b, b, b) = 1，所以 dp[2][3]['b'] = 1

长度为4的子串 [0,3]（即 "aabb"）：
我们要计算 dp[0][3][c]，其中 c 是 'a' 或 'b'。

枚举分割点 k 和中间字符 m：

分割点 k=1（即分成 "aa" 和 "bb"）：
- 中间字符 m='a'：需要将 [0,1] 合并成 'a'（成本1），将 [2,3] 合并成 'a'（成本3），然后合并 (a, a) 成目标字符 c：
  如果目标 c='a'，则合并成本 cost(a, a, a)=1，总成本 = 1+3+1=5。
  如果目标 c='b'，则合并成本 cost(a, a, b)=2，总成本 = 1+3+2=6。
- 中间字符 m='b'：需要将 [0,1] 合并成 'b'（成本2），将 [2,3] 合并成 'b'（成本1），然后合并 (b, b) 成目标字符 c：
  如果目标 c='a'，则合并成本 cost(b, b, a)=3，总成本 = 2+1+3=6。
  如果目标 c='b'，则合并成本 cost(b, b, b)=1，总成本 = 2+1+1=4。
分割点 k=2（即分成 "aab" 和 "b"）：
注意：[0,2] 长度为3，我们还没计算它的 dp 值。实际上，我们需要先计算所有长度为3的子串。

长度为3的子串：

区间 [0,2]："aab"
枚举分割点：
- 分割点 k=0（分成 "a" 和 "ab"）："ab" 是长度为2的子串，但我们之前只计算了 "aa" 和 "bb"，没有 "ab"。而且 "ab" 中的两个字符不同，无法直接合并，所以必须通过间接方式：先合并 "aa" 变成某个字符，再与 "b" 合并？等等，我们重新审视：对于长度为2的 "ab"，由于两个字符不同，无法进行任何合并操作，所以它不可能合并成单个字符，因此 dp[1][2][c] 对所有 c 都是 INF。于是这个分割方案不可行。
- 分割点 k=1（分成 "aa" 和 "b"）：
  将 "aa" 合并成某个字符 m，然后与 "b" 合并。但注意：合并操作要求两个字符相同。所以必须让 m 等于 'b' 才能合并。那么：
  将 [0,1] 合并成 'b' 的最小成本是2（来自之前的计算结果）。
  将 [2,2] 合并成 'b' 的最小成本是0（因为 s[2] 就是 'b'）。
  然后合并 (b, b) 成目标字符 c：
  如果目标 c='a'，则成本为 cost(b, b, a)=3，总成本 = 2+0+3=5。
  如果目标 c='b'，则成本为 cost(b, b, b)=1，总成本 = 2+0+1=3。
  因此，dp[0][2]['a'] = 5, dp[0][2]['b'] = 3。
区间 [1,3]："abb"
类似地，枚举分割点：
- 分割点 k=1（分成 "a" 和 "bb"）："bb" 可以合并成某个字符 m，且需要 m 等于 'a' 才能与左边的 'a' 合并。但 "bb" 合并成 'a' 的成本是3，合并成 'b' 的成本是1。要合并 (a, a) 或 (a, b)？只有相同字符才能合并，所以必须是 m='a'。那么：
  将 [1,1] 合并成 'a' 成本0，将 [2,3] 合并成 'a' 成本3，合并 (a, a) 成目标字符 c：
  如果目标 c='a'，cost(a, a, a)=1，总成本 = 0+3+1=4。
  如果目标 c='b'，cost(a, a, b)=2，总成本 = 0+3+2=5。
- 分割点 k=2（分成 "ab" 和 "b"）："ab" 长度为2且字符不同，不可合并成单个字符，所以不可行。
  因此，dp[1][3]['a'] = 4, dp[1][3]['b'] = 5。

