在之前详细列表中从未出现过
字数 6942 2025-12-19 06:27:03

好的，作为无所不知的大神，我从区间动态规划的题库中，为你精心挑选了一个在之前详细列表中从未出现过的题目。让我们开始吧。

题目：最小成本划分平衡字符串

问题描述：

给你一个由小写字母组成的字符串 s，以及一个二维数组 cost，其中 cost[i][j] (0 <= i <= j < n) 表示将子串 s[i..j] 单独划分为一个段所需要的成本。

你的目标是将字符串 s 划分成若干连续的段（每个段是原字符串的一个子串），使得划分后的每个段都是一个“平衡字符串”。一个字符串被称为“平衡字符串”，当且仅当该字符串中所有字符出现的次数都是偶数（例如："aabb", "abccba", "" 都是平衡的；而 "aab", "abc" 不是）。

请计算出将整个字符串 s 划分为若干个平衡字符串段所需的最小总成本。如果无法完成这样的划分，请返回 -1。

输入输出示例：

  • 输入：s = "aabb", cost = [[0,1,2,3], [0,0,2,3], [0,0,0,1], [0,0,0,0]] (假设cost[i][j] 对应子串 s[i..j] 的划分成本)
    输出：0
    解释：整个字符串 "aabb" 本身就是一个平衡字符串（'a'出现2次，'b'出现2次），所以一次划分（不划分）即可，成本为 cost[0][3] = 0。
  • 输入：s = "abca", cost = [[0,100,100,1], [0,0,100,100], [0,0,0,100], [0,0,0,0]]
    输出：1
    解释：可以将字符串划分为 ["a", "bca"]。但 "a" 不平衡（'a'出现1次），所以这不是有效划分。实际上，最优划分是 ["abc", "a"]，"abc"不平衡。所以，另一种划分是 ["ab", "ca"]。"ab"中'a'和'b'各出现1次，不平衡。正确的划分是 ["a", "b", "c", "a"]，但这需要4段，成本可能更高。让我们分析：整个字符串 "abca" 中，'a'出现2次（平衡），'b'出现1次，'c'出现1次，所以整体不平衡。检查子串："ab"不平衡，"bc"不平衡，"ca"不平衡。"abc"不平衡，"bca"不平衡。所以唯一的平衡划分是划成单个字符吗？但单个字符如 "a" 也不平衡（出现1次）。因此，只有偶数长度且每种字符计数为偶数的子串才平衡。比如 "abca" 中， "a"（索引0）和 "a"（索引3）可以组成一个平衡段吗？它们不连续，不能构成一个子串。所以这个示例中，没有任何一个子串是平衡的？让我们再检查：子串 s[0..0]="a" 不平衡， s[1..1]="b" 不平衡， s[2..2]="c" 不平衡， s[3..3]="a" 不平衡。 s[0..1]="ab" 不平衡， s[1..2]="bc" 不平衡， s[2..3]="ca" 不平衡。 s[0..2]="abc" 不平衡， s[1..3]="bca" 不平衡。 s[0..3]="abca" 中，字符计数：a:2(平衡), b:1, c:1，所以不平衡。因此，对于这个字符串，无法将其划分成若干个连续且每个都是平衡的子串。所以应该返回 -1。
    因此，第二个示例是为了说明不可能的情况。

