未讲过
字数 3743 2025-12-19 07:11:06

好的，我会从已列题目中筛选出一个未讲过的图论算法题目，并为你进行细致讲解。

xxx 差分约束系统（Difference Constraints System）

题目描述

想象这样一个场景：你有多个变量（例如 \(x_1, x_2, ..., x_n\)），并且你已知这些变量之间的一系列不等式关系。每个不等式都形如 \(x_j - x_i \le b_k\)，其中 \(b_k\) 是一个给定的常数（可以是负数、零或正数）。
我们的目标是：判断是否存在一组实数赋值 \(x_1, x_2, ..., x_n\)，使得所有不等式同时成立？如果存在，请找出一组可行的解。

这类由变量差构成的不等式约束系统，就称为差分约束系统。它在现实生活中应用广泛，例如任务调度（任务i必须在任务j开始后至少b时间才能开始）、距离测量、资源分配等。

解题思路

这个问题的核心洞察是，可以将每个不等式转化为图论中最短路径问题中的“三角不等式”形式，从而利用经典的最短路径算法来求解。

核心转化：
对于一个约束 \(x_j - x_i \le b_k\)，我们可以将其重写为：

\[ x_j \le x_i + b_k \]

这个形式是不是很像图论中“松弛”操作的条件？如果我们将每个变量 \(x_i\) 看作图中的一个结点，那么上面的不等式意味着：从结点 \(i\) 到结点 \(j\) 存在一条有向边，其权重为 \(b_k\)。这条边的含义是：结点 j 的距离值（即 \(x_j\)）最多比结点 i 的距离值（即 \(x_i\)）大 \(b_k\)。

更具体地说，如果我们给每个变量 \(x_i\) 赋予一个值 \(d[i]\)（可以理解为从某个“超级源点”到 i 的最短距离），那么对于边 \(i \rightarrow j\)（权重 \(b_k\)），必须满足 \(d[j] \le d[i] + b_k\)。这正是最短路径问题中，当 \(d[i]\) 已经确定时，对 \(d[j]\) 进行“松弛”操作的条件！

因此，整个差分约束系统的求解过程，等价于在一个特定的有向图中寻找一组距离赋值 \(d[1..n]\)，使得对于所有给定的边，三角不等式 \(d[j] \le d[i] + w(i, j)\) 都成立。

构建图模型

  1. 结点：为每个变量 \(x_i\) 创建一个结点 \(i\)。
  2. 边：对于每个约束 \(x_j - x_i \le b_k\)，添加一条从结点 \(i\) 指向结点 \(j\) 的有向边，边的权重 \(w(i, j) = b_k\)。
  3. 超级源点 \(s\)：为了能够启动最短路径算法，我们需要一个起点。为此，我们额外添加一个超级源点 \(s\)。从 \(s\) 向每一个结点 \(i\) 连接一条有向边，权重为 \(0\)。即 \(s \rightarrow i\)，权重 \(0\)。
    • 这条边的约束是 \(x_i - x_s \le 0\)，即 \(x_i \le x_s + 0\)。
    • 由于 \(x_s\) 是我们虚拟的参照点，我们可以方便地将其值设为 \(0\)。这样，这条边保证了所有 \(x_i \le 0\)。但这并不是唯一解，它只是帮助我们找到一个可行的、相对统一的起点。

求解步骤

现在，我们将问题转化为了：在构建的图中，以 \(s\) 为源点，计算到所有其他结点的最短路径 \(d[i]\)。

步骤1：应用最短路径算法
我们使用 Bellman-Ford 算法。为什么是它？

  • 边权可为负：我们的约束常数 \(b_k\) 可以是负数，因此图中可能存在负权边。
  • 检测负权环：Bellman-Ford 算法可以检测图中是否存在从源点可达的负权环。这一点至关重要。

步骤2：解释结果

  • 情况A：Bellman-Ford 算法成功运行完毕，得到了所有结点的最短距离 \(d[1..n]\)。

    • 根据最短路径的性质，对于图中每条边 \((i, j)\)，都有 \(d[j] \le d[i] + w(i, j)\) 成立。而这正是我们原始的不等式约束！
    • 因此，令 \(x_i = d[i]\) （其中 \(i\) 从 1 到 n），这组 \(x\) 的值就是原差分约束系统的一组可行解。
    • 注意：由于我们加了超级源点， \(d[s]\) 通常设为 0，这样得到的一组解是所有变量都 ≤ 0 的解。但这不是唯一的，给所有解加上同一个常数，仍然是可行解。