现在回到长度为4的区间 [0,3]：
分割点 k=1 的情况我们已算过（上面得出候选成本5,6,6,4）。
分割点 k=2 的情况：

中间字符 m='a'：需要将 [0,2] 合并成 'a'（成本5），将 [3,3] 合并成 'a'（不可行，因为 s[3]='b' 且无法变成 'a' 作为单个字符），所以不可行。
中间字符 m='b'：需要将 [0,2] 合并成 'b'（成本3），将 [3,3] 合并成 'b'（成本0），然后合并 (b, b) 成目标字符 c：
如果目标 c='a'，合并成本 cost(b, b, a)=3，总成本 = 3+0+3=6。
如果目标 c='b'，合并成本 cost(b, b, b)=1，总成本 = 3+0+1=4。

综上，我们比较所有候选：

目标 'a' 的候选成本：分割点 k=1 中间字符 'a' 得到5，分割点 k=2 中间字符 'b' 得到6，所以最小是5。
目标 'b' 的候选成本：分割点 k=1 中间字符 'b' 得到4，分割点 k=2 中间字符 'b' 得到4，所以最小是4。

因此，dp[0][3]['a'] = 5, dp[0][3]['b'] = 4。

最终答案：最小成本是 min(5, 4) = 4，合并成字符 'b'。

算法复杂度

状态数量：O(n^2 * C)，其中 n 是字符串长度，C 是字符集大小（本题为26）。
状态转移：需要枚举分割点 k 和中间字符 m，复杂度 O(n * C)。
总时间复杂度：O(n^3 * C^2)。在本题中 C=26 是常数，所以可视为 O(n^3)。
空间复杂度：O(n^2 * C)。

优化与扩展

实际实现时，cost 可以用三维数组或哈希表存储。
注意处理不可行的情况（INF）。
本题的合并规则是“相邻相同字符合并”，但合并后字符可以变化，这使得问题比简单的相邻合并更复杂，需要同时跟踪区间合并成的字符。