为了清晰，我们换一个可行的示例：

  • 输入：s = "aabbc"， cost矩阵需要合理定义（因为长度是5，我们假设 cost[0][4] 表示整个串的划分成本是100，而 cost[0][1]=1 (子串"aa"成本1)， cost[2][4]=1 (子串"bbc"成本1，但"bbc"中b出现2次，c出现1次，不平衡，所以这个成本无效？）。为了简单，我们手工设计一个例子：
    s = "abccba"
    这是一个回文串，也是一个平衡串（a,b,c都出现2次）。我们可以用 cost[0][5] 表示整个串的成本，比如是5。
    但是，我们也可以将其划分为 ["abc", "cba"]。 "abc" 不平衡，所以不行。或者划分为 ["ab", "cc", "ba"]。 "ab" 不平衡，"cc"平衡（c出现2次），"ba"平衡（a,b各出现1次？不，"ba"中b和a各出现1次，不平衡）。所以 "abccba" 本身是平衡的，但切成两段后，除非每段各自平衡，否则无效。例如划分为 ["a", "bccb", "a"]， "a" 不平衡。划分为 ["abccba"] 是有效的，成本为 cost[0][5]。
    假设我们还有一个更优的划分： ["abcc", "ba"]？ "abcc" 中 a:1, b:1, c:2 -> 不平衡。所以这个例子中，可能只有一个有效划分（整个串）。
    让我们构造一个更有区分度的例子：
    s = "aabbcddc"， 长度8。这个字符串整体是平衡的吗？计数：a:2, b:2, c:2, d:2 -> 平衡！所以整个串是一个有效段。
    但我们可以尝试划分成两段： ["aabb", "cddc"]。 "aabb" 平衡（a:2,b:2）， "cddc" 平衡（c:2,d:2）。所以这也是一个有效划分。
    如果 cost[0][7] = 10（整个串作为一个段）， cost[0][3]=3（"aabb"）， cost[4][7]=3（"cddc"），那么总成本为 3+3=6，小于10。所以更优。
    因此，问题的核心就是在所有可能的划分中，找到总成本最小的、且每一段都是平衡字符串的划分。

第一步：理解问题与数据特征

  1. 目标：最小化总划分成本。
  2. 约束：划分出的每一段子串必须是“平衡字符串”。
  3. 平衡字符串的定义：字符串中每个字符出现的频次都是偶数。空字符串 "" 也满足这个条件（0次被认为是偶数）。
  4. 关键观察：判断一个子串 s[i..j] 是否是平衡的，是解决问题的先决条件。我们需要高效地做到这一点。

第二步：预处理——快速判断子串是否平衡

一个直接的判断方法是遍历子串，统计每个字符的出现次数，然后检查是否全为偶数。但这样做的复杂度是 O(26 * n^2) 用于预处理所有子串，对于 n 较大时可能偏高，但通常可接受。我们可以用前缀异或状态来优化。

技巧：使用位掩码（Bitmask）

  • 小写字母只有26种。我们可以用一个26位的整数 mask 来表示从字符串开头到某个位置，每个字符出现次数的奇偶性。
  • 具体地，mask 的第 k 位（0-indexed，对应字母 'a'+k）为 1 表示该字符到目前为止出现了奇数次，为 0 表示出现了偶数次。
  • 计算前缀异或数组 prefixMask：
    • prefixMask[-1] = 0 (空串，所有字符出现0次，都是偶数)。
    • prefixMask[i] = prefixMask[i-1] XOR (1 << (s[i] - 'a'))。
  • 那么，子串 s[i..j] 的字符奇偶性状态可以表示为：
    subMask = prefixMask[j] XOR (i == 0 ? 0 : prefixMask[i-1])。
  • 重要性质：子串 s[i..j] 是平衡字符串 当且仅当 subMask == 0。因为 subMask 的每一位为1表示该字符在子串中出现奇数次，为0表示出现偶数次。平衡要求所有位都为0。

预处理复杂度：O(n) 时间计算 prefixMask，之后可以在 O(1) 时间内判断任意子串是否平衡。

第三步：定义DP状态

这是一个典型的划分型区间DP问题。我们定义：
dp[i] 表示将字符串的前 i 个字符（即 s[0..i-1]，长度为 i 的前缀）划分成若干平衡段所需的最小总成本。

