数值微分五点公式的高精度构造与端点处理技巧
字数 4745 2025-12-19 01:14:32

数值微分五点公式的高精度构造与端点处理技巧

题目描述

数值微分旨在通过函数在某些离散节点上的值来近似计算其导数值。给定区间 \([a, b]\) 上的一组等距节点 \(x_i = a + i \cdot h\)，\(i = 0, 1, \dots, n\)，步长 \(h = (b - a)/n\)，以及对应的函数值 \(f(x_i)\)，如何利用这些信息构造五点数值微分公式（即用到五个节点的公式），以高精度近似计算函数在某个节点 \(x_k\) 处的一阶导数 \(f'(x_k)\)？特别地，对于靠近区间端点（如 \(x_0, x_1, x_{n-1}, x_n\)）的节点，常规的中心差分公式无法直接使用，需要专门的端点处理技巧。本题目将详细推导内部点的五点中心差分公式，并构造适用于端点附近的五点前向/后向差分公式，分析其截断误差，并讨论如何通过 Richardson 外推进一步提升精度。

解题过程

第一步：问题分析与基本思路

数值微分公式通常基于多项式插值：用一个多项式 \(P(x)\) 在节点上插值 \(f(x)\)，然后对 \(P(x)\) 求导作为 \(f'(x)\) 的近似。利用 Taylor 展开可以系统化地推导公式并分析误差。五点公式利用五个相邻节点，能获得较高精度（对于等距节点，通常可以达到 \(O(h^4)\) 阶的截断误差）。对于内部点，可使用对称的中心差分；对于端点，则需使用非对称的前向或后向差分。

设节点 \(x_k\)，定义相邻节点：\(x_{k-2}, x_{k-1}, x_k, x_{k+1}, x_{k+2}\)（步长均为 \(h\)）。目标是得到 \(f'(x_k)\) 的近似表达式。

第二步：推导内部点的五点中心差分公式（\(k=2,3,\dots,n-2\)）

  1. 利用 Taylor 展开：将 \(f(x_{k+m})\) 在 \(x_k\) 处展开，\(m = -2, -1, 0, 1, 2\)：

\[f(x_{k+m}) = f(x_k) + m h f'(x_k) + \frac{(m h)^2}{2!} f''(x_k) + \frac{(m h)^3}{3!} f'''(x_k) + \frac{(m h)^4}{4!} f^{(4)}(x_k) + \frac{(m h)^5}{5!} f^{(5)}(x_k) + O(h^6) \]

  1. 构造线性组合：设近似公式为：

\[f'(x_k) \approx \frac{1}{h} \sum_{m=-2}^{2} c_m f(x_{k+m}) \]

目标是通过选择系数 \(c_m\) 使公式对尽可能高阶的多项式精确成立。

  1. 建立方程组：代入 Taylor 展开并匹配 \(f(x_k), f'(x_k), f''(x_k), \dots\) 的系数：
  • 对于常数项 \(f(x_k)\)：\(\sum c_m = 0\)
  • 对于一阶导项 \(h f'(x_k)\)：\(\sum m c_m = 1\)
  • 对于二阶导项 \(\frac{h^2}{2} f''(x_k)\)：\(\sum m^2 c_m = 0\)
  • 对于三阶导项 \(\frac{h^3}{6} f'''(x_k)\)：\(\sum m^3 c_m = 0\)
  • 对于四阶导项 \(\frac{h^4}{24} f^{(4)}(x_k)\)：\(\sum m^4 c_m = 0\)

代入 \(m = -2, -1, 0, 1, 2\)，得到线性方程组：

\[\begin{cases} c_{-2} + c_{-1} + c_0 + c_1 + c_2 = 0 \\ -2c_{-2} - c_{-1} + 0 \cdot c_0 + c_1 + 2c_2 = 1 \\ 4c_{-2} + c_{-1} + 0 \cdot c_0 + c_1 + 4c_2 = 0 \\ -8c_{-2} - c_{-1} + 0 \cdot c_0 + c_1 + 8c_2 = 0 \\ 16c_{-2} + c_{-1} + 0 \cdot c_0 + c_1 + 16c_2 = 0 \end{cases} \]

