非线性规划中的连续二次规划（CQP）算法进阶题：处理非凸目标与非线性约束的工程优化
字数 4521 2025-12-19 04:33:52

非线性规划中的连续二次规划（CQP）算法进阶题：处理非凸目标与非线性约束的工程优化

题目描述
考虑一个来自工程设计的非线性规划问题，其目标函数是非凸的，且包含非线性等式与不等式约束。具体形式如下：

最小化：

\[f(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^{n} \left( x_i^4 - 2x_i^2 + x_i \right) + \sin\left(\sum_{i=1}^{n} x_i\right) \]

约束条件为：

\[\begin{aligned} &g_1(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - 1 \leq 0, \\ &g_2(\mathbf{x}) = \exp\left(-\sum_{i=1}^{n} x_i\right) - 0.5 \leq 0, \\ &h(\mathbf{x}) = \prod_{i=1}^{n} x_i - 0.1 = 0, \\ &-2 \leq x_i \leq 2, \quad i = 1, \dots, n. \end{aligned} \]

其中 \(n = 10\)，即这是一个10维优化问题。目标函数 \(f(\mathbf{x})\) 包含高阶多项式与三角函数项，为非凸且多峰函数；约束 \(g_1\) 是凸二次不等式，\(g_2\) 为非线性非凸不等式，\(h\) 为非线性等式，可行域复杂。要求使用连续二次规划（Continuous Quadratic Programming, CQP）算法求解该问题，并详细解释算法步骤与处理难点。

解题过程循序渐进讲解

第一步：理解问题结构与挑战

  1. 目标函数分析：

    • 项 \(x_i^4 - 2x_i^2 + x_i\) 是非凸的（4次多项式），其图像具有多个局部极值点。
    • 正弦函数 \(\sin(\sum x_i)\) 引入了周期性振荡，增加了全局搜索难度。
    • 整体函数光滑但高度非线性，传统凸优化方法易陷入局部最优。

  2. 约束分析：

    • \(g_1\) 是球约束，可行域为超球内部，相对简单。
    • \(g_2\) 是指数型约束，非凸且可能使可行域不连通。
    • \(h\) 是乘积等式约束，非线性且当某个 \(x_i = 0\) 时可能引发数值问题。
    • 边界约束 \(-2 \leq x_i \leq 2\) 定义了搜索范围。

  3. 核心难点：

    • 非凸目标与非凸约束共存，需保证迭代点可行且向全局最优逼近。
    • 等式约束 \(h(\mathbf{x}) = 0\) 需要精确满足，对算法稳定性要求高。

第二步：连续二次规划（CQP）算法原理

CQP是一种序列凸逼近方法，在每一步迭代中构建原问题的二次规划（QP）子问题，通过求解子问题产生迭代方向，并结合线搜索或信赖域保证收敛。其思想是：

  • 在当前点 \(\mathbf{x}_k\) 对目标函数和约束进行二阶泰勒展开（或近似），形成QP子问题。
  • 求解该QP得到搜索方向 \(\mathbf{d}_k\)。
  • 沿 \(\mathbf{d}_k\) 进行线搜索或调整信赖域半径，更新迭代点。
  • 重复直至满足收敛条件。

对于本问题，需特别注意对非凸项的线性化或凸逼近处理。

第三步：构建CQP子问题

在当前迭代点 \(\mathbf{x}_k\)，构造如下QP子问题：

1. 目标函数的二次近似：
计算梯度 \(\nabla f(\mathbf{x}_k)\) 与Hessian矩阵 \(\nabla^2 f(\mathbf{x}_k)\)。由于 \(f\) 非凸，直接使用真实Hessian可能使QP非凸且难求解。因此常用拟牛顿法（如BFGS）或受限Hessian修正（如正则化）得到正定近似 \(B_k\)。目标近似为：

\[\hat{f}_k(\mathbf{d}) = f(\mathbf{x}_k) + \nabla f(\mathbf{x}_k)^T \mathbf{d} + \frac{1}{2} \mathbf{d}^T B_k \mathbf{d}. \]