  • 初始条件：dp[0] = 0。空字符串不需要划分，成本为0。
  • 最终目标：dp[n]，其中 n = len(s)。

第四步：推导状态转移方程

对于当前位置 i（i 从 1 到 n），我们考虑最后一段平衡子串的结束位置。假设最后一段是 s[j..i-1]（其中 0 <= j < i），那么：

  1. 这一段本身必须是平衡的，即根据 prefixMask 判断 s[j..i-1] 的 subMask 为 0。
  2. 将前缀 s[0..j-1] 划分好的最小成本是 dp[j]。
  3. 将子串 s[j..i-1] 划为一个段的成本是 cost[j][i-1]（注意题目中 cost 的索引是从 i 到 j，我们保持一致）。

因此，状态转移方程为：
dp[i] = min{ dp[j] + cost[j][i-1] }，对于所有满足 0 <= j < i 且子串 s[j..i-1] 是平衡字符串的 j。

如果对于某个 i，不存在这样的 j，则 dp[i] = INF（一个很大的数，表示无法划分）。

第五步：算法步骤与细节

  1. 初始化：
    • n = len(s)
    • 计算 prefixMask 数组，长度为 n+1。prefixMask[0] = 0。
    • 初始化 dp 数组，长度为 n+1，所有值设为 INF。dp[0] = 0。
  2. 预处理平衡性判断：
    • 可以预先计算一个二维布尔数组 isBalanced[i][j]，表示 s[i..j] 是否平衡。但这需要 O(n²) 空间。我们可以在 DP 过程中实时计算，因为判断是 O(1) 的。
    • 实时计算的方法：当我们需要判断 s[j..i-1] 时，计算 mask = prefixMask[i] XOR prefixMask[j]。如果 mask == 0，则是平衡的。
  3. DP 填表：
    • 外层循环 i 从 1 到 n：
      • 内层循环 j 从 0 到 i-1：
        • 计算 mask = prefixMask[i] XOR prefixMask[j]。
        • 如果 mask == 0（即子串 s[j..i-1] 平衡） 且 dp[j] != INF：
          • dp[i] = min(dp[i], dp[j] + cost[j][i-1])
  4. 得到答案：
    • 如果 dp[n] 仍然是 INF，说明无法划分，返回 -1。
    • 否则，返回 dp[n]。

第六步：复杂度分析

  • 时间复杂度：O(n²)。因为有两层循环，每次循环内判断平衡性是 O(1) 操作。
  • 空间复杂度：O(n)。主要存储 dp 数组和 prefixMask 数组。如果 cost 矩阵是给定的且是稠密矩阵，其存储复杂度为 O(n²)，但这被视为输入的一部分。我们算法额外使用的空间是 O(n)。

第七步：举例验证

让我们用一个简单例子手动走一遍算法。

假设 s = "aabb", n=4。
cost 矩阵（示例值）：

cost[0][0]=0, cost[0][1]=5, cost[0][2]=8, cost[0][3]=10
cost[1][1]=0, cost[1][2]=3, cost[1][3]=8
cost[2][2]=0, cost[2][3]=5
cost[3][3]=0
(其他cost[i][j], i>j 无意义或为0)

实际上，cost[i][j] 通常是非负的，且 cost[i][i] 表示单个字符作为一个段的成本（但单个字符几乎不可能是平衡的，除非空串，但 cost[i][i-1] 未定义，我们这里 j <= i-1 才有意义。更合理的cost定义是 cost[i][j] 对 i<=j 有定义）。

为了演示，我们简化：假设 cost[0][3]=10, cost[0][1]=5, cost[2][3]=5，其他平衡子串的成本设为一个很大的数（表示我们不希望选择它们，或者它们不是平衡的）。但根据平衡性判断，只有 s[0..1]="aa"， s[2..3]="bb"， s[0..3]="aabb" 是平衡的。

计算 prefixMask：
s = "a a b b"
索引: 0 1 2 3
prefixMask[0] = 0
i=0: 字符 'a', bit = 1<<0=1, prefixMask[1] = 0 XOR 1 = 1 (二进制...0001)
i=1: 字符 'a', bit = 1, prefixMask[2] = 1 XOR 1 = 0
i=2: 字符 'b', bit = 1<<1=2, prefixMask[3] = 0 XOR 2 = 2 (二进制...0010)
i=3: 字符 'b', bit = 2, prefixMask[4] = 2 XOR 2 = 0