  • 情况B：Bellman-Ford 算法检测到图中存在从源点 \(s\) 可达的负权环。

    • 这意味着原差分约束系统无解！
    • 为什么？ 让我们推导一下。假设存在一个负权环：\(v_1 \rightarrow v_2 \rightarrow ... \rightarrow v_k \rightarrow v_1\)，其边权和为 \(sum < 0\)。
    • 根据边代表的约束，我们可以写出：
      \(x_2 \le x_1 + w_1\)
      \(x_3 \le x_2 + w_2\)
      ...
      \(x_k \le x_{k-1} + w_{k-1}\)
      \(x_1 \le x_k + w_k\)
    • 将这一系列不等式全部相加，左边的和等于右边的和。你会发现，所有 \(x\) 变量都被消去了，最终得到不等式：
      \(0 \le sum\)
    • 但是我们知道 \(sum < 0\)，这就产生了矛盾。因此，存在负权环等价于约束系统内部存在矛盾，无解。

举例说明

假设我们有 4 个变量 \(x_1, x_2, x_3, x_4\)，以及以下约束：

  1. \(x_1 - x_2 \le 1\) -> \(x_1 \le x_2 + 1\)
  2. \(x_2 - x_3 \le 2\) -> \(x_2 \le x_3 + 2\)
  3. \(x_3 - x_4 \le -1\) -> \(x_3 \le x_4 - 1\)
  4. \(x_4 - x_1 \le -5\) -> \(x_4 \le x_1 - 5\)

1. 建图：

  • 结点：1, 2, 3, 4。
  • 边：
    • (2->1, w=1) // 对应约束1，注意不等式是 \(x_1 - x_2\)，所以是 \(x_2\) 指向 \(x_1\)
    • (3->2, w=2) // 对应约束2
    • (4->3, w=-1) // 对应约束3
    • (1->4, w=-5) // 对应约束4
  • 超级源点 s，连接到 1, 2, 3, 4，边权为0。

2. 运行 Bellman-Ford：

  • 初始化：\(d[s]=0, d[1]=d[2]=d[3]=d[4]=\infty\)。
  • 进行多轮松弛。最终，假设我们得到的距离为：\(d[1] = -2, d[2] = -3, d[3] = -5, d[4] = -7\)。
    （你可以验证，例如对于边(1->4, w=-5)：\(d[4] = -7 \le d[1] + (-5) = -2 -5 = -7\)，成立。）

3. 得到解：

  • \(x_1 = d[1] = -2\)
  • \(x_2 = d[2] = -3\)
  • \(x_3 = d[3] = -5\)
  • \(x_4 = d[4] = -7\)
    代入原不等式检验，全部满足。所以这是一组可行解。

如果修改约束4为 \(x_4 - x_1 \le -6\)：
则第四条边变为 (1->4, w=-6)。此时图中会形成一个环 1->4->3->2->1，其边权和为 (-6) + (-1) + 2 + 1 = -4，是一个负权环。Bellman-Ford 会检测到它，从而判定系统无解。

总结

差分约束系统问题通过巧妙的图论建模，将一组代数不等式转化为了最短路径问题。其求解流程清晰：

  1. 建模：为每个变量建结点，为每个约束 \(x_j - x_i \le b_k\) 建一条从 i 到 j、权为 \(b_k\) 的有向边。添加超级源点 s 并连接所有结点（权为0）。
  2. 求解：以 s 为源点，运行 Bellman-Ford 算法。
  3. 判定：
    • 若无负环，则 dist[1..n] 即为一个可行解。
    • 若存在从 s 可达的负环，则原系统无解。

