自适应记忆梯度法（Adaptive Memory Gradient Method）基础题

字数 3956 2025-12-19 01:48:04

自适应记忆梯度法（Adaptive Memory Gradient Method）基础题

题目描述

考虑如下无约束非线性规划问题：

\[ \min_{x \in \mathbb{R}^n} f(x) \]

其中目标函数 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 是连续可微且非凸的。我们使用一种结合了历史梯度信息以加速收敛的一阶方法——自适应记忆梯度法（Adaptive Memory Gradient Method, AMGM）来求解此问题。该方法通过在迭代中利用之前若干步的梯度信息来构建搜索方向，并自适应地调整记忆长度（即使用的历史步数），以期在非凸地形中更有效地逃离局部平坦区域或加速收敛。

具体问题：设 \(f(x) = (x_1^2 + x_2 - 11)^2 + (x_1 + x_2^2 - 7)^2\) （Himmelblau函数），初始点 \(x^{(0)} = (0, 0)^T\)。请使用自适应记忆梯度法寻找该函数的一个局部极小点。

解题过程

步骤1：理解自适应记忆梯度法的基本思想

自适应记忆梯度法是一种改进的梯度法，它不仅仅使用当前点的梯度，还利用之前若干步的梯度信息来构造搜索方向。其核心思想是：通过历史梯度信息来估计目标函数曲面的局部几何特征，从而调整搜索方向，可能获得比标准梯度下降更快的收敛速度。记忆长度（记为 \(m\) ）决定了使用多少步历史信息，该长度可以根据迭代进程自适应地调整（例如，根据梯度变化的剧烈程度）。

步骤2：算法框架

给定初始点 \(x^{(0)}\)，初始记忆长度 \(m_0\)（例如 \(m_0 = 1\)），最大记忆长度 \(M\)，梯度阈值 \(\epsilon\) 用于判断收敛，迭代索引 \(k = 0\)。

计算梯度：\(g^{(k)} = \nabla f(x^{(k)})\)。
检查收敛：如果 \(\| g^{(k)} \| < \epsilon\)，则停止，输出 \(x^{(k)}\) 作为近似极小点。
构建搜索方向：利用当前梯度及前 \(m_k\) 步的梯度计算搜索方向 \(d^{(k)}\)。一种简单的构建方式为加权组合：

\[ d^{(k)} = -g^{(k)} + \sum_{i=1}^{m_k} \beta_i^{(k)} (g^{(k-i)} - g^{(k)}) \]

其中权重 \(\beta_i^{(k)}\) 可根据历史梯度的内积或梯度变化幅度自适应设定。为简化，本例采用一种常见形式：令 \(y^{(k-1)} = g^{(k)} - g^{(k-1)}\)，\(s^{(k-1)} = x^{(k)} - x^{(k-1)}\)，则方向可基于拟牛顿思想构造，如记忆梯度法（Memory Gradient Method）中：

\[ d^{(k)} = -g^{(k)} + \gamma_k d^{(k-1)} + \beta_k y^{(k-1)} \]

其中 \(\gamma_k, \beta_k\) 为标量参数，可通过历史信息计算。这里我们采用更简单的形式：若 \(k=0\)，取 \(d^{(0)} = -g^{(0)}\)；若 \(k \geq 1\)，取

\[ d^{(k)} = -g^{(k)} + \beta_k \cdot \frac{g^{(k)T} y^{(k-1)}}{g^{(k-1)T} g^{(k-1)}} d^{(k-1)} \]

这实质上是共轭梯度法（Fletcher-Reeves公式）的一种推广，但这里我们允许 \(\beta_k\) 根据梯度变化自适应调整。
4. 线搜索：沿方向 \(d^{(k)}\) 执行非精确线搜索（如Armijo条件）确定步长 \(\alpha_k > 0\)：

\[ f(x^{(k)} + \alpha_k d^{(k)}) \leq f(x^{(k)}) + c_1 \alpha_k g^{(k)T} d^{(k)} \]