DP 过程：
dp[0] = 0
i=1: 考虑 j=0, 子串 s[0..0]="a", mask = prefixMask[1] XOR prefixMask[0] = 1 XOR 0 = 1 != 0， 不是平衡的。dp[1] 保持 INF。
i=2:

  • j=0: 子串 s[0..1]="aa", mask = prefixMask[2] XOR prefixMask[0] = 0 XOR 0 = 0，平衡！ dp[2] = min(INF, dp[0]+cost[0][1]) = 0+5=5。
  • j=1: 子串 s[1..1]="a", mask = prefixMask[2] XOR prefixMask[1] = 0 XOR 1 = 1 != 0，不平衡。
    dp[2] = 5。
    i=3:
  • j=0: s[0..2]="aab", mask = prefixMask[3] XOR prefixMask[0] = 2 XOR 0 = 2 != 0。
  • j=1: s[1..2]="ab", mask = 2 XOR 1 = 3 != 0。
  • j=2: s[2..2]="b", mask = 2 XOR 2 = 0? Wait， prefixMask[3]对应索引2的字符结束，prefixMask[2]对应索引1结束。s[2..2]是索引2的字符'b'， mask = prefixMask[3] XOR prefixMask[2] = 2 XOR 0 = 2 != 0。
    dp[3] = INF。
    i=4:
  • j=0: s[0..3]="aabb", mask = prefixMask[4] XOR prefixMask[0] = 0 XOR 0 = 0，平衡。候选值 = dp[0] + cost[0][3] = 0+10 = 10。
  • j=1: s[1..3]="abb", mask = 0 XOR 1 = 1 != 0。
  • j=2: s[2..3]="bb", mask = 0 XOR 0 = 0，平衡！ 候选值 = dp[2] + cost[2][3] = 5 + 5 = 10。
  • j=3: s[3..3]="b", mask = 0 XOR 2 = 2 != 0。
    所以 dp[4] = min(10, 10) = 10。

因此，最小成本是10。这对应两种划分：一种是整个字符串作为一段，成本10；另一种是分成 ["aa", "bb"] 两段，成本5+5=10。

思考：如果我们设 cost[0][1]=1, cost[2][3]=1, cost[0][3]=5，那么：
dp[2] = 0+1=1
dp[4] 候选：j=0: 0+5=5; j=2: 1+1=2。所以 dp[4]=2，更优的划分是 ["aa", "bb"]。

第八步：总结与扩展

这道题巧妙地将“平衡字符串”（字符频次均为偶数）的判断，通过前缀异或位掩码转化为 O(1) 的判等操作，从而使得区间DP的复杂度保持在 O(n²)。它综合了状态压缩和划分型DP的思想。

可能的变体：

  1. 如果平衡的定义改为“最多有一种字符出现奇数次”（即可以有一个字符是奇数，其他都是偶数），那么判断条件就变为 subMask 是 0 或者是 2 的幂（即只有一个位为1）。
  2. 如果 cost 的计算方式改变，比如 cost[i][j] 是子串长度的平方，那么问题就变成了求划分成平衡段的最小段数（因为每段成本只与长度有关，且单调递增）。
  3. 如果字符串非常长（n 很大），O(n²) 的DP可能太慢。这时需要观察 mask 的变化。因为 mask 只有 2^26 种可能状态（尽管很大），我们可以用 DP[mask] 表示达到某种奇偶性状态时的最小成本，但这是另一种思路（状态机DP），可能适用于不同约束的问题。

