在区间动态规划领域具有代表性且未在列表中出现过
字数 4883 2025-12-19 05:27:15

好的，我已仔细核对你提供的清单，以下是一个在区间动态规划领域具有代表性且未在列表中出现过的题目。

区间动态规划例题：切棍子的最小成本（带固定分段长度集合）

问题描述

你有一根长度为 n 单位的棍子。棍子上有一些位置可以进行切割，标记为 1 到 n-1（单位长度）。每次切割的成本等于当前被切割棍子的长度。例如，切割一根长度为 x 的棍子，成本为 x。

现在，你希望最终将棍子切分成若干段，每一段的长度必须属于一个给定的、固定的长度集合 L。L 是一个包含若干正整数的集合，例如 L = {1, 3, 5}。

我们的目标是，通过一系列切割，使得最终所有小段的长度都属于集合 L，并且总切割成本最小。如果无法通过切割得到所有长度都在 L 中的分段，则返回 -1。

示例：

  • 输入: n = 7, L = {1, 3, 5}
  • 输出: 16
  • 解释:
    1. 首先，将长度为7的棍子切成 3 和 4。成本为 7。
    2. 然后，将长度为4的棍子切成 1 和 3。成本为 4。
    3. 最后，得到三段：1, 3, 3。总成本为 7 + 4 = 11。
      注意：{1, 3, 3} 的长度都在集合 L 中。这是其中一种方案。但最优方案可能是：
    4. 先切成 5 和 2。成本 7。
    5. 再将 2 切成 1 和 1。成本 2。
    6. 得到 5, 1, 1，总成本 7+2=9？等等，2 不在 L 中，所以必须切。但 {5, 1, 1} 都在 L 中，总成本 9。
      实际上还有更好的：直接切成 5 和 2（成本7），但2不属于L，必须再切。2只能切成1和1（成本2）。所以 5, 1, 1 方案总成本是 7+2=9。
      让我们检查 3 和 4 方案：3 在L中，4不在，必须切。4可以切成 (1,3)或(3,1)，成本4。总成本 7+4=11。
      再试 2 和 5 方案：2不在L，切成1,1（成本2）。总成本 7+2=9。
      尝试 1 和 6：6不在L，需要继续切... 最终计算后会发现最小成本是 9？我们稍后用DP来精确计算。

核心思路与状态定义

这是一道经典的区间划分型DP问题。棍子的初始状态是一个区间 [0, n]（长度为 n）。每次切割选择一个位置，将一个大区间分成两个子区间，成本是大区间的长度。最终，每个不能再切（或不必再切）的小区间（段）的长度必须在集合 L 中。

关键点：

  1. 状态定义：定义 dp[i][j] 表示将棍子的子区间 [i, j]（即从位置 i 到位置 j 的一段，长度为 j - i）最终切割成所有长度都在集合 L 中的小段，所需的最小成本。如果无法做到，则 dp[i][j] = INF（一个很大的数）。
  2. 最终答案：我们要求的就是 dp[0][n]。
  3. 长度判断：对于任何区间 [i, j]，其长度 len = j - i。如果 len 本身就存在于集合 L 中，那么这个区间可以作为一个最终段，无需进一步切割，此时 dp[i][j] = 0。
  4. 状态转移：如果 len 不在 L 中，或者我们希望通过切割来获得可能更优的成本，我们就需要在这个区间内部选择一个切割点 k（i < k < j），将 [i, j] 切成 [i, k] 和 [k, j]。那么总成本就是：
    dp[i][j] = min( dp[i][k] + dp[k][j] + (j - i) )，对于所有 i < k < j。
    解释：dp[i][k] 是处理好左半部分的成本，dp[k][j] 是处理好右半部分的成本，而本次切割的成本就是当前区间的长度 (j - i)。

解题步骤详解

步骤1：初始化与预处理

  • 为了方便，我们使用一个布尔数组或集合 validLen 来快速判断一个长度是否在 L 中。例如 validLen[x] = true 表示长度 x 在集合 L 中。
  • 初始化一个二维数组 dp，大小为 (n+1) x (n+1)。将所有值设为 INF（例如 1e9）。
  • 初始化长度为1的区间？这里我们的区间 [i, j] 长度是 j-i。当 j-i 在 L 中时，dp[i][j] = 0。注意，i 和 j 是位置，长度是差值。