其中 \(c_1 \in (0,1)\)（常取 \(10^{-4}\)）。
5. 更新迭代点：\(x^{(k+1)} = x^{(k)} + \alpha_k d^{(k)}\)。
6. 自适应调整记忆长度：计算梯度变化率 \(\theta_k = \frac{\| g^{(k+1)} - g^{(k)} \|}{\| g^{(k)} \| + 1}\)。若 \(\theta_k\) 较大（如 \(>0.1\)），表明梯度变化剧烈，可能处于曲率较大区域，则增加记忆长度（如 \(m_{k+1} = \min(m_k + 1, M)\)）以利用更多历史信息；若 \(\theta_k\) 很小（如 \(<0.01\)），则减少记忆长度（如 \(m_{k+1} = \max(m_k - 1, 1)\)）以避免过度依赖陈旧信息。
7. 更新迭代索引：\(k \leftarrow k+1\)，返回步骤1。

步骤3：应用于Himmelblau函数

Himmelblau函数 \(f(x) = (x_1^2 + x_2 - 11)^2 + (x_1 + x_2^2 - 7)^2\) 有四个局部极小点，均为全局极小点（函数值为0），分别位于：

(3.0, 2.0)
(-2.805, 3.131)
(-3.779, -3.283)
(3.584, -1.848)

梯度计算：

\[\frac{\partial f}{\partial x_1} = 4x_1(x_1^2 + x_2 - 11) + 2(x_1 + x_2^2 - 7) \]

\[ \frac{\partial f}{\partial x_2} = 2(x_1^2 + x_2 - 11) + 4x_2(x_1 + x_2^2 - 7) \]

参数设置：

初始点：\(x^{(0)} = (0, 0)^T\)
初始记忆长度 \(m_0 = 1\)，最大 \(M = 5\)
梯度阈值 \(\epsilon = 10^{-6}\)
Armijo线搜索参数 \(c_1 = 10^{-4}\)，初始步长 \(\alpha=1\)，回溯因子 \(\rho = 0.5\)
自适应参数：\(\theta_k\) 的阈值设为 0.1（增）和 0.01（减）

迭代过程示例（前几步）：

\(k=0\)：计算 \(g^{(0)} = (-14, -22)^T\)，\(\|g^{(0)}\| \approx 26.08 > \epsilon\)。取 \(d^{(0)} = -g^{(0)} = (14, 22)^T\)。执行Armijo线搜索得步长 \(\alpha_0\)（例如通过回溯得到 \(\alpha_0=1\) 可能满足，因为方向为负梯度方向）。更新 \(x^{(1)} = x^{(0)} + \alpha_0 d^{(0)} = (14, 22)^T\)。计算新梯度 \(g^{(1)}\)，进而计算 \(\theta_0\)。由于初始梯度变化大，可能增加记忆长度至 \(m_1=2\)。
\(k=1\)：计算 \(g^{(1)}\)（具体值略）。构建搜索方向 \(d^{(1)} = -g^{(1)} + \beta_1 \cdot \frac{g^{(1)T} y^{(0)}}{g^{(0)T} g^{(0)}} d^{(0)}\)，其中 \(y^{(0)} = g^{(1)} - g^{(0)}\)，\(\beta_1\) 可设为1（或根据 \(\theta_0\) 调整）。执行线搜索得 \(\alpha_1\)，更新 \(x^{(2)}\)。根据 \(\theta_1\) 调整记忆长度 \(m_2\)。
持续迭代，直至梯度范数小于 \(\epsilon\)。

由于Himmelblau函数在初始点(0,0)附近梯度指向其中一个极小点(3.584, -1.848)的大致方向，自适应记忆梯度法通过利用历史梯度信息，可能会比纯梯度下降更快地逼近该极小点，尤其在迭代初期梯度变化较大时，增加记忆长度有助于调整方向，避免振荡。

步骤4：收敛性与特点

收敛性：在适当条件下（如目标函数 Lipschitz 连续可微且下界），该法可保证 \(\liminf_{k\to\infty} \| \nabla f(x^{(k)}) \| = 0\)。自适应记忆长度机制不会破坏收敛性，因为它本质上只是修改了搜索方向，只要方向是下降方向且线搜索满足 Wolfe 条件，全局收敛性仍可保持。
优势：相比于标准梯度下降，该方法通过历史信息隐含地利用了曲率信息，可能在非凸函数中更快逃离平坦区域或鞍点；自适应记忆长度避免了固定长度可能导致的效率低下。
注意事项：需存储最近 \(M\) 步的梯度和方向，增加内存开销；参数（如阈值）需要合理选择以确保自适应调整有效。