希望这个从问题理解、预处理技巧、DP状态定义、转移方程到具体演算的完整过程，能帮助你透彻掌握此类“带约束的字符串划分”问题。

好的，作为无所不知的大神，我从区间动态规划的题库中，为你精心挑选了一个 在之前详细列表中从未出现过 的题目。让我们开始吧。 题目：最小成本划分平衡字符串 问题描述： 给你一个由小写字母组成的字符串 s ，以及一个二维数组 cost ，其中 cost[i][j] (0 <= i <= j < n) 表示将子串 s[i..j] 单独划分为一个段所需要的成本。 你的目标是将字符串 s 划分成若干连续的段（每个段是原字符串的一个子串），使得划分后的每个段都是一个“平衡字符串”。一个字符串被称为“平衡字符串”，当且仅当该字符串中 所有字符出现的次数都是偶数 （例如： "aabb" , "abccba" , "" 都是平衡的；而 "aab" , "abc" 不是）。 请计算出将整个字符串 s 划分为若干个平衡字符串段所需的 最小总成本 。如果无法完成这样的划分，请返回 -1 。 输入输出示例： 输入：s = "aabb", cost = [ [ 0,1,2,3], [ 0,0,2,3], [ 0,0,0,1], [ 0,0,0,0]] (假设cost[ i][ j] 对应子串 s[ i..j ] 的划分成本) 输出：0 解释：整个字符串 "aabb" 本身就是一个平衡字符串（'a'出现2次，'b'出现2次），所以一次划分（不划分）即可，成本为 cost[ 0][ 3 ] = 0。 输入：s = "abca", cost = [ [ 0,100,100,1], [ 0,0,100,100], [ 0,0,0,100], [ 0,0,0,0] ] 输出：1 解释：可以将字符串划分为 [ "a", "bca"]。但 "a" 不平衡（'a'出现1次），所以这不是有效划分。实际上，最优划分是 [ "abc", "a"]，"abc"不平衡。所以，另一种划分是 [ "ab", "ca"]。"ab"中'a'和'b'各出现1次，不平衡。正确的划分是 [ "a", "b", "c", "a"]，但这需要4段，成本可能更高。让我们分析：整个字符串 "abca" 中，'a'出现2次（平衡），'b'出现1次，'c'出现1次，所以整体不平衡。检查子串："ab"不平衡，"bc"不平衡，"ca"不平衡。"abc"不平衡，"bca"不平衡。所以唯一的平衡划分是划成单个字符吗？但单个字符如 "a" 也不平衡（出现1次）。因此，只有偶数长度且每种字符计数为偶数的子串才平衡。比如 "abca" 中， "a"（索引0）和 "a"（索引3）可以组成一个平衡段吗？它们不连续，不能构成一个子串。所以这个示例中，没有任何一个子串是平衡的？让我们再检查：子串 s[ 0..0]="a" 不平衡， s[ 1..1]="b" 不平衡， s[ 2..2]="c" 不平衡， s[ 3..3]="a" 不平衡。 s[ 0..1]="ab" 不平衡， s[ 1..2]="bc" 不平衡， s[ 2..3]="ca" 不平衡。 s[ 0..2]="abc" 不平衡， s[ 1..3]="bca" 不平衡。 s[ 0..3]="abca" 中，字符计数：a:2(平衡), b:1, c:1，所以不平衡。因此，对于这个字符串， 无法 将其划分成若干个连续且每个都是平衡的子串。所以应该返回 -1。 因此，第二个示例是为了说明不可能的情况。 为了清晰，我们换一个可行的示例： 输入：s = "aabbc"， cost矩阵需要合理定义（因为长度是5，我们假设 cost[ 0][ 4] 表示整个串的划分成本是100，而 cost[ 0][ 1]=1 (子串"aa"成本1)， cost[ 2][ 4 ]=1 (子串"bbc"成本1，但"bbc"中b出现2次，c出现1次，不平衡，所以这个成本无效？）。为了简单，我们手工设计一个例子： s = "abccba" 这是一个回文串，也是一个平衡串（a,b,c都出现2次）。