石子合并问题（每次合并的得分为两堆石子数量之和的立方，求最小总得分）

字数 2495 2025-12-19 06:21:27

石子合并问题（每次合并的得分为两堆石子数量之和的立方，求最小总得分）

题目描述
给定一排 n 堆石子，每堆石子的数量用一个数组 stones[0..n-1] 表示。游戏规则如下：

每次只能合并相邻的两堆石子，合并成一堆新石子，其数量为原来两堆石子数量之和。
每次合并的得分定义为两堆石子数量之和的立方。
游戏一直进行，直到只剩下一堆石子为止。
目标是求出最小总得分（即所有合并操作的得分之和的最小值）。

例如，假设 stones = [1, 2, 3]：

方案1：先合并前两堆 (1+2)=3，得分 (1+2)^3 = 27，剩下 [3, 3]；再合并两堆 (3+3)=6，得分 (3+3)^3 = 216，总得分 27 + 216 = 243。
方案2：先合并后两堆 (2+3)=5，得分 (2+3)^3 = 125，剩下 [1, 5]；再合并两堆 (1+5)=6，得分 (1+5)^3 = 216，总得分 125 + 216 = 341。
所以最小总得分为 243。

注意：因为得分函数是立方（而非通常题目中的两数之和），合并顺序对总得分影响更大，需要仔细设计动态规划状态和转移。

问题分析

这个问题是经典的区间动态规划。
我们需要考虑所有可能的合并顺序，并找出总得分最小的方案。由于每次合并相邻两堆，最终状态一定是由某个区间合并成单一堆。因此可以定义如下状态：

状态定义
dp[i][j] 表示将第 i 堆到第 j 堆（闭区间）的石子合并成一堆的最小总得分。
（注意：这里 i 和 j 从 0 开始编号。）
状态转移方程
考虑最后一次合并：将区间 [i, j] 分成两个子区间 [i, k] 和 [k+1, j]，分别合并成两堆，然后再将这两堆合并。
设子区间 [i, k] 的石子总数为 sum(i, k)，子区间 [k+1, j] 的石子总数为 sum(k+1, j)，合并这两堆的得分为 (sum(i, k) + sum(k+1, j))^3。
但是注意：sum(i, k) + sum(k+1, j) = sum(i, j)，即整个区间的石子总数。
所以合并这两堆的得分是 (sum(i, j))^3，与 k 无关！
因此，转移方程为：

\[ dp[i][j] = \min_{i \le k < j} \left\{ dp[i][k] + dp[k+1][j] + (sum(i, j))^3 \right\} \]

其中 sum(i, j) 是区间 [i, j] 的石子总数。

初始条件
当区间长度为 1 时，即 i == j，不需要合并，所以 dp[i][i] = 0。
计算顺序
按区间长度从小到大计算。设长度 len 从 2 到 n，对每个长度枚举起点 i，计算 j = i + len - 1，然后枚举分割点 k。
最终答案
答案就是 dp[0][n-1]。

示例详解

以 stones = [1, 2, 3] 为例。

步骤 1：计算前缀和
prefix[0] = 0，prefix[1] = 1，prefix[2] = 3，prefix[3] = 6。
这样 sum(i, j) = prefix[j+1] - prefix[i]。

步骤 2：初始化
dp[0][0] = 0, dp[1][1] = 0, dp[2][2] = 0。

步骤 3：计算区间长度 2

[0,1]：sum = 1+2 = 3，得分 3^3 = 27，dp[0][1] = dp[0][0] + dp[1][1] + 27 = 27。
[1,2]：sum = 2+3 = 5，得分 5^3 = 125，dp[1][2] = 125。

步骤 4：计算区间长度 3（[0,2]）
sum = 1+2+3 = 6，得分 6^3 = 216。
枚举 k：

k=0：dp[0][0] + dp[1][2] + 216 = 0 + 125 + 216 = 341
k=1：dp[0][1] + dp[2][2] + 216 = 27 + 0 + 216 = 243
取最小：dp[0][2] = 243。

最终答案：dp[0][2] = 243，与前面手动计算一致。

为什么立方得分使得问题更复杂？

如果是平方得分（即 (sum(i,j))^2），那么合并得分只依赖于当前区间的和，依然与 k 无关，所以转移方程与经典石子合并类似。
立方得分也是一样：合并最后两堆时的得分是 (sum(i,j))^3，也与 k 无关。
因此，在这个问题中，状态转移方程的形式与经典石子合并完全相同，只是把加和改成立方。

但注意：虽然合并最后两堆的得分与 k 无关，但 dp[i][k] 和 dp[k+1][j] 本身包含了子区间合并的得分，这些得分是立方的，所以子问题的最优解会影响最终结果。
因此，我们不能简单地认为“合并顺序不影响总得分”——实际上不同的合并顺序会导致不同的子区间和，进而影响子区间合并的立方得分，所以必须用动态规划求解。

时间复杂度与优化

直接按上述方法计算，时间复杂度为 O(n³)，因为有三重循环：

第一重：区间长度 len
第二重：起点 i
第三重：分割点 k

对于 n 最大几百的情况，O(n³) 是可以接受的。
如果 n 更大（如上千），则需要考虑四边形不等式优化，但本题因为得分是立方，可能不满足单调性，优化需谨慎验证。

总结

这道题是区间动态规划的经典应用，虽然得分函数是立方，但状态转移方程与经典石子合并问题相同，只需将合并得分改为 (区间和)^3。
通过从小到大计算区间最优解，最终得到全局最优解。

