这里 $\nabla_{x_B} h$ 是 $m \times m$ 矩阵，假设其非奇异。

定义拉格朗日乘子向量 $\lambda = -[\nabla_{x_B} h]^{-T} \nabla_{x_B} f$，则简约梯度可写为：

**直观理解**：$\lambda$ 衡量了等式约束的“价格”，$r$ 是目标函数梯度在约束切平面上的投影。

这保证了沿着 $d_N$ 移动时，$x_N$ 不会立即违反其边界。这个 $d_N$ 称为**投影简约梯度方向**。

由于当前点 $x^k$ 可行（$h(x^k)=0$），解得：

这样，全空间搜索方向 $d = (d_B, d_N)^T$ 在当前位置是**可行方向**（即沿此方向移动一小步，等式约束的一阶近似仍成立）。

  解出 $x_B^*$。这个过程称为**可行性修正**或**子问题求解**，目的是在给定 $x_N$ 的情况下，重新找到满足等式约束的 $x_B$。
- 修正后的点 $x^{k+1} = (x_B^*, \tilde{x}_N)$ 是可行的（对于等式约束）。

然后用GRG求解以 $P$ 为目标、$h(x)=0$ 为约束的新问题，并逐渐增大罚参数 $\mu$。

好的，我注意到在之前的题目列表中，“非线性规划中的自适应移动渐近线法（Adaptive Method of Moving Asymptotes, AMMA）基础题”已经出现。为了避免重复，我将为你讲解一个列表中尚未出现、但在非线性规划领域中非常经典且实用的算法基础题。 非线性规划中的广义简约梯度法（Generalized Reduced Gradient Method, GRG）进阶题：处理非线性等式与不等式约束的工程优化问题 题目描述 考虑一个具有非线性等式和不等式约束的工程优化问题。例如，在化工过程优化中，我们需要优化一个反应器的操作条件（如温度 \(T\)、压力 \(P\)、原料配比 \(x_ 1, x_ 2\) 等），在满足物料平衡、能量平衡（等式约束）以及设备安全极限、产品质量规格（不等式约束）的前提下，最小化生产成本或最大化产品收率。 这类问题可以用以下标准形式描述： \[ \begin{aligned} & \min_ {x \in \mathbb{R}^n} \quad f(x) \\ & \text{s.t.} \quad h_ i(x) = 0, \quad i = 1, \ldots, m \quad (m < n) \\ & \quad \quad g_ j(x) \le 0, \quad j = 1, \ldots, p \\ & \quad \quad x^L \le x \le x^U \end{aligned} \] 其中： \(f(x)\) 是非线性目标函数（如生产成本）。 \(h_ i(x)=0\) 是非线性等式约束（如化学反应平衡方程）。 \(g_ j(x) \le 0\) 是非线性不等式约束（如温度上限、浓度下限）。 \(x^L, x^U\) 是变量的上下界（如操作参数的物理范围）。 任务 ：运用广义简约梯度法（GRG）的基本思想，设计一个求解该问题的算法框架，并详细解释每一步的原理和操作。 解题过程讲解 GRG法的核心思想是将约束优化问题转化为一系列无约束优化子问题，通过迭代在可行域内沿着“可行下降方向”搜索。它是简约梯度法对非线性等式和不等式约束的推广。 步骤 1：问题重构与基本变量划分 由于有 \(m\) 个等式约束，理论上我们可以利用它们将 \(m\) 个变量表示为另外 \(n-m\) 个变量的函数。GRG法正是基于此。 变量划分 ：将设计变量 \(x\) 划分为 基本变量 (Basic Variables) \(x_ B \in \mathbb{R}^{n-m}\) 和 非基本变量 (Nonbasic Variables) \(x_ N \in \mathbb{R}^{m}\)。通常，\(x_ N\) 被选为那些在其边界上（对于不等式约束）或变化较灵活，用于满足等式约束的变量。 更严谨的做法是，在每次迭代点 \(x^k\)，根据约束的 雅可比矩阵 (Jacobian) 的秩，选择一个非奇异的 \(m \times m\) 子矩阵对应的变量作为 \(x_ N\)，其余作为 \(x_ B\)。 重构问题 ：根据隐函数定理，如果约束雅可比矩阵 \(\nabla_ x h(x)\) 关于 \(x_ N\) 的子矩阵非奇异，那么在 \(x^k\) 的某个邻域内，等式约束 \(h(x_ B, x_ N) = 0\) 可以唯一确定 \(x_ B\) 为 \(x_ N\) 的函数，即 \(x_ B = \phi(x_ N)\)。 