步骤2：按区间长度递增顺序计算DP
区间DP通常需要先计算小区间，再计算大区间，因为大区间的转移依赖于其子区间的结果。

  1. 外层循环：length 从 1 到 n，表示当前考虑的区间长度。
  2. 内层循环：i 从 0 到 n - length，计算区间起点。则区间终点 j = i + length。
  3. 对于区间 [i, j]：
    • 情况A（作为最终段）：如果 length 在集合 L 中，则 dp[i][j] = 0。这是不需要切割的情况。
    • 情况B（需要继续切割）：遍历所有可能的切割点 k，其中 k 从 i+1 到 j-1。
      • 左子区间 [i, k] 的长度为 k-i。
      • 右子区间 [k, j] 的长度为 j-k。
      • 我们需要确保左子区间和右子区间都是“可处理的”（即 dp[i][k] 和 dp[k][j] 不是 INF）。然后计算总成本：cost = dp[i][k] + dp[k][j] + length。
      • 用所有 k 计算出的 cost 的最小值来更新 dp[i][j]（如果小于当前值）。

步骤3：获取结果并处理无法完成的情况

  • 计算结束后，dp[0][n] 就是最小总成本。
  • 如果 dp[0][n] >= INF（即它从未被成功更新为一个有限值），说明无法通过切割使得所有分段长度都在 L 中，返回 -1。

示例演算（n=7, L={1,3,5}）

我们逐步计算 dp 表。INF 用 ∞ 表示。

初始化：
validLen[1]=true, validLen[3]=true, validLen[5]=true。

长度 length = 1：

  • [0,1]: length=1 在L中，dp[0][1]=0。
  • [1,2]: dp[1][2]=0。
  • ...
  • [6,7]: dp[6][7]=0。
    （所有长度为1的区间成本为0）

长度 length = 2：

  • [0,2]: length=2 不在L中。尝试切割点 k=1。
    • 左: [0,1], dp=0。
    • 右: [1,2], dp=0。
    • 成本 = 0 + 0 + 2 = 2。所以 dp[0][2] = 2。
  • 类似地，dp[1][3]=2, dp[2][4]=2, ..., dp[5][7]=2。

长度 length = 3：

  • [0,3]: length=3 在L中，所以首先 dp[0][3]=0（作为最终段）。也可以考虑切割，比如切成(0,1)和(1,3)，成本=dp[0][1]+dp[1][3]+3=0+2+3=5，比0大，所以保持0。
  • 其他 length=3 且长度在L中的区间，dp值都为0。

长度 length = 4：

  • [0,4]: length=4 不在L中。尝试所有 k:
    • k=1: 切成 [0,1](len1, cost0) 和 [1,4](len3, cost0)。总成本=0+0+4=4。
    • k=2: 切成 [0,2](len2, cost2) 和 [2,4](len2, cost2)。总成本=2+2+4=8。
    • k=3: 切成 [0,3](len3, cost0) 和 [3,4](len1, cost0)。总成本=0+0+4=4。
    • 最小成本为 min(4,8,4) = 4。所以 dp[0][4] = 4。

长度 length = 5：

  • [0,5]: length=5 在L中，所以 dp[0][5]=0。

长度 length = 6：

  • [0,6]: length=6 不在L中。尝试所有 k:
    • k=1: [0,1](0) + [1,6](?) 我们需要dp[1][6]。此时dp[1][6]还未算？注意我们按长度递增计算，[1,6]长度为5，我们已经计算过dp[1][6]了吗？i=1, j=6, length=5，是的，在上一轮算过。假设L={1,3,5}，dp[1][6]怎么算？[1,6]长度5，在L中，所以dp[1][6]=0。
      所以成本 = 0 + 0 + 6 = 6。
    • k=2: [0,2](2) + [2,6](长度4，dp[2][6]是多少？[2,6]长度4，不在L，需要计算。我们稍后核实）。
    • ... 我们直接看最终结果。
      实际上，最优切割方案之一是将6切成1和5（成本6），两者都在L中，所以dp[0][6]至少可以是6。通过枚举切割点，最终dp[0][6]=6。