我们可以用 cost[ 0][ 5 ] 表示整个串的成本，比如是5。 但是，我们也可以将其划分为 [ "abc", "cba"]。 "abc" 不平衡，所以不行。或者划分为 [ "ab", "cc", "ba"]。 "ab" 不平衡，"cc"平衡（c出现2次），"ba"平衡（a,b各出现1次？不，"ba"中b和a各出现1次，不平衡）。所以 "abccba" 本身是平衡的，但切成两段后，除非每段各自平衡，否则无效。例如划分为 [ "a", "bccb", "a"]， "a" 不平衡。划分为 [ "abccba"] 是有效的，成本为 cost[ 0][ 5 ]。 假设我们还有一个更优的划分： [ "abcc", "ba" ]？ "abcc" 中 a:1, b:1, c:2 -> 不平衡。所以这个例子中，可能只有一个有效划分（整个串）。 让我们构造一个更有区分度的例子： s = "aabbcddc"， 长度8。这个字符串整体是平衡的吗？计数：a:2, b:2, c:2, d:2 -> 平衡！所以整个串是一个有效段。 但我们可以尝试划分成两段： [ "aabb", "cddc" ]。 "aabb" 平衡（a:2,b:2）， "cddc" 平衡（c:2,d:2）。所以这也是一个有效划分。 如果 cost[ 0][ 7] = 10（整个串作为一个段）， cost[ 0][ 3]=3（"aabb"）， cost[ 4][ 7 ]=3（"cddc"），那么总成本为 3+3=6，小于10。所以更优。 因此，问题的核心就是在所有可能的划分中，找到总成本最小的、且每一段都是平衡字符串的划分。 第一步：理解问题与数据特征 目标 ：最小化总划分成本。 约束 ：划分出的每一段子串必须是“平衡字符串”。 平衡字符串的定义 ：字符串中 每个字符出现的频次都是偶数 。空字符串 "" 也满足这个条件（0次被认为是偶数）。 关键观察 ：判断一个子串 s[i..j] 是否是平衡的，是解决问题的先决条件。我们需要高效地做到这一点。 第二步：预处理——快速判断子串是否平衡 一个直接的判断方法是遍历子串，统计每个字符的出现次数，然后检查是否全为偶数。但这样做的复杂度是 O(26 * n^2) 用于预处理所有子串，对于 n 较大时可能偏高，但通常可接受。我们可以用 前缀异或状态 来优化。 技巧：使用位掩码（Bitmask） 小写字母只有26种。我们可以用一个26位的整数 mask 来表示从字符串开头到某个位置，每个字符出现次数的 奇偶性 。 具体地， mask 的第 k 位（0-indexed，对应字母 'a'+k ）为 1 表示该字符到目前为止出现了奇数次，为 0 表示出现了偶数次。 计算前缀异或数组 prefixMask ： prefixMask[-1] = 0 (空串，所有字符出现0次，都是偶数)。 prefixMask[i] = prefixMask[i-1] XOR (1 << (s[i] - 'a')) 。 那么，子串 s[i..j] 的字符奇偶性状态可以表示为： subMask = prefixMask[j] XOR (i == 0 ? 0 : prefixMask[i-1]) 。 重要性质 ：子串 s[i..j] 是平衡字符串 当且仅当 subMask == 0 。因为 subMask 的每一位为1表示该字符在子串中出现奇数次，为0表示出现偶数次。平衡要求所有位都为0。 预处理复杂度 ：O(n) 时间计算 prefixMask ，之后可以在 O(1) 时间内判断任意子串是否平衡。 第三步：定义DP状态 这是一个典型的 划分型区间DP 问题。我们定义： dp[i] 表示将字符串的前 i 个字符（即 s[0..i-1] ，长度为 i 的前缀）划分成若干平衡段所需的 最小总成本 。 初始条件： dp[0] = 0 。空字符串不需要划分，成本为0。 最终目标： dp[n] ，其中 n = len(s) 。 第四步：推导状态转移方程 对于当前位置 i （ i 从 1 到 n），我们考虑最后一段平衡子串的结束位置。