2. 约束的线性化：

  • 对不等式约束 \(g_1, g_2\) 和等式约束 \(h\) 在 \(\mathbf{x}_k\) 处线性化：

\[\begin{aligned} &\tilde{g}_1(\mathbf{d}) = g_1(\mathbf{x}_k) + \nabla g_1(\mathbf{x}_k)^T \mathbf{d} \leq 0, \\ &\tilde{g}_2(\mathbf{d}) = g_2(\mathbf{x}_k) + \nabla g_2(\mathbf{x}_k)^T \mathbf{d} \leq 0, \\ &\tilde{h}(\mathbf{d}) = h(\mathbf{x}_k) + \nabla h(\mathbf{x}_k)^T \mathbf{d} = 0. \end{aligned} \]

  • 边界约束直接平移： \(-2 \leq x_{k,i} + d_i \leq 2\)。

3. 信赖域约束（可选）：
为控制逼近精度，可添加信赖域约束 \(\|\mathbf{d}\| \leq \Delta_k\)，其中 \(\Delta_k\) 为信赖域半径。

最终QP子问题为：

\[\begin{aligned} \min_{\mathbf{d}} & \quad \hat{f}_k(\mathbf{d}) \\ \text{s.t.} & \quad \tilde{g}_1(\mathbf{d}) \leq 0, \quad \tilde{g}_2(\mathbf{d}) \leq 0, \\ & \quad \tilde{h}(\mathbf{d}) = 0, \\ & \quad -2 \leq x_{k,i} + d_i \leq 2, \\ & \quad \|\mathbf{d}\| \leq \Delta_k \quad (\text{可选}). \end{aligned} \]

第四步：求解QP子问题与迭代更新

  1. QP求解：
    使用有效集法或内点法求解上述QP，得到搜索方向 \(\mathbf{d}_k\)。若QP不可行，需放松约束或缩小信赖域。

  2. 接受性与步长选择：

    • 定义实际下降量： \(\Delta f_{\text{actual}} = f(\mathbf{x}_k) - f(\mathbf{x}_k + \mathbf{d}_k)\)。
    • 预测下降量： \(\Delta f_{\text{pred}} = \hat{f}_k(\mathbf{0}) - \hat{f}_k(\mathbf{d}_k)\)。
    • 计算比率 \(r_k = \frac{\Delta f_{\text{actual}}}{\Delta f_{\text{pred}}}\)。
    • 若 \(r_k\) 较大（如 >0.2），接受步长 \(\mathbf{x}_{k+1} = \mathbf{x}_k + \mathbf{d}_k\)，并可能增大 \(\Delta_k\)；否则拒绝步长，缩小 \(\Delta_k\) 重新求解QP。

  3. 处理等式约束的可行性：
    由于线性化可能破坏等式可行性，可在更新后施加投影或校正步。例如，对 \(h(\mathbf{x}) = 0\)，若 \(h(\mathbf{x}_{k+1}) \neq 0\)，沿牛顿方向微调：

\[ \mathbf{x}_{k+1} \leftarrow \mathbf{x}_{k+1} - \nabla h(\mathbf{x}_{k+1}) [\nabla h(\mathbf{x}_{k+1})^T \nabla h(\mathbf{x}_{k+1})]^{-1} h(\mathbf{x}_{k+1}). \]

第五步：算法流程与收敛条件

  1. 初始化：
    选择初始点 \(\mathbf{x}_0\)（需满足边界约束，尽量靠近可行域），初始Hessian近似 \(B_0 = I\)，初始信赖域半径 \(\Delta_0 = 1\)，容差 \(\epsilon = 10^{-6}\)。

  2. 迭代步骤（第k步）：
    a. 计算梯度 \(\nabla f(\mathbf{x}_k)\)、\(\nabla g_1(\mathbf{x}_k)\)、\(\nabla g_2(\mathbf{x}_k)\)、\(\nabla h(\mathbf{x}_k)\) 与函数值。
    b. 用BFGS更新 \(B_k\)（保持正定）。
    c. 构建并求解QP子问题，得方向 \(\mathbf{d}_k\)。
    d. 计算比率 \(r_k\)，按上述规则更新 \(\mathbf{x}_{k+1}\) 与 \(\Delta_k\)。
    e. 若满足 \(\|\mathbf{d}_k\| < \epsilon\) 且约束违反度小于 \(\epsilon\)，则停止。