长度 length = 7 (最终)：

  • [0,7]: length=7 不在L中。尝试所有切割点 k=1 to 6：
    • k=1: 切成 [0,1](0) 和 [1,7](长度6)。dp[1][7] 是多少？[1,7]长度6，不在L，其最优解可以是将6切成1和5（成本6），所以dp[1][7]=6。总成本=0+6+7=13。
    • k=2: 切成 [0,2](2) 和 [2,7](长度5)。dp[2][7]长度5在L中，所以为0。总成本=2+0+7=9。
    • k=3: 切成 [0,3](0) 和 [3,7](长度4)。dp[3][7]长度4，不在L，其最优解可以是切成(3,4)和(4,7)？实际上[3,7]长度为4，可以切成1和3（成本4）。所以dp[3][7]=4。总成本=0+4+7=11。
    • k=4: 切成 [0,4](4) 和 [4,7](长度3，在L中，dp[4][7]=0)。总成本=4+0+7=11。
    • k=5: 切成 [0,5](0) 和 [5,7](长度2，不在L，dp[5][7]=2)。总成本=0+2+7=9。
    • k=6: 切成 [0,6](6) 和 [6,7](1，在L中，dp[6][7]=0)。总成本=6+0+7=13。
    • 所有可能中，最小成本是 9（在 k=2 和 k=5 时取得）。
      所以 dp[0][7] = 9。

因此，对于 n=7, L={1,3,5}，最小切割成本是 9。

算法复杂度

  • 时间复杂度：O(n³)。需要枚举区间长度 O(n)，区间起点 O(n)，以及区间内的切割点 O(n)。
  • 空间复杂度：O(n²)，用于存储 dp 表。

总结

这道题是区间动态规划的一个经典变体，它在标准“切棍子最小成本”问题上增加了最终分段长度必须属于给定集合的约束。解题的核心仍然是定义 dp[i][j] 为处理区间 [i, j] 的最小成本，状态转移时考虑是否直接作为最终段（若长度在集合中）或枚举所有切割点将其分成两个子问题。通过自底向上、先小区间后大区间的计算方式，最终得到整个棍子的最小切割成本。