于是，原问题可以 在局部 等价地视为一个关于 \(x_ N\) 的、带边界约束的 简约问题 ： \[ \begin{aligned} & \min_ {x_ N} \quad F(x_ N) = f(\phi(x_ N), x_ N) \\ & \text{s.t.} \quad g_ j(\phi(x_ N), x_ N) \le 0, \quad j = 1, \ldots, p \\ & \quad \quad x_ N^L \le x_ N \le x_ N^U, \quad x_ B^L \le \phi(x_ N) \le x_ B^U \end{aligned} \] 步骤 2：计算简约梯度 简约梯度 (Reduced Gradient) \(\nabla F(x_ N)\) 是目标函数 \(F\) 对非基本变量 \(x_ N\) 的梯度，它指明了在满足等式约束的前提下，调整 \(x_ N\) 对目标函数的影响。 公式推导 ：对等式 \(h(x_ B, x_ N) = 0\) 两边关于 \(x_ N\) 求导（应用隐函数求导法则）： \[ \nabla_ {x_ B} h \cdot \frac{\partial x_ B}{\partial x_ N} + \nabla_ {x_ N} h = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial x_ B}{\partial x_ N} = -[ \nabla_ {x_ B} h]^{-1} \nabla_ {x_ N} h \] 这里 \(\nabla_ {x_ B} h\) 是 \(m \times m\) 矩阵，假设其非奇异。 计算简约梯度 ：目标函数 \(f\) 对 \(x_ N\) 的全导数为： \[ \nabla F(x_ N) = \nabla_ {x_ N} f + \left( \frac{\partial x_ B}{\partial x_ N} \right)^T \nabla_ {x_ B} f = \nabla_ {x_ N} f - [ \nabla_ {x_ N} h]^T [ \nabla_ {x_ B} h]^{-T} \nabla_ {x_ B} f \] 定义拉格朗日乘子向量 \(\lambda = -[ \nabla_ {x_ B} h]^{-T} \nabla_ {x_ B} f\)，则简约梯度可写为： \[ r = \nabla F(x_ N) = \nabla_ {x_ N} f + [ \nabla_ {x_ N} h ]^T \lambda \] 直观理解 ：\(\lambda\) 衡量了等式约束的“价格”，\(r\) 是目标函数梯度在约束切平面上的投影。 步骤 3：确定搜索方向 在简约问题中，我们需要为 \(x_ N\) 找到一个下降且可行的搜索方向 \(d_ N\)。 最速下降方向 ：最直观的想法是取 \(d_ N = -r\)（负简约梯度方向）。但这可能导致新的 \(x_ N\) 违反其边界约束或使得对应的 \(x_ B = \phi(x_ N)\) 不可行（如违背不等式约束或 \(x_ B\) 的边界）。 投影处理 ：为了处理边界约束，GRG对简约梯度进行 投影 (Projection) ： \[ (d_ N)_ i = \begin{cases} 0, & \text{if } (x_ N)_ i \le x_ N^L \text{ and } r_ i > 0 \\ 0, & \text{if } (x_ N)_ i \ge x_ N^U \text{ and } r_ i < 0 \\ -r_ i, & \text{otherwise} \end{cases} \] 这保证了沿着 \(d_ N\) 移动时，\(x_ N\) 不会立即违反其边界。这个 \(d_ N\) 称为 投影简约梯度方向 。 恢复可行方向 ：确定了 \(d_ N\) 后，需要计算对应的 \(d_ B\)，使得移动后等式约束依然近似满足。对 \(h(x_ B + \alpha d_ B, x_ N + \alpha d_ N) = 0\) 进行一阶泰勒展开： \[ h(x) + \nabla_ {x_ B} h \cdot (\alpha d_ B) + \nabla_ {x_ N} h \cdot (\alpha d_ N) \approx 0 \] 由于当前点 \(x^k\) 可行（\(h(x^k)=0\)），解得： \[ d_ B = -[ \nabla_ {x_ B} h]^{-1} (\nabla_ {x_ N} h \cdot d_ N) \] 这样，全空间搜索方向 \(d = (d_ B, d_ N)^T\) 在当前位置是 可行方向 （即沿此方向移动一小步，等式约束的一阶近似仍成立）。 