好的，我将为您讲解一道在您提供的“已讲过题目列表”中未曾出现的经典区间动态规划题目：

最小插入次数构造回文串问题（标准版）

题目描述

给定一个字符串 s，你可以通过插入任意字符到字符串的任意位置，来将它转变为一个回文串。每一次插入一个字符的代价为 1。

请你计算，为了使 s 成为一个回文串，所需要进行的最少的插入操作次数。

示例 1:
输入: s = "zzazz"
输出: 0
解释: 字符串 "zzazz" 本身就是一个回文串，所以不需要插入任何字符。

示例 2:
输入: s = "mbadm"
输出: 2
解释: 字符串可以变成 "mbdadbm" 或者 "mdbabdm"，都是通过插入 2 个字符完成的。

示例 3:
输入: s = "leetcode"
输出: 5
解释: 通过插入 5 个字符，字符串可以变成 "leetcodocteel" 等回文串。

题目核心: 求一个字符串变成回文串所需的最少插入次数。

解题思路循序渐进

这个问题本质上是在问：一个字符串最少需要补充多少个字符，才能使其对称。

我们可以从最基础的概念入手，逐步构建出动态规划的解法。

步骤 1：理解问题核心与子问题分解

1. 回文串性质：一个回文串，其首尾字符是相同的，并且去掉首尾字符后，剩下的子串仍然是回文串。
2. 子问题思考：对于字符串 s[i...j]（表示从索引 i 到 j 的子串），我们想知道将其变成回文串的最小插入次数，记作 dp[i][j]。
3. 如何求解 dp[i][j]？
   • 情况 1：如果 s[i] == s[j]，那么首尾字符已经配对。我们只需要关心中间部分 s[i+1 ... j-1] 变成回文串需要多少次插入。即 dp[i][j] = dp[i+1][j-1]。
   • 情况 2：如果 s[i] != s[j]，那么首尾字符不匹配。我们有两种策略来构造回文：
     a. 在字符串的末尾插入一个与 s[i] 相同的字符。这样，外层的 s[i] 就和这个新插入的字符配对了。接下来我们只需要处理 s[i+1 ... j] 这个子串即可。操作次数为 dp[i+1][j] + 1。
     b. 在字符串的开头插入一个与 s[j] 相同的字符。这样，外层的 s[j] 就和这个新插入的字符配对了。接下来我们只需要处理 s[i ... j-1] 这个子串即可。操作次数为 dp[i][j-1] + 1。
   • 我们选择代价最小的策略，所以 dp[i][j] = min(dp[i+1][j], dp[i][j-1]) + 1。

步骤 2：定义动态规划状态与状态转移方程

• 状态定义：dp[i][j] 表示将子串 s[i...j] 变成回文串所需的最少插入次数。
• 状态转移方程：

  如果 s[i] == s[j]:
      dp[i][j] = dp[i+1][j-1]                     （当 j - i >= 2 时）
      dp[i][j] = 0                                 （当 j - i == 1 时，即长度为2的相同字符子串，如 "aa"）
      dp[i][j] = 0                                 （当 j == i 时，即单个字符，它本身是回文）
  否则 (s[i] != s[j]):
      dp[i][j] = min(dp[i+1][j], dp[i][j-1]) + 1
  

  注意：对于 s[i] == s[j] 且 j - i < 2 的情况（即子串长度为1或2且首尾相同），它已经是一个回文串，插入次数为0。

步骤 3：确定计算顺序与边界条件

1. 计算顺序：由于 dp[i][j] 依赖于 dp[i+1][j-1]，dp[i+1][j]，dp[i][j-1]，即依赖于左下方、正下方、正左方的值。因此，我们必须按照从下到上 (i 从大到小)、从左到右 (j 从小到大) 的顺序来计算 dp 表。通常 i 从 n-1 遍历到 0，j 从 i+1 遍历到 n-1。这样可以确保计算 dp[i][j] 时，它所依赖的子问题都已经被计算出来了。
2. 边界条件：
   • 当 i == j 时，dp[i][i] = 0（单个字符是回文）。
   • 当 i > j 时，这是一个空串，也是回文，dp[i][j] = 0。在我们的循环中 j 从 i+1 开始，所以不会遇到 i > j 的情况，但在递归或某些初始化中需要留意。