好的，我已仔细核对你提供的清单，以下是一个 在区间动态规划领域具有代表性且未在列表中出现过 的题目。 区间动态规划例题：切棍子的最小成本（带固定分段长度集合） 问题描述 你有一根长度为 n 单位的棍子。棍子上有一些位置可以进行切割，标记为 1 到 n-1 （单位长度）。每次切割的成本等于当前被切割棍子的长度。例如，切割一根长度为 x 的棍子，成本为 x 。 现在，你希望最终将棍子切分成若干段， 每一段的长度必须属于一个给定的、固定的长度集合 L 。 L 是一个包含若干正整数的集合，例如 L = {1, 3, 5} 。 我们的目标是，通过一系列切割，使得最终所有小段的长度都属于集合 L ，并且 总切割成本最小 。如果无法通过切割得到所有长度都在 L 中的分段，则返回 -1 。 示例： 输入: n = 7 , L = {1, 3, 5} 输出: 16 解释: 首先，将长度为7的棍子切成 3 和 4 。成本为 7 。 然后，将长度为4的棍子切成 1 和 3 。成本为 4 。 最后，得到三段： 1 , 3 , 3 。总成本为 7 + 4 = 11 。 注意： {1, 3, 3} 的长度都在集合 L 中。这是其中一种方案。但最优方案可能是： 先切成 5 和 2 。成本 7 。 再将 2 切成 1 和 1 。成本 2 。 得到 5, 1, 1 ，总成本 7+2=9 ？等等， 2 不在 L 中，所以必须切。但 {5, 1, 1} 都在 L 中，总成本 9 。 实际上还有更好的：直接切成 5 和 2 （成本7），但 2 不属于 L ，必须再切。 2 只能切成 1 和 1 （成本2）。所以 5, 1, 1 方案总成本是 7+2=9 。 让我们检查 3 和 4 方案： 3 在 L 中， 4 不在，必须切。 4 可以切成 (1,3) 或 (3,1) ，成本4。总成本 7+4=11 。 再试 2 和 5 方案： 2 不在 L ，切成 1,1 （成本2）。总成本 7+2=9 。 尝试 1 和 6 ： 6 不在 L ，需要继续切... 最终计算后会发现最小成本是 9 ？我们稍后用DP来精确计算。 核心思路与状态定义 这是一道经典的 区间划分型DP 问题。棍子的初始状态是一个区间 [0, n] （长度为 n ）。每次切割选择一个位置，将一个大区间分成两个子区间，成本是大区间的长度。最终，每个不能再切（或不必再切）的小区间（段）的长度必须在集合 L 中。 关键点： 状态定义 ：定义 dp[i][j] 表示将棍子的 子区间 [i, j] （即从位置 i 到位置 j 的一段，长度为 j - i ）最终切割成所有长度都在集合 L 中的小段，所需的最小成本。如果无法做到，则 dp[i][j] = INF （一个很大的数）。 最终答案 ：我们要求的就是 dp[0][n] 。 长度判断 ：对于任何区间 [i, j] ，其长度 len = j - i 。如果 len 本身就存在于集合 L 中，那么这个区间可以作为一个 最终段 ，无需进一步切割，此时 dp[i][j] = 0 。 状态转移 ：如果 len 不在 L 中，或者我们希望通过切割来获得可能更优的成本，我们就需要在这个区间内部选择一个切割点 k （ i < k < j ），将 [i, j] 切成 [i, k] 和 [k, j] 。那么总成本就是： dp[i][j] = min( dp[i][k] + dp[k][j] + (j - i) ) ，对于所有 i < k < j 。 解释 ： dp[i][k] 是处理好左半部分的成本， dp[k][j] 是处理好右半部分的成本，而本次切割的成本就是当前区间的长度 (j - i) 。 解题步骤详解 步骤1：初始化与预处理 为了方便，我们使用一个布尔数组或集合 validLen 来快速判断一个长度是否在 L 中。例如 validLen[x] = true 表示长度 x 在集合 L 中。 初始化一个二维数组 dp ，大小为 (n+1) x (n+1) 。将所有值设为 INF （例如 1e9 ）。 初始化长度为1的区间？这里我们的区间 [i, j] 长度是 j-i 。当 j-i 在 L 中时， dp[i][j] = 0 。注意， i 和 j 是位置，长度是差值。 步骤2：按区间长度递增顺序计算DP 区间DP通常需要先计算小区间，再计算大区间，因为大区间的转移依赖于其子区间的结果。 外层循环： length 从 1 到 n ，表示当前考虑的区间长度。 内层循环： i 从 0 到 n - length ，计算区间起点。则区间终点 j = i + length 。 对于区间 [i, j] ： 情况A（作为最终段） ：如果 length 在集合 L 中，则 dp[i][j] = 0 。这是不需要切割的情况。 情况B（需要继续切割） ：遍历所有可能的切割点 k ，其中 k 从 i+1 到 j-1 。 左子区间 [i, k] 的长度为 k-i 。 右子区间 [k, j] 的长度为 j-k 。 我们需要确保左子区间和右子区间都是“可处理的”（即 dp[i][k] 和 dp[k][j] 不是 INF ）。然后计算总成本： cost = dp[i][k] + dp[k][j] + length 。 用所有 k 计算出的 cost 的最小值来更新 dp[i][j] （如果小于当前值）。 步骤3：获取结果并处理无法完成的情况 计算结束后， dp[0][n] 就是最小总成本。 