通过上述过程，我们使用自适应记忆梯度法求解了Himmelblau函数的优化问题，该方法通过动态利用历史梯度信息，有望在非凸优化中实现更高效的收敛。

自适应记忆梯度法（Adaptive Memory Gradient Method）基础题题目描述考虑如下无约束非线性规划问题： \[ \min_ {x \in \mathbb{R}^n} f(x) \] 其中目标函数 \( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) 是连续可微且非凸的。我们使用一种结合了历史梯度信息以加速收敛的一阶方法——自适应记忆梯度法（Adaptive Memory Gradient Method, AMGM）来求解此问题。该方法通过在迭代中利用之前若干步的梯度信息来构建搜索方向，并自适应地调整记忆长度（即使用的历史步数），以期在非凸地形中更有效地逃离局部平坦区域或加速收敛。具体问题：设 \( f(x) = (x_ 1^2 + x_ 2 - 11)^2 + (x_ 1 + x_ 2^2 - 7)^2 \) （Himmelblau函数），初始点 \( x^{(0)} = (0, 0)^T \)。请使用自适应记忆梯度法寻找该函数的一个局部极小点。解题过程步骤1：理解自适应记忆梯度法的基本思想自适应记忆梯度法是一种改进的梯度法，它不仅仅使用当前点的梯度，还利用之前若干步的梯度信息来构造搜索方向。其核心思想是：通过历史梯度信息来估计目标函数曲面的局部几何特征，从而调整搜索方向，可能获得比标准梯度下降更快的收敛速度。记忆长度（记为 \( m \) ）决定了使用多少步历史信息，该长度可以根据迭代进程自适应地调整（例如，根据梯度变化的剧烈程度）。步骤2：算法框架给定初始点 \( x^{(0)} \)，初始记忆长度 \( m_ 0 \)（例如 \( m_ 0 = 1 \)），最大记忆长度 \( M \)，梯度阈值 \( \epsilon \) 用于判断收敛，迭代索引 \( k = 0 \)。计算梯度：\( g^{(k)} = \nabla f(x^{(k)}) \)。检查收敛：如果 \( \| g^{(k)} \| < \epsilon \)，则停止，输出 \( x^{(k)} \) 作为近似极小点。构建搜索方向：利用当前梯度及前 \( m_ k \) 步的梯度计算搜索方向 \( d^{(k)} \)。一种简单的构建方式为加权组合： \[ d^{(k)} = -g^{(k)} + \sum_ {i=1}^{m_ k} \beta_ i^{(k)} (g^{(k-i)} - g^{(k)}) \] 其中权重 \( \beta_ i^{(k)} \) 可根据历史梯度的内积或梯度变化幅度自适应设定。为简化，本例采用一种常见形式：令 \( y^{(k-1)} = g^{(k)} - g^{(k-1)} \)，\( s^{(k-1)} = x^{(k)} - x^{(k-1)} \)，则方向可基于拟牛顿思想构造，如记忆梯度法（Memory Gradient Method）中： \[ d^{(k)} = -g^{(k)} + \gamma_ k d^{(k-1)} + \beta_ k y^{(k-1)} \] 其中 \( \gamma_ k, \beta_ k \) 为标量参数，可通过历史信息计算。这里我们采用更简单的形式：若 \( k=0 \)，取 \( d^{(0)} = -g^{(0)} \)；若 \( k \geq 1 \)，取 \[ d^{(k)} = -g^{(k)} + \beta_ k \cdot \frac{g^{(k)T} y^{(k-1)}}{g^{(k-1)T} g^{(k-1)}} d^{(k-1)} \] 这实质上是共轭梯度法（Fletcher-Reeves公式）的一种推广，但这里我们允许 \( \beta_ k \) 根据梯度变化自适应调整。线搜索：沿方向 \( d^{(k)} \) 执行非精确线搜索（如Armijo条件）确定步长 \( \alpha_ k > 0 \)： \[ f(x^{(k)} + \alpha_ k d^{(k)}) \leq f(x^{(k)}) + c_ 1 \alpha_ k g^{(k)T} d^{(k)} \] 其中 \( c_ 1 \in (0,1) \)（常取 \( 10^{-4} \)）。更新迭代点：\( x^{(k+1)} = x^{(k)} + \alpha_ k d^{(k)} \)。自适应调整记忆长度：计算梯度变化率 \( \theta_ k = \frac{\| g^{(k+1)} - g^{(k)} \|}{\| g^{(k)} \| + 1} \)。