这个方法高效（时间复杂度 O(n*m)，n为变量数，m为约束数）且优雅地解决了一类重要的线性不等式可行性问题。

好的，我会从已列题目中筛选出一个 未讲过 的图论算法题目，并为你进行细致讲解。 xxx 差分约束系统（Difference Constraints System） 题目描述 想象这样一个场景：你有多个变量（例如 \( x_ 1, x_ 2, ..., x_ n \)），并且你已知这些变量之间的一系列 不等式关系 。每个不等式都形如 \( x_ j - x_ i \le b_ k \)，其中 \( b_ k \) 是一个给定的常数（可以是负数、零或正数）。 我们的目标是： 判断是否存在一组实数赋值 \( x_ 1, x_ 2, ..., x_ n \)，使得所有不等式同时成立？如果存在，请找出一组可行的解。 这类由变量差构成的不等式约束系统，就称为 差分约束系统 。它在现实生活中应用广泛，例如任务调度（任务i必须在任务j开始后至少b时间才能开始）、距离测量、资源分配等。 解题思路 这个问题的核心洞察是， 可以将每个不等式转化为图论中最短路径问题中的“三角不等式”形式 ，从而利用经典的最短路径算法来求解。 核心转化 ： 对于一个约束 \( x_ j - x_ i \le b_ k \)，我们可以将其重写为： \[ x_ j \le x_ i + b_ k \] 这个形式是不是很像图论中“松弛”操作的条件？如果我们将每个变量 \( x_ i \) 看作图中的一个 结点 ，那么上面的不等式意味着：从结点 \( i \) 到结点 \( j \) 存在一条 有向边 ，其 权重 为 \( b_ k \)。这条边的含义是： 结点 j 的距离值（即 \( x_ j \)）最多比结点 i 的距离值（即 \( x_ i \)）大 \( b_ k \) 。 更具体地说，如果我们给每个变量 \( x_ i \) 赋予一个值 \( d[ i] \)（可以理解为从某个“超级源点”到 i 的最短距离），那么对于边 \( i \rightarrow j \)（权重 \( b_ k \)），必须满足 \( d[ j] \le d[ i] + b_ k \)。这正是 最短路径问题 中，当 \( d[ i] \) 已经确定时，对 \( d[ j ] \) 进行“松弛”操作的条件！ 因此，整个差分约束系统的求解过程，等价于在一个特定的有向图中寻找一组距离赋值 \( d[ 1..n] \)，使得对于所有给定的边，三角不等式 \( d[ j] \le d[ i] + w(i, j) \) 都成立。 构建图模型 结点 ：为每个变量 \( x_ i \) 创建一个结点 \( i \)。 边 ：对于每个约束 \( x_ j - x_ i \le b_ k \)，添加一条从结点 \( i \) 指向结点 \( j \) 的有向边，边的权重 \( w(i, j) = b_ k \)。 超级源点 \( s \) ：为了能够启动最短路径算法，我们需要一个起点。为此，我们额外添加一个超级源点 \( s \)。从 \( s \) 向 每一个 结点 \( i \) 连接一条 有向边 ，权重为 \( 0 \)。即 \( s \rightarrow i \)，权重 \( 0 \)。 这条边的约束是 \( x_ i - x_ s \le 0 \)，即 \( x_ i \le x_ s + 0 \)。 由于 \( x_ s \) 是我们虚拟的参照点，我们可以方便地将其值设为 \( 0 \)。这样，这条边保证了所有 \( x_ i \le 0 \)。但这并不是唯一解，它只是帮助我们找到一个 可行的、相对统一的 起点。 求解步骤 现在，我们将问题转化为了： 在构建的图中，以 \( s \) 为源点，计算到所有其他结点的最短路径 \( d[ i] \) 。 步骤1：应用最短路径算法 我们使用 Bellman-Ford 算法 。为什么是它？ 边权可为负 ：我们的约束常数 \( b_ k \) 可以是负数，因此图中可能存在负权边。 检测负权环 ：Bellman-Ford 算法可以检测图中是否存在从源点可达的 负权环 。这一点至关重要。 步骤2：解释结果 情况A：Bellman-Ford 算法成功运行完毕，得到了所有结点的最短距离 \( d[ 1..n] \) 。 根据最短路径的性质，对于图中每条边 \( (i, j) \)，都有 \( d[ j] \le d[ i ] + w(i, j) \) 成立。