步骤 4：算法实现（自底向上填表法）

我们可以用一个二维数组 dp 来存储结果。

def minInsertions(s: str) -> int:
    n = len(s)
    if n <= 1:
        return 0

    # 初始化 dp 数组，大小为 n x n，所有值初始为 0
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]

    # 自底向上，从子串长度为 2 开始计算 (因为长度为1的dp[i][i]已经初始化为0)
    # 注意遍历顺序：i 从后往前，j 从 i+1 到 n-1
    for i in range(n - 1, -1, -1):       # i 从最后一个字符开始往前
        for j in range(i + 1, n):        # j 从 i 的下一个开始往后，保证 j > i
            if s[i] == s[j]:
                # 当子串长度为2 (j-i==1) 且首尾相同时，已经是回文，不需要插入
                # 当长度大于2时，取决于内部子串
                dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1]
            else:
                # 首尾不同，选择在左端或右端插入一个字符，取较小值 + 1
                dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]) + 1

    # 最终答案是将整个字符串 s[0...n-1] 变成回文所需的最少插入次数
    return dp[0][n - 1]

# 测试示例
print(minInsertions("zzazz"))  # 输出: 0
print(minInsertions("mbadm"))  # 输出: 2
print(minInsertions("leetcode"))  # 输出: 5

步骤 5：复杂度分析与优化思路

• 时间复杂度：O(n²)，其中 n 是字符串长度。我们需要填充一个 n x n 的二维 DP 表。
• 空间复杂度：O(n²)，用于存储 DP 表。
• 优化思路：
  可以观察到，在计算 dp[i][j] 时，我们只需要用到 dp[i+1][...]（下一行）和 dp[i][...]（当前行的左侧部分）。因此，我们可以将空间复杂度优化到 O(n)，只需要两行数组（滚动数组）甚至一行数组（从右往左更新）来替代整个二维表。但为了清晰理解，上面的实现使用了完整的二维表。

步骤 6：直观理解与验证

以 s = "mbadm" 为例，手动推导：

1. dp[4][4], dp[3][3] ... dp[0][0] 都是 0。
2. 计算长度2的子串：
   • dp[3][4] ("dm"): s[3] != s[4] -> min(dp[4][4], dp[3][3]) + 1 = min(0,0)+1 = 1。
   • dp[2][3] ("ad"): 同理 -> 1。
   • dp[1][2] ("ba"): -> 1。
   • dp[0][1] ("mb"): -> 1。
3. 计算长度3的子串：
   • dp[2][4] ("adm"): s[2] != s[4] -> min(dp[3][4]=1, dp[2][3]=1)+1 = 2。
   • dp[1][3] ("bad"): s[1]==s[3] (‘a’==‘a’) -> dp[2][2]=0。
   • dp[0][2] ("mba"): s[0]!=s[2] -> min(dp[1][2]=1, dp[0][1]=1)+1 = 2。
4. 计算长度4的子串：
   • dp[1][4] ("badm"): s[1]!=s[4] -> min(dp[2][4]=2, dp[1][3]=0)+1 = 1。
   • dp[0][3] ("mbad"): s[0]!=s[3] -> min(dp[1][3]=0, dp[0][2]=2)+1 = 1。
5. 计算整个字符串（长度5）：
   • dp[0][4] ("mbadm"): s[0]!=s[4] -> min(dp[1][4]=1, dp[0][3]=1)+1 = 2。

最终结果 dp[0][4] = 2，与我们示例一致。

总结

这道最小插入次数构造回文串问题是区间DP的一个非常典型的应用。其核心思想是：

1. 定义状态：dp[i][j] 表示子串变成回文的最小插入次数。
2. 状态转移：比较首尾字符。
   • 若相同，则问题转化为内部子串。
   • 若不同，则尝试在头或尾插入一个字符来匹配另一端，转化为规模更小的子问题，并取最优解。
3. 计算顺序：按照子串长度从短到长（或索引 i 从大到小，j 从小到大）进行填表。

通过这种方式，我们能够高效地解决这个问题，并且其思想可以推广到很多其他“字符串编辑成为目标形式”的区间DP问题上。