石子合并问题（每次合并的得分为两堆石子数量之和的立方，求最小总得分）题目描述给定一排 n 堆石子，每堆石子的数量用一个数组 stones[0..n-1] 表示。游戏规则如下：每次只能合并相邻的两堆石子，合并成一堆新石子，其数量为原来两堆石子数量之和。每次合并的得分定义为两堆石子数量之和的立方。游戏一直进行，直到只剩下一堆石子为止。目标是求出最小总得分（即所有合并操作的得分之和的最小值）。例如，假设 stones = [1, 2, 3] ：方案1：先合并前两堆 (1+2)=3 ，得分 (1+2)^3 = 27 ，剩下 [3, 3] ；再合并两堆 (3+3)=6 ，得分 (3+3)^3 = 216 ，总得分 27 + 216 = 243 。方案2：先合并后两堆 (2+3)=5 ，得分 (2+3)^3 = 125 ，剩下 [1, 5] ；再合并两堆 (1+5)=6 ，得分 (1+5)^3 = 216 ，总得分 125 + 216 = 341 。所以最小总得分为 243 。注意：因为得分函数是立方（而非通常题目中的两数之和），合并顺序对总得分影响更大，需要仔细设计动态规划状态和转移。问题分析这个问题是经典的区间动态规划。我们需要考虑所有可能的合并顺序，并找出总得分最小的方案。由于每次合并相邻两堆，最终状态一定是由某个区间合并成单一堆。因此可以定义如下状态：状态定义 dp[i][j] 表示将第 i 堆到第 j 堆（闭区间）的石子合并成一堆的最小总得分。（注意：这里 i 和 j 从 0 开始编号。）状态转移方程考虑最后一次合并：将区间 [i, j] 分成两个子区间 [i, k] 和 [k+1, j] ，分别合并成两堆，然后再将这两堆合并。设子区间 [i, k] 的石子总数为 sum(i, k) ，子区间 [k+1, j] 的石子总数为 sum(k+1, j) ，合并这两堆的得分为 (sum(i, k) + sum(k+1, j))^3 。但是注意： sum(i, k) + sum(k+1, j) = sum(i, j) ，即整个区间的石子总数。所以合并这两堆的得分是 (sum(i, j))^3 ，与 k 无关！因此，转移方程为： \[ dp[ i][ j] = \min_ {i \le k < j} \left\{ dp[ i][ k] + dp[ k+1][ j ] + (sum(i, j))^3 \right\} \] 其中 sum(i, j) 是区间 [i, j] 的石子总数。初始条件当区间长度为 1 时，即 i == j ，不需要合并，所以 dp[i][i] = 0 。计算顺序按区间长度从小到大计算。设长度 len 从 2 到 n ，对每个长度枚举起点 i ，计算 j = i + len - 1 ，然后枚举分割点 k 。最终答案答案就是 dp[0][n-1] 。示例详解以 stones = [1, 2, 3] 为例。步骤 1：计算前缀和 prefix[0] = 0 ， prefix[1] = 1 ， prefix[2] = 3 ， prefix[3] = 6 。这样 sum(i, j) = prefix[j+1] - prefix[i] 。步骤 2：初始化 dp[0][0] = 0 , dp[1][1] = 0 , dp[2][2] = 0 。步骤 3：计算区间长度 2 [0,1] ： sum = 1+2 = 3 ，得分 3^3 = 27 ， dp[0][1] = dp[0][0] + dp[1][1] + 27 = 27 。 [1,2] ： sum = 2+3 = 5 ，得分 5^3 = 125 ， dp[1][2] = 125 。步骤 4：计算区间长度 3 （ [0,2] ） sum = 1+2+3 = 6 ，得分 6^3 = 216 。枚举 k ： k=0 ： dp[0][0] + dp[1][2] + 216 = 0 + 125 + 216 = 341 k=1 ： dp[0][1] + dp[2][2] + 216 = 27 + 0 + 216 = 243 取最小： dp[0][2] = 243 。最终答案： dp[0][2] = 243 ，与前面手动计算一致。为什么立方得分使得问题更复杂？如果是平方得分（即 (sum(i,j))^2 ），那么合并得分只依赖于当前区间的和，依然与 k 无关，所以转移方程与经典石子合并类似。立方得分也是一样：合并最后两堆时的得分是 (sum(i,j))^3 ，也与 k 无关。因此，在这个问题中，状态转移方程的形式与经典石子合并完全相同，只是把加和改成立方。但注意：虽然合并最后两堆的得分与 k 无关，但 dp[i][k] 和 dp[k+1][j] 本身包含了子区间合并的得分，这些得分是立方的，所以子问题的最优解会影响最终结果。因此，我们不能简单地认为“合并顺序不影响总得分”——实际上不同的合并顺序会导致不同的子区间和，进而影响子区间合并的立方得分，所以必须用动态规划求解。时间复杂度与优化直接按上述方法计算，时间复杂度为 O(n³)，因为有三重循环：第一重：区间长度 len 第二重：起点 i 第三重：分割点 k 对于 n 最大几百的情况，O(n³) 是可以接受的。如果 n 更大（如上千），则需要考虑四边形不等式优化，但本题因为得分是立方，可能不满足单调性，优化需谨慎验证。总结这道题是区间动态规划的经典应用，虽然得分函数是立方，但状态转移方程与经典石子合并问题相同，只需将合并得分改为 (区间和)^3 。通过从小到大计算区间最优解，最终得到全局最优解。