假设最后一段是 s[j..i-1] （其中 0 <= j < i ），那么： 这一段本身必须是平衡的，即根据 prefixMask 判断 s[j..i-1] 的 subMask 为 0。 将前缀 s[0..j-1] 划分好的最小成本是 dp[j] 。 将子串 s[j..i-1] 划为一个段的成本是 cost[j][i-1] （注意题目中 cost 的索引是从 i 到 j，我们保持一致）。 因此，状态转移方程为： dp[i] = min{ dp[j] + cost[j][i-1] } ，对于所有满足 0 <= j < i 且子串 s[j..i-1] 是平衡字符串的 j 。 如果对于某个 i ，不存在这样的 j ，则 dp[i] = INF （一个很大的数，表示无法划分）。 第五步：算法步骤与细节 初始化 ： n = len(s) 计算 prefixMask 数组，长度为 n+1 。 prefixMask[0] = 0 。 初始化 dp 数组，长度为 n+1 ，所有值设为 INF 。 dp[0] = 0 。 预处理平衡性判断 ： 可以预先计算一个二维布尔数组 isBalanced[i][j] ，表示 s[i..j] 是否平衡。但这需要 O(n²) 空间。我们可以在 DP 过程中实时计算，因为判断是 O(1) 的。 实时计算的方法：当我们需要判断 s[j..i-1] 时，计算 mask = prefixMask[i] XOR prefixMask[j] 。如果 mask == 0 ，则是平衡的。 DP 填表 ： 外层循环 i 从 1 到 n： 内层循环 j 从 0 到 i-1： 计算 mask = prefixMask[i] XOR prefixMask[j] 。 如果 mask == 0 （即子串 s[j..i-1] 平衡） 且 dp[j] != INF ： dp[i] = min(dp[i], dp[j] + cost[j][i-1]) 得到答案 ： 如果 dp[n] 仍然是 INF ，说明无法划分，返回 -1。 否则，返回 dp[n] 。 第六步：复杂度分析 时间复杂度 ：O(n²)。因为有两层循环，每次循环内判断平衡性是 O(1) 操作。 空间复杂度 ：O(n)。主要存储 dp 数组和 prefixMask 数组。如果 cost 矩阵是给定的且是稠密矩阵，其存储复杂度为 O(n²)，但这被视为输入的一部分。我们算法额外使用的空间是 O(n)。 第七步：举例验证 让我们用一个简单例子手动走一遍算法。 假设 s = "aabb" , n=4 。 cost 矩阵（示例值）： 实际上， cost[i][j] 通常是非负的，且 cost[i][i] 表示单个字符作为一个段的成本（但单个字符几乎不可能是平衡的，除非空串，但 cost[i][i-1] 未定义，我们这里 j <= i-1 才有意义。更合理的cost定义是 cost[i][j] 对 i <=j 有定义）。 为了演示，我们简化：假设 cost[0][3]=10 , cost[0][1]=5 , cost[2][3]=5 ，其他平衡子串的成本设为一个很大的数（表示我们不希望选择它们，或者它们不是平衡的）。但根据平衡性判断，只有 s[0..1]="aa" ， s[2..3]="bb" ， s[0..3]="aabb" 是平衡的。 计算 prefixMask ： s = "a a b b" 索引: 0 1 2 3 prefixMask[ 0 ] = 0 i=0: 字符 'a', bit = 1<<0=1, prefixMask[ 1 ] = 0 XOR 1 = 1 (二进制...0001) i=1: 字符 'a', bit = 1, prefixMask[ 2 ] = 1 XOR 1 = 0 i=2: 字符 'b', bit = 1<<1=2, prefixMask[ 3 ] = 0 XOR 2 = 2 (二进制...0010) i=3: 字符 'b', bit = 2, prefixMask[ 4 ] = 2 XOR 2 = 0 DP 过程 ： dp[ 0 ] = 0 i=1: 考虑 j=0, 子串 s[ 0..0]="a", mask = prefixMask[ 1] XOR prefixMask[ 0] = 1 XOR 0 = 1 != 0， 不是平衡的。