步骤 4：线性搜索与可行性修正 由于泰勒展开是局部的，沿着 \(d\) 移动较大步长 \(\alpha\) 后，等式约束 \(h(x) = 0\) 会被破坏。 线性搜索 ：沿方向 \(d\) 进行线性搜索，寻找一个步长 \(\alpha\)，使得 简约目标函数 \(F(x_ N + \alpha d_ N)\) 充分下降。通常会采用如Armijo条件等不精确线搜索准则。 可行性修正 (Feasibility Restoration) ：得到试探点 \(\tilde{x} = x^k + \alpha d\) 后，由于非线性，通常 \(h(\tilde{x}) \neq 0\)。此时不能直接接受 \(\tilde{x}\) 为下一个迭代点。 修正过程 ：固定 \(x_ N = \tilde{x}_ N\)，将 \(x_ B\) 作为变量，求解以下非线性方程组（例如使用牛顿法）： \[ h(x_ B, \tilde{x}_ N) = 0 \] 解出 \(x_ B^* \)。这个过程称为 可行性修正 或 子问题求解 ，目的是在给定 \(x_ N\) 的情况下，重新找到满足等式约束的 \(x_ B\)。 修正后的点 \(x^{k+1} = (x_ B^* , \tilde{x}_ N)\) 是可行的（对于等式约束）。 步骤 5：处理不等式约束 不等式约束 \(g_ j(x) \le 0\) 的处理方式通常有两种，并集成到上述流程中： 积极集策略 (Active Set Strategy) ：在每次迭代，将 积极不等式约束 （即 \(g_ j(x) = 0\) 的约束）视为等式约束，加入到 \(h(x)=0\) 的集合中一起处理。将 非积极约束 （\(g_ j(x) < 0\)）暂时忽略。随着迭代，积极集会动态更新。 罚函数或障碍函数法 ：将不等式约束转化为惩罚项或障碍项加到目标函数中，从而将问题转化为主要处理等式约束的形式。例如，使用 精确罚函数 ： \[ P(x; \mu) = f(x) + \mu \sum_ {j=1}^p \max[ 0, g_ j(x) ] \] 然后用GRG求解以 \(P\) 为目标、\(h(x)=0\) 为约束的新问题，并逐渐增大罚参数 \(\mu\)。 步骤 6：算法框架与流程总结 初始化 ：给定一个初始可行点 \(x^0\)（通常需要专门的方法求得），设置迭代计数器 \(k=0\)，容忍误差 \(\epsilon > 0\)。 主要迭代循环 （当收敛条件不满足时）： a. 变量划分与雅可比计算 ：在当前点 \(x^k\)，根据等式及积极不等式约束的雅可比矩阵，划分 \(x_ B\) 和 \(x_ N\)，并计算 \(\nabla f, \nabla h, \nabla g_ {active}\)。 b. 计算简约梯度与拉格朗日乘子 ： 解方程 \([ \nabla_ {x_ B} h]^T \lambda = -\nabla_ {x_ B} f\) 得到 \(\lambda\)。 计算简约梯度 \(r = \nabla_ {x_ N} f + [ \nabla_ {x_ N} h ]^T \lambda\)。 c. 收敛性检查 ：检查投影简约梯度范数 \(\|d_ N\|\)（或KKT条件的违反度）是否小于 \(\epsilon\)。若是，则停止迭代。 d. 构造搜索方向 ： 根据边界情况，计算 \(x_ N\) 的投影简约梯度方向 \(d_ N\)。 通过公式 \(d_ B = -[ \nabla_ {x_ B} h]^{-1} (\nabla_ {x_ N} h \cdot d_ N)\) 计算 \(d_ B\)。 得到全方向 \(d = (d_ B, d_ N)^T\)。 e. 线性搜索 ：沿着 \(d\) 方向，寻找步长 \(\alpha^k\)，使 \(F(x_ N^k + \alpha d_ N)\) 充分下降。得到试探点 \(\tilde{x} = x^k + \alpha^k d\)。 f. 可行性修正 ：固定 \(\tilde{x}_ N\)，利用牛顿法等求解 \(h(x_ B, \tilde{x}_ N) = 0\)，得到修正后的可行点 \(x^{k+1}\)。 g. 更新积极集 ：根据 \(x^{k+1}\) 处的不等式约束值，更新积极不等式约束集合。 h. 迭代 ：\(k \leftarrow k+1\)，返回步骤a。 核心进阶点 ：相比基础GRG只处理等式和边界约束，本题的进阶性体现在 系统性地集成了非线性不等式约束的处理（积极集策略） ，并将 可行性修正 这一关键步骤明确化，形成了一个完整的、能处理一般非线性规划问题的算法框架。其优势在于迭代点始终保持等式约束可行，搜索方向是可行下降方向，数值稳定性较好，被广泛应用于工程优化软件中。