而这正是我们原始的不等式约束！ 因此，令 \( x_ i = d[ i] \) （其中 \( i \) 从 1 到 n），这组 \( x \) 的值就是原差分约束系统的一组 可行解 。 注意 ：由于我们加了超级源点， \( d[ s ] \) 通常设为 0，这样得到的一组解是所有变量都 ≤ 0 的解。但这不是唯一的，给所有解加上同一个常数，仍然是可行解。 情况B：Bellman-Ford 算法检测到图中存在从源点 \( s \) 可达的负权环 。 这意味着原差分约束系统无解！ 为什么？ 让我们推导一下。假设存在一个负权环：\( v_ 1 \rightarrow v_ 2 \rightarrow ... \rightarrow v_ k \rightarrow v_ 1 \)，其边权和为 \( sum < 0 \)。 根据边代表的约束，我们可以写出： \( x_ 2 \le x_ 1 + w_ 1 \) \( x_ 3 \le x_ 2 + w_ 2 \) ... \( x_ k \le x_ {k-1} + w_ {k-1} \) \( x_ 1 \le x_ k + w_ k \) 将这一系列不等式 全部相加 ，左边的和等于右边的和。你会发现，所有 \( x \) 变量都被消去了，最终得到不等式： \( 0 \le sum \) 但是我们知道 \( sum < 0 \)，这就产生了矛盾。因此， 存在负权环等价于约束系统内部存在矛盾，无解 。 举例说明 假设我们有 4 个变量 \( x_ 1, x_ 2, x_ 3, x_ 4 \)，以及以下约束： \( x_ 1 - x_ 2 \le 1 \) -> \( x_ 1 \le x_ 2 + 1 \) \( x_ 2 - x_ 3 \le 2 \) -> \( x_ 2 \le x_ 3 + 2 \) \( x_ 3 - x_ 4 \le -1 \) -> \( x_ 3 \le x_ 4 - 1 \) \( x_ 4 - x_ 1 \le -5 \) -> \( x_ 4 \le x_ 1 - 5 \) 1. 建图 ： 结点：1, 2, 3, 4。 边： (2->1, w=1) // 对应约束1，注意不等式是 \( x_ 1 - x_ 2 \)，所以是 \( x_ 2 \) 指向 \( x_ 1 \) (3->2, w=2) // 对应约束2 (4->3, w=-1) // 对应约束3 (1->4, w=-5) // 对应约束4 超级源点 s，连接到 1, 2, 3, 4，边权为0。 2. 运行 Bellman-Ford ： 初始化：\( d[ s]=0, d[ 1]=d[ 2]=d[ 3]=d[ 4 ]=\infty \)。 进行多轮松弛。最终，假设我们得到的距离为：\( d[ 1] = -2, d[ 2] = -3, d[ 3] = -5, d[ 4 ] = -7 \)。 （你可以验证，例如对于边(1->4, w=-5)：\( d[ 4] = -7 \le d[ 1 ] + (-5) = -2 -5 = -7 \)，成立。） 3. 得到解 ： \( x_ 1 = d[ 1 ] = -2 \) \( x_ 2 = d[ 2 ] = -3 \) \( x_ 3 = d[ 3 ] = -5 \) \( x_ 4 = d[ 4 ] = -7 \) 代入原不等式检验，全部满足。所以这是一组可行解。 如果修改约束4为 \( x_ 4 - x_ 1 \le -6 \) ： 则第四条边变为 (1->4, w=-6)。此时图中会形成一个环 1->4->3->2->1，其边权和为 (-6) + (-1) + 2 + 1 = -4 ，是一个负权环。Bellman-Ford 会检测到它，从而判定系统无解。 总结 差分约束系统问题通过巧妙的图论建模，将一组代数不等式转化为了最短路径问题。其求解流程清晰： 建模 ：为每个变量建结点，为每个约束 \( x_ j - x_ i \le b_ k \) 建一条从 i 到 j、权为 \( b_ k \) 的有向边。添加超级源点 s 并连接所有结点（权为0）。 求解 ：以 s 为源点，运行 Bellman-Ford 算法 。 判定 ： 若无负环，则 dist[1..n] 即为一个可行解。 若存在从 s 可达的负环，则原系统无解。 这个方法高效（时间复杂度 O(n* m)，n为变量数，m为约束数）且优雅地解决了一类重要的线性不等式可行性问题。