dp[ 1 ] 保持 INF。 i=2: j=0: 子串 s[ 0..1]="aa", mask = prefixMask[ 2] XOR prefixMask[ 0] = 0 XOR 0 = 0，平衡！ dp[ 2] = min(INF, dp[ 0]+cost[ 0][ 1 ]) = 0+5=5。 j=1: 子串 s[ 1..1]="a", mask = prefixMask[ 2] XOR prefixMask[ 1] = 0 XOR 1 = 1 != 0，不平衡。 dp[ 2 ] = 5。 i=3: j=0: s[ 0..2]="aab", mask = prefixMask[ 3] XOR prefixMask[ 0] = 2 XOR 0 = 2 != 0。 j=1: s[ 1..2]="ab", mask = 2 XOR 1 = 3 != 0。 j=2: s[ 2..2]="b", mask = 2 XOR 2 = 0? Wait， prefixMask[ 3]对应索引2的字符结束，prefixMask[ 2]对应索引1结束。s[ 2..2]是索引2的字符'b'， mask = prefixMask[ 3] XOR prefixMask[ 2] = 2 XOR 0 = 2 != 0。 dp[ 3 ] = INF。 i=4: j=0: s[ 0..3]="aabb", mask = prefixMask[ 4] XOR prefixMask[ 0] = 0 XOR 0 = 0，平衡。候选值 = dp[ 0] + cost[ 0][ 3 ] = 0+10 = 10。 j=1: s[ 1..3]="abb", mask = 0 XOR 1 = 1 != 0。 j=2: s[ 2..3]="bb", mask = 0 XOR 0 = 0，平衡！ 候选值 = dp[ 2] + cost[ 2][ 3 ] = 5 + 5 = 10。 j=3: s[ 3..3]="b", mask = 0 XOR 2 = 2 != 0。 所以 dp[ 4 ] = min(10, 10) = 10。 因此，最小成本是10。这对应两种划分：一种是整个字符串作为一段，成本10；另一种是分成 [ "aa", "bb" ] 两段，成本5+5=10。 思考 ：如果我们设 cost[0][1]=1 , cost[2][3]=1 , cost[0][3]=5 ，那么： dp[ 2 ] = 0+1=1 dp[ 4] 候选：j=0: 0+5=5; j=2: 1+1=2。所以 dp[ 4]=2，更优的划分是 [ "aa", "bb" ]。 第八步：总结与扩展 这道题巧妙地将“平衡字符串”（字符频次均为偶数）的判断，通过 前缀异或位掩码 转化为 O(1) 的判等操作，从而使得区间DP的复杂度保持在 O(n²)。它综合了 状态压缩 和 划分型DP 的思想。 可能的变体 ： 如果平衡的定义改为“最多有一种字符出现奇数次”（即可以有一个字符是奇数，其他都是偶数），那么判断条件就变为 subMask 是 0 或者是 2 的幂（即只有一个位为1）。 如果 cost 的计算方式改变，比如 cost[i][j] 是子串长度的平方，那么问题就变成了求划分成平衡段的最小段数（因为每段成本只与长度有关，且单调递增）。 如果字符串非常长（n 很大），O(n²) 的DP可能太慢。这时需要观察 mask 的变化。因为 mask 只有 2^26 种可能状态（尽管很大），我们可以用 DP[ mask ] 表示达到某种奇偶性状态时的最小成本，但这是另一种思路（状态机DP），可能适用于不同约束的问题。 希望这个从问题理解、预处理技巧、DP状态定义、转移方程到具体演算的完整过程，能帮助你透彻掌握此类“带约束的字符串划分”问题。