第六步：针对本问题的特殊处理

  1. 非凸目标处理：

    • BFGS更新能逐步逼近真实Hessian，但在非凸区域可能产生病态方向。可结合正则化： \(B_k \leftarrow B_k + \mu I\)，其中 \(\mu\) 足够大使 \(B_k\) 正定。
    • 若线搜索失败，启用信赖域约束，保证子问题有解。

  2. 非线性等式约束稳定性：

    • 乘积约束 \(h(\mathbf{x}) = 0\) 在 \(x_i\) 接近零时梯度很小，可能引发行人。可添加扰动：当 \(|\nabla h| < 10^{-8}\)，轻微调整点位置以避免奇点。

  3. 全局收敛性增强：

    • 由于问题多峰，可结合多起点策略：从多个初始点运行CQP，选择最优解。
    • 在迭代中监控约束违反度，若长期不可行，可暂时转换为罚函数法：将约束加入目标，再逐步回归CQP。

第七步：预期结果与总结

  • 通过CQP迭代，算法应收敛到满足约束的局部最优解。由于问题非凸，不同起点可能得到不同解。
  • 典型输出：最优解 \(\mathbf{x}^*\) 可能位于边界或等式约束曲面上，目标函数值 \(f(\mathbf{x}^*)\) 约为 -5 到 0 之间（取决于起点）。
  • 关键优势：CQP利用二阶信息，在可行域附近快速收敛；结合信赖域控制，能处理非凸性。
  • 局限性：对初始点敏感，可能陷入局部最优；等式约束需精细处理以保证可行性。

总结：本题通过CQP算法将复杂非凸问题序列化为一系列QP子问题，逐步逼近解。重点在于Hessian近似、约束线性化与信赖域管理的协调，以及对非凸性与等式约束的专门处理。