这道题综合了区间划分、状态设计和多阶段决策，是区间DP的一个很好的练习。

合并相邻字符的最小成本问题（相邻相同字符可合并为另一种字符，且合并有不同成本）我将为你讲解一道区间动态规划的题目，它涉及字符串合并操作，并包含多种合并规则和成本。这道题是区间DP中较为复杂且有代表性的题目，能很好体现状态设计和决策枚举的思想。题目描述给定一个字符串 s ，其字符集为小写字母。你有一系列合并操作：每次可以选择两个相邻的相同字符，将它们合并成一个新的字符（可能与原字符不同），合并需要消耗一定的成本。具体规则如下：只有相邻且相同的两个字符才能被合并。合并后的新字符可以是任意小写字母（包括与原来相同或不同）。对于每一对可合并的字符 (a, a) 和合并结果 b ，有一个已知成本 cost(a, a, b) （其中 a 和 b 是小写字母， a 可以是任意字符， b 是合并后的结果）。合并操作是递归进行的：每次合并后，得到的新字符串长度减1，之后可以继续在合并后的新字符串上进行合并操作。目标是：通过一系列合并操作，将原始字符串 s 最终合并为单个字符，并使得总合并成本最小。如果无法将字符串合并为单个字符，则返回 -1 。示例：假设字符集为 {a, b, c} ，合并成本规则如下（部分举例）： cost(a, a, a) = 1 （两个 a 合并成 a 的成本是1） cost(a, a, b) = 2 cost(a, a, c) = 5 cost(b, b, a) = 3 其他组合可能无效（成本无穷大）。给定字符串 s = "aabb" ，问最小合并成本是多少？解题思路这道题的核心是：每次合并只能合并相邻且相同的字符，但合并后可以变成另一种字符。这会导致字符的变化，因此我们不仅要关心区间是否能合并，还要关心合并成什么字符。我们可以用区间动态规划来解决：定义状态设 dp[l][r][c] 表示将子串 s[l:r] （左闭右闭区间）合并成单个字符 c 的最小成本。如果不可能合并成 c ，则值为 INF （一个很大的数，表示不可行）。状态转移考虑如何将区间 [l, r] 合并成字符 c ：如果子串长度是1（即 l == r ），那么它本身就已经是单个字符。只有当 s[l] == c 时，成本为0（无需合并）；否则不可行（ INF ）。如果长度大于1，我们需要找到一种合并顺序。因为每次合并的是两个相邻的相同字符，我们可以考虑最后一次合并：最后一次合并一定是将区间 [l, k] 合并成的某个字符 x ，与区间 [k+1, r] 合并成的某个字符 y 进行合并，并且要求 x == y （只有相同字符才能合并），然后合并成字符 c ，此次合并的成本是 cost(x, x, c) 。但注意，这里的 x 和 y 必须相同，我们设它们都是字符 m ，则合并成 c 的成本是 cost(m, m, c) 。那么，总成本 = 将 [l, k] 合并成 m 的最小成本 + 将 [k+1, r] 合并成 m 的最小成本 + cost(m, m, c) 。因此，我们需要枚举：分割点 k （ l <= k < r ）中间字符 m （可以是任意小写字母）状态转移方程为：初始化将所有 dp[l][r][c] 初始化为 INF 。对于长度为1的子串，设置 dp[i][i][s[i]] = 0 。计算顺序按区间长度从小到大计算。因为大区间的计算依赖于小区间。答案最终，整个字符串 s[0:n-1] 合并成单个字符的最小成本是 min_{c} dp[0][n-1][c] 。如果所有 c 对应的值都是 INF ，则返回 -1 。详细示例假设 s = "aabb" ，字符集为 {a, b} ，成本规则如下： cost(a, a, a) = 1 cost(a, a, b) = 2 cost(b, b, a) = 3 cost(b, b, b) = 1 其他组合无效（成本为 INF ）。我们逐步计算：长度为1的子串： dp[0][0]['a'] = 0 , dp[0][0]['b'] = INF dp[1][1]['a'] = 0 , dp[1][1]['b'] = INF dp[2][2]['a'] = INF , dp[2][2]['b'] = 0 dp[3][3]['a'] = INF , dp[3][3]['b'] = 0 长度为2的子串：区间 [0,1] ：两个 "aa" 枚举合并结果 c ：合并成 'a' ： cost(a, a, a) = 1 ，所以 dp[0][1]['a'] = 1 合并成 'b' ： cost(a, a, b) = 2 ，所以 dp[0][1]['b'] = 2 区间 [2,3] ：两个 "bb" 合并成 'a' ： cost(b, b, a) = 3 ，所以 dp[2][3]['a'] = 3 合并成 'b' ： cost(b, b, b) = 1 ，所以 dp[2][3]['b'] = 1 长度为4的子串 [0,3] （即 "aabb" ）：我们要计算 dp[0][3][c] ，其中 c 是 'a' 或 'b' 。枚举分割点 k 和中间字符 m ：分割点 k=1 （即分成 "aa" 和 "bb" ）：中间字符 m='a' ：需要将 [0,1] 合并成 'a' （成本1），将 [2,3] 合并成 'a' （成本3），然后合并 (a, a) 成目标字符 c ：如果目标 c='a' ，则合并成本 cost(a, a, a)=1 ，总成本 = 1+3+1=5。