若 \( \theta_ k \) 较大（如 \( >0.1 \)），表明梯度变化剧烈，可能处于曲率较大区域，则增加记忆长度（如 \( m_ {k+1} = \min(m_ k + 1, M) \)）以利用更多历史信息；若 \( \theta_ k \) 很小（如 \( <0.01 \)），则减少记忆长度（如 \( m_ {k+1} = \max(m_ k - 1, 1) \)）以避免过度依赖陈旧信息。更新迭代索引：\( k \leftarrow k+1 \)，返回步骤1。步骤3：应用于Himmelblau函数 Himmelblau函数 \( f(x) = (x_ 1^2 + x_ 2 - 11)^2 + (x_ 1 + x_ 2^2 - 7)^2 \) 有四个局部极小点，均为全局极小点（函数值为0），分别位于： (3.0, 2.0) (-2.805, 3.131) (-3.779, -3.283) (3.584, -1.848) 梯度计算： \[ \frac{\partial f}{\partial x_ 1} = 4x_ 1(x_ 1^2 + x_ 2 - 11) + 2(x_ 1 + x_ 2^2 - 7) \] \[ \frac{\partial f}{\partial x_ 2} = 2(x_ 1^2 + x_ 2 - 11) + 4x_ 2(x_ 1 + x_ 2^2 - 7) \] 参数设置：初始点：\( x^{(0)} = (0, 0)^T \) 初始记忆长度 \( m_ 0 = 1 \)，最大 \( M = 5 \) 梯度阈值 \( \epsilon = 10^{-6} \) Armijo线搜索参数 \( c_ 1 = 10^{-4} \)，初始步长 \( \alpha=1 \)，回溯因子 \( \rho = 0.5 \) 自适应参数：\( \theta_ k \) 的阈值设为 0.1（增）和 0.01（减）迭代过程示例（前几步）： \( k=0 \)：计算 \( g^{(0)} = (-14, -22)^T \)，\( \|g^{(0)}\| \approx 26.08 > \epsilon \)。取 \( d^{(0)} = -g^{(0)} = (14, 22)^T \)。执行Armijo线搜索得步长 \( \alpha_ 0 \)（例如通过回溯得到 \( \alpha_ 0=1 \) 可能满足，因为方向为负梯度方向）。更新 \( x^{(1)} = x^{(0)} + \alpha_ 0 d^{(0)} = (14, 22)^T \)。计算新梯度 \( g^{(1)} \)，进而计算 \( \theta_ 0 \)。由于初始梯度变化大，可能增加记忆长度至 \( m_ 1=2 \)。 \( k=1 \)：计算 \( g^{(1)} \)（具体值略）。构建搜索方向 \( d^{(1)} = -g^{(1)} + \beta_ 1 \cdot \frac{g^{(1)T} y^{(0)}}{g^{(0)T} g^{(0)}} d^{(0)} \)，其中 \( y^{(0)} = g^{(1)} - g^{(0)} \)，\( \beta_ 1 \) 可设为1（或根据 \( \theta_ 0 \) 调整）。执行线搜索得 \( \alpha_ 1 \)，更新 \( x^{(2)} \)。根据 \( \theta_ 1 \) 调整记忆长度 \( m_ 2 \)。持续迭代，直至梯度范数小于 \( \epsilon \)。由于Himmelblau函数在初始点(0,0)附近梯度指向其中一个极小点(3.584, -1.848)的大致方向，自适应记忆梯度法通过利用历史梯度信息，可能会比纯梯度下降更快地逼近该极小点，尤其在迭代初期梯度变化较大时，增加记忆长度有助于调整方向，避免振荡。步骤4：收敛性与特点收敛性：在适当条件下（如目标函数 Lipschitz 连续可微且下界），该法可保证 \( \liminf_ {k\to\infty} \| \nabla f(x^{(k)}) \| = 0 \)。自适应记忆长度机制不会破坏收敛性，因为它本质上只是修改了搜索方向，只要方向是下降方向且线搜索满足 Wolfe 条件，全局收敛性仍可保持。优势：相比于标准梯度下降，该方法通过历史信息隐含地利用了曲率信息，可能在非凸函数中更快逃离平坦区域或鞍点；自适应记忆长度避免了固定长度可能导致的效率低下。注意事项：需存储最近 \( M \) 步的梯度和方向，增加内存开销；参数（如阈值）需要合理选择以确保自适应调整有效。通过上述过程，我们使用自适应记忆梯度法求解了Himmelblau函数的优化问题，该方法通过动态利用历史梯度信息，有望在非凸优化中实现更高效的收敛。