非线性规划中的连续二次规划（CQP）算法进阶题：处理非凸目标与非线性约束的工程优化 题目描述 考虑一个来自工程设计的非线性规划问题，其目标函数是非凸的，且包含非线性等式与不等式约束。具体形式如下： 最小化： \[ f(\mathbf{x}) = \sum_ {i=1}^{n} \left( x_ i^4 - 2x_ i^2 + x_ i \right) + \sin\left(\sum_ {i=1}^{n} x_ i\right) \] 约束条件为： \[ \begin{aligned} &g_ 1(\mathbf{x}) = \sum_ {i=1}^{n} x_ i^2 - 1 \leq 0, \\ &g_ 2(\mathbf{x}) = \exp\left(-\sum_ {i=1}^{n} x_ i\right) - 0.5 \leq 0, \\ &h(\mathbf{x}) = \prod_ {i=1}^{n} x_ i - 0.1 = 0, \\ &-2 \leq x_ i \leq 2, \quad i = 1, \dots, n. \end{aligned} \] 其中 \( n = 10 \)，即这是一个10维优化问题。目标函数 \( f(\mathbf{x}) \) 包含高阶多项式与三角函数项，为非凸且多峰函数；约束 \( g_ 1 \) 是凸二次不等式，\( g_ 2 \) 为非线性非凸不等式，\( h \) 为非线性等式，可行域复杂。要求使用连续二次规划（Continuous Quadratic Programming, CQP）算法求解该问题，并详细解释算法步骤与处理难点。 解题过程循序渐进讲解 第一步：理解问题结构与挑战 目标函数分析 ： 项 \( x_ i^4 - 2x_ i^2 + x_ i \) 是非凸的（4次多项式），其图像具有多个局部极值点。 正弦函数 \( \sin(\sum x_ i) \) 引入了周期性振荡，增加了全局搜索难度。 整体函数光滑但高度非线性，传统凸优化方法易陷入局部最优。 约束分析 ： \( g_ 1 \) 是球约束，可行域为超球内部，相对简单。 \( g_ 2 \) 是指数型约束，非凸且可能使可行域不连通。 \( h \) 是乘积等式约束，非线性且当某个 \( x_ i = 0 \) 时可能引发数值问题。 边界约束 \(-2 \leq x_ i \leq 2\) 定义了搜索范围。 核心难点 ： 非凸目标与非凸约束共存，需保证迭代点可行且向全局最优逼近。 等式约束 \( h(\mathbf{x}) = 0 \) 需要精确满足，对算法稳定性要求高。 第二步：连续二次规划（CQP）算法原理 CQP是一种序列凸逼近方法，在每一步迭代中构建原问题的二次规划（QP）子问题，通过求解子问题产生迭代方向，并结合线搜索或信赖域保证收敛。其思想是： 在当前点 \(\mathbf{x}_ k\) 对目标函数和约束进行二阶泰勒展开（或近似），形成QP子问题。 求解该QP得到搜索方向 \(\mathbf{d}_ k\)。 沿 \(\mathbf{d}_ k\) 进行线搜索或调整信赖域半径，更新迭代点。 重复直至满足收敛条件。 对于本问题，需特别注意对非凸项的线性化或凸逼近处理。 第三步：构建CQP子问题 在当前迭代点 \(\mathbf{x}_ k\)，构造如下QP子问题： 1. 目标函数的二次近似 ： 计算梯度 \(\nabla f(\mathbf{x}_ k)\) 与Hessian矩阵 \(\nabla^2 f(\mathbf{x}_ k)\)。由于 \(f\) 非凸，直接使用真实Hessian可能使QP非凸且难求解。因此常用拟牛顿法（如BFGS）或受限Hessian修正（如正则化）得到正定近似 \(B_ k\)。目标近似为： \[ \hat{f}_ k(\mathbf{d}) = f(\mathbf{x}_ k) + \nabla f(\mathbf{x}_ k)^T \mathbf{d} + \frac{1}{2} \mathbf{d}^T B_ k \mathbf{d}. \] 2. 约束的线性化 ： 对不等式约束 \(g_ 1, g_ 2\) 和等式约束 \(h\) 在 \(\mathbf{x}_ k\) 处线性化： \[ \begin{aligned} &\tilde{g}_ 1(\mathbf{d}) = g_ 1(\mathbf{x}_ k) + \nabla g_ 1(\mathbf{x}_ k)^T \mathbf{d} \leq 0, \\ &\tilde{g}_ 2(\mathbf{d}) = g_ 2(\mathbf{x}_ k) + \nabla g_ 2(\mathbf{x}_ k)^T \mathbf{d} \leq 0, \\ &\tilde{h}(\mathbf{d}) = h(\mathbf{x}_ k) + \nabla h(\mathbf{x}_ k)^T \mathbf{d} = 0. \end{aligned} \] 边界约束直接平移： \(-2 \leq x_ {k,i} + d_ i \leq 2\)。 3. 信赖域约束（可选） ： 为控制逼近精度，可添加信赖域约束 \(\|\mathbf{d}\| \leq \Delta_ k\)，其中 \(\Delta_ k\) 为信赖域半径。 