如果目标 c='b' ，则合并成本 cost(a, a, b)=2 ，总成本 = 1+3+2=6。中间字符 m='b' ：需要将 [0,1] 合并成 'b' （成本2），将 [2,3] 合并成 'b' （成本1），然后合并 (b, b) 成目标字符 c ：如果目标 c='a' ，则合并成本 cost(b, b, a)=3 ，总成本 = 2+1+3=6。如果目标 c='b' ，则合并成本 cost(b, b, b)=1 ，总成本 = 2+1+1=4。分割点 k=2 （即分成 "aab" 和 "b" ）：注意： [0,2] 长度为3，我们还没计算它的 dp 值。实际上，我们需要先计算所有长度为3的子串。长度为3的子串：区间 [0,2] ： "aab" 枚举分割点：分割点 k=0 （分成 "a" 和 "ab" ）： "ab" 是长度为2的子串，但我们之前只计算了 "aa" 和 "bb" ，没有 "ab" 。而且 "ab" 中的两个字符不同，无法直接合并，所以必须通过间接方式：先合并 "aa" 变成某个字符，再与 "b" 合并？等等，我们重新审视：对于长度为2的 "ab" ，由于两个字符不同，无法进行任何合并操作，所以它不可能合并成单个字符，因此 dp[1][2][c] 对所有 c 都是 INF 。于是这个分割方案不可行。分割点 k=1 （分成 "aa" 和 "b" ）：将 "aa" 合并成某个字符 m ，然后与 "b" 合并。但注意：合并操作要求两个字符相同。所以必须让 m 等于 'b' 才能合并。那么：将 [0,1] 合并成 'b' 的最小成本是2（来自之前的计算结果）。将 [2,2] 合并成 'b' 的最小成本是0（因为 s[2] 就是 'b' ）。然后合并 (b, b) 成目标字符 c ：如果目标 c='a' ，则成本为 cost(b, b, a)=3 ，总成本 = 2+0+3=5。如果目标 c='b' ，则成本为 cost(b, b, b)=1 ，总成本 = 2+0+1=3。因此， dp[0][2]['a'] = 5 , dp[0][2]['b'] = 3 。区间 [1,3] ： "abb" 类似地，枚举分割点：分割点 k=1 （分成 "a" 和 "bb" ）： "bb" 可以合并成某个字符 m ，且需要 m 等于 'a' 才能与左边的 'a' 合并。但 "bb" 合并成 'a' 的成本是3，合并成 'b' 的成本是1。要合并 (a, a) 或 (a, b) ？只有相同字符才能合并，所以必须是 m='a' 。那么：将 [1,1] 合并成 'a' 成本0，将 [2,3] 合并成 'a' 成本3，合并 (a, a) 成目标字符 c ：如果目标 c='a' ， cost(a, a, a)=1 ，总成本 = 0+3+1=4。如果目标 c='b' ， cost(a, a, b)=2 ，总成本 = 0+3+2=5。分割点 k=2 （分成 "ab" 和 "b" ）： "ab" 长度为2且字符不同，不可合并成单个字符，所以不可行。因此， dp[1][3]['a'] = 4 , dp[1][3]['b'] = 5 。现在回到长度为4的区间 [0,3] ：分割点 k=1 的情况我们已算过（上面得出候选成本5,6,6,4）。分割点 k=2 的情况：中间字符 m='a' ：需要将 [0,2] 合并成 'a' （成本5），将 [3,3] 合并成 'a' （不可行，因为 s[3]='b' 且无法变成 'a' 作为单个字符），所以不可行。中间字符 m='b' ：需要将 [0,2] 合并成 'b' （成本3），将 [3,3] 合并成 'b' （成本0），然后合并 (b, b) 成目标字符 c ：如果目标 c='a' ，合并成本 cost(b, b, a)=3 ，总成本 = 3+0+3=6。如果目标 c='b' ，合并成本 cost(b, b, b)=1 ，总成本 = 3+0+1=4。综上，我们比较所有候选：目标 'a' 的候选成本：分割点 k=1 中间字符 'a' 得到5，分割点 k=2 中间字符 'b' 得到6，所以最小是5。目标 'b' 的候选成本：分割点 k=1 中间字符 'b' 得到4，分割点 k=2 中间字符 'b' 得到4，所以最小是4。因此， dp[0][3]['a'] = 5 , dp[0][3]['b'] = 4 。最终答案：最小成本是 min(5, 4) = 4 ，合并成字符 'b' 。算法复杂度状态数量： O(n^2 * C) ，其中 n 是字符串长度， C 是字符集大小（本题为26）。状态转移：需要枚举分割点 k 和中间字符 m ，复杂度 O(n * C) 。总时间复杂度： O(n^3 * C^2) 。在本题中 C=26 是常数，所以可视为 O(n^3) 。空间复杂度： O(n^2 * C) 。优化与扩展实际实现时， cost 可以用三维数组或哈希表存储。注意处理不可行的情况（ INF ）。本题的合并规则是“相邻相同字符合并”，但合并后字符可以变化，这使得问题比简单的相邻合并更复杂，需要同时跟踪区间合并成的字符。这道题综合了区间划分、状态设计和多阶段决策，是区间DP的一个很好的练习。