如果 dp[0][n] >= INF （即它从未被成功更新为一个有限值），说明无法通过切割使得所有分段长度都在 L 中，返回 -1 。 示例演算（n=7, L={1,3,5}） 我们逐步计算 dp 表。 INF 用 ∞ 表示。 初始化： validLen[1]=true, validLen[3]=true, validLen[5]=true 。 长度 length = 1： [0,1] : length=1 在 L 中， dp[0][1]=0 。 [1,2] : dp[1][2]=0 。 ... [6,7] : dp[6][7]=0 。 （所有长度为1的区间成本为0） 长度 length = 2： [0,2] : length=2 不在 L 中。尝试切割点 k=1 。 左: [0,1] , dp=0 。 右: [1,2] , dp=0 。 成本 = 0 + 0 + 2 = 2 。所以 dp[0][2] = 2 。 类似地， dp[1][3]=2 , dp[2][4]=2 , ..., dp[5][7]=2 。 长度 length = 3： [0,3] : length=3 在 L 中，所以首先 dp[0][3]=0 （作为最终段）。也可以考虑切割，比如切成 (0,1) 和 (1,3) ，成本= dp[0][1]+dp[1][3]+3=0+2+3=5 ，比0大，所以保持0。 其他 length=3 且长度在 L 中的区间， dp 值都为0。 长度 length = 4： [0,4] : length=4 不在 L 中。尝试所有 k : k=1 : 切成 [0,1] (len1, cost0) 和 [1,4] (len3, cost0)。总成本=0+0+4=4。 k=2 : 切成 [0,2] (len2, cost2) 和 [2,4] (len2, cost2)。总成本=2+2+4=8。 k=3 : 切成 [0,3] (len3, cost0) 和 [3,4] (len1, cost0)。总成本=0+0+4=4。 最小成本为 min(4,8,4) = 4 。所以 dp[0][4] = 4 。 长度 length = 5： [0,5] : length=5 在 L 中，所以 dp[0][5]=0 。 长度 length = 6： [0,6] : length=6 不在 L 中。尝试所有 k : k=1 : [0,1] (0) + [1,6] (?) 我们需要 dp[1][6] 。此时 dp[1][6] 还未算？注意我们按长度递增计算， [1,6] 长度为5，我们已经计算过 dp[1][6] 了吗？ i=1, j=6, length=5 ，是的，在上一轮算过。假设 L={1,3,5} ， dp[1][6] 怎么算？ [1,6] 长度5，在 L 中，所以 dp[1][6]=0 。 所以成本 = 0 + 0 + 6 = 6 。 k=2 : [0,2] (2) + [2,6] (长度4， dp[2][6] 是多少？ [2,6] 长度4，不在 L ，需要计算。我们稍后核实）。 ... 我们直接看最终结果。 实际上，最优切割方案之一是将6切成 1 和 5 （成本6），两者都在 L 中，所以 dp[0][6] 至少可以是6。通过枚举切割点，最终 dp[0][6]=6 。 长度 length = 7 (最终)： [0,7] : length=7 不在 L 中。尝试所有切割点 k=1 to 6 ： k=1 : 切成 [0,1] (0) 和 [1,7] (长度6)。 dp[1][7] 是多少？ [1,7] 长度6，不在 L ，其最优解可以是将6切成 1 和 5 （成本6），所以 dp[1][7]=6 。总成本=0+6+7=13。 k=2 : 切成 [0,2] (2) 和 [2,7] (长度5)。 dp[2][7] 长度5在 L 中，所以为0。总成本=2+0+7=9。 k=3 : 切成 [0,3] (0) 和 [3,7] (长度4)。 dp[3][7] 长度4，不在 L ，其最优解可以是切成 (3,4) 和 (4,7) ？实际上 [3,7] 长度为4，可以切成 1 和 3 （成本4）。所以 dp[3][7]=4 。总成本=0+4+7=11。 k=4 : 切成 [0,4] (4) 和 [4,7] (长度3，在 L 中， dp[4][7]=0 )。总成本=4+0+7=11。 k=5 : 切成 [0,5] (0) 和 [5,7] (长度2，不在 L ， dp[5][7]=2 )。总成本=0+2+7=9。 k=6 : 切成 [0,6] (6) 和 [6,7] (1，在 L 中， dp[6][7]=0 )。总成本=6+0+7=13。 所有可能中，最小成本是 9 （在 k=2 和 k=5 时取得）。 所以 dp[0][7] = 9 。 因此，对于 n=7 , L={1,3,5} ，最小切割成本是 9 。 算法复杂度 时间复杂度：O(n³)。需要枚举区间长度 O(n)，区间起点 O(n)，以及区间内的切割点 O(n)。 空间复杂度：O(n²)，用于存储 dp 表。 总结 这道题是区间动态规划的一个经典变体，它在标准“切棍子最小成本”问题上增加了 最终分段长度必须属于给定集合 的约束。解题的核心仍然是定义 dp[i][j] 为处理区间 [i, j] 的最小成本，状态转移时考虑是否直接作为最终段（若长度在集合中）或枚举所有切割点将其分成两个子问题。通过自底向上、先小区间后大区间的计算方式，最终得到整个棍子的最小切割成本。