最终QP子问题为： \[ \begin{aligned} \min_ {\mathbf{d}} & \quad \hat{f}_ k(\mathbf{d}) \\ \text{s.t.} & \quad \tilde{g}_ 1(\mathbf{d}) \leq 0, \quad \tilde{g} 2(\mathbf{d}) \leq 0, \\ & \quad \tilde{h}(\mathbf{d}) = 0, \\ & \quad -2 \leq x {k,i} + d_ i \leq 2, \\ & \quad \|\mathbf{d}\| \leq \Delta_ k \quad (\text{可选}). \end{aligned} \] 第四步：求解QP子问题与迭代更新 QP求解 ： 使用有效集法或内点法求解上述QP，得到搜索方向 \(\mathbf{d}_ k\)。若QP不可行，需放松约束或缩小信赖域。 接受性与步长选择 ： 定义实际下降量： \(\Delta f_ {\text{actual}} = f(\mathbf{x}_ k) - f(\mathbf{x}_ k + \mathbf{d}_ k)\)。 预测下降量： \(\Delta f_ {\text{pred}} = \hat{f}_ k(\mathbf{0}) - \hat{f}_ k(\mathbf{d}_ k)\)。 计算比率 \(r_ k = \frac{\Delta f_ {\text{actual}}}{\Delta f_ {\text{pred}}}\)。 若 \(r_ k\) 较大（如 >0.2），接受步长 \(\mathbf{x}_ {k+1} = \mathbf{x}_ k + \mathbf{d}_ k\)，并可能增大 \(\Delta_ k\)；否则拒绝步长，缩小 \(\Delta_ k\) 重新求解QP。 处理等式约束的可行性 ： 由于线性化可能破坏等式可行性，可在更新后施加投影或校正步。例如，对 \(h(\mathbf{x}) = 0\)，若 \(h(\mathbf{x} {k+1}) \neq 0\)，沿牛顿方向微调： \[ \mathbf{x} {k+1} \leftarrow \mathbf{x} {k+1} - \nabla h(\mathbf{x} {k+1}) [ \nabla h(\mathbf{x} {k+1})^T \nabla h(\mathbf{x} {k+1})]^{-1} h(\mathbf{x}_ {k+1}). \] 第五步：算法流程与收敛条件 初始化 ： 选择初始点 \(\mathbf{x}_ 0\)（需满足边界约束，尽量靠近可行域），初始Hessian近似 \(B_ 0 = I\)，初始信赖域半径 \(\Delta_ 0 = 1\)，容差 \(\epsilon = 10^{-6}\)。 迭代步骤（第k步） ： a. 计算梯度 \(\nabla f(\mathbf{x}_ k)\)、\(\nabla g_ 1(\mathbf{x}_ k)\)、\(\nabla g_ 2(\mathbf{x}_ k)\)、\(\nabla h(\mathbf{x}_ k)\) 与函数值。 b. 用BFGS更新 \(B_ k\)（保持正定）。 c. 构建并求解QP子问题，得方向 \(\mathbf{d} k\)。 d. 计算比率 \(r_ k\)，按上述规则更新 \(\mathbf{x} {k+1}\) 与 \(\Delta_ k\)。 e. 若满足 \(\|\mathbf{d}_ k\| < \epsilon\) 且约束违反度小于 \(\epsilon\)，则停止。 第六步：针对本问题的特殊处理 非凸目标处理 ： BFGS更新能逐步逼近真实Hessian，但在非凸区域可能产生病态方向。可结合正则化： \(B_ k \leftarrow B_ k + \mu I\)，其中 \(\mu\) 足够大使 \(B_ k\) 正定。 若线搜索失败，启用信赖域约束，保证子问题有解。 非线性等式约束稳定性 ： 乘积约束 \(h(\mathbf{x}) = 0\) 在 \(x_ i\) 接近零时梯度很小，可能引发行人。可添加扰动：当 \(|\nabla h| < 10^{-8}\)，轻微调整点位置以避免奇点。 全局收敛性增强 ： 由于问题多峰，可结合多起点策略：从多个初始点运行CQP，选择最优解。 在迭代中监控约束违反度，若长期不可行，可暂时转换为罚函数法：将约束加入目标，再逐步回归CQP。 第七步：预期结果与总结 通过CQP迭代，算法应收敛到满足约束的局部最优解。由于问题非凸，不同起点可能得到不同解。 典型输出：最优解 \(\mathbf{x}^ \) 可能位于边界或等式约束曲面上，目标函数值 \(f(\mathbf{x}^ )\) 约为 -5 到 0 之间（取决于起点）。 关键优势 ：CQP利用二阶信息，在可行域附近快速收敛；结合信赖域控制，能处理非凸性。 局限性 ：对初始点敏感，可能陷入局部最优；等式约束需精细处理以保证可行性。 总结 ：本题通过CQP算法将复杂非凸问题序列化为一系列QP子问题，逐步逼近解。重点在于Hessian近似、约束线性化与信赖域管理的协调，以及对非凸性与等式约束的专门处理。