  1. 求解系数：解得：

\[c_{-2} = \frac{1}{12}, \quad c_{-1} = -\frac{2}{3}, \quad c_0 = 0, \quad c_1 = \frac{2}{3}, \quad c_2 = -\frac{1}{12} \]

因此，五点中心差分公式为：

\[f'(x_k) \approx \frac{1}{h} \left[ \frac{1}{12} f(x_{k-2}) - \frac{2}{3} f(x_{k-1}) + 0 \cdot f(x_k) + \frac{2}{3} f(x_{k+1}) - \frac{1}{12} f(x_{k+2}) \right] \]

  1. 截断误差分析：检查五阶导项系数：\(\sum m^5 c_m = -\frac{1}{5}\)，不为零。因此，局部截断误差的首项为：

\[E = \frac{h^4}{5!} \left( \sum m^5 c_m \right) f^{(5)}(x_k) = -\frac{h^4}{30} f^{(5)}(x_k) + O(h^5) \]

故该公式具有 \(O(h^4)\) 精度。

第三步：推导端点附近的五点前向差分公式（以左端点 \(x_0\) 为例）

对于左端点 \(x_0\)，只能使用右侧节点：\(x_0, x_1, x_2, x_3, x_4\)。

  1. 设近似公式：

\[f'(x_0) \approx \frac{1}{h} \sum_{m=0}^{4} d_m f(x_m) \]

  1. Taylor 展开：将 \(f(x_m)\) 在 \(x_0\) 处展开，\(m=0,1,2,3,4\)。

  2. 建立方程组（匹配前五项）：

  • \(f(x_0)\) 项：\(d_0 + d_1 + d_2 + d_3 + d_4 = 0\)
  • \(h f'(x_0)\) 项：\(0\cdot d_0 + 1\cdot d_1 + 2 d_2 + 3 d_3 + 4 d_4 = 1\)
  • \(h^2 f''(x_0)/2\) 项：\(0^2 d_0 + 1^2 d_1 + 2^2 d_2 + 3^2 d_3 + 4^2 d_4 = 0\)
  • \(h^3 f'''(x_0)/6\) 项：\(0^3 d_0 + 1^3 d_1 + 2^3 d_2 + 3^3 d_3 + 4^3 d_4 = 0\)
  • \(h^4 f^{(4)}(x_0)/24\) 项：\(0^4 d_0 + 1^4 d_1 + 2^4 d_2 + 3^4 d_3 + 4^4 d_4 = 0\)
  1. 求解系数：

\[d_0 = -\frac{25}{12}, \quad d_1 = 4, \quad d_2 = -3, \quad d_3 = \frac{4}{3}, \quad d_4 = -\frac{1}{4} \]

因此，左端点的五点前向差分公式为：

\[f'(x_0) \approx \frac{1}{h} \left[ -\frac{25}{12} f(x_0) + 4 f(x_1) - 3 f(x_2) + \frac{4}{3} f(x_3) - \frac{1}{4} f(x_4) \right] \]

  1. 截断误差：检查五阶导项系数，可得首项误差为 \(\frac{h^4}{5} f^{(5)}(x_0) + O(h^5)\)，也是 \(O(h^4)\) 精度。

类似地，可推导右端点 \(x_n\) 的五点后向差分公式（利用节点 \(x_n, x_{n-1}, x_{n-2}, x_{n-3}, x_{n-4}\)），系数符号对称。

第四步：处理次端点 \(x_1\) 和 \(x_{n-1}\)

对于 \(x_1\)，左侧只有一个节点 \(x_0\)，右侧可用 \(x_2, x_3, x_4\)。仍用五点（非对称）：
节点：\(x_0, x_1, x_2, x_3, x_4\)，求 \(f'(x_1)\)。

设公式：

\[f'(x_1) \approx \frac{1}{h} \sum_{m=0}^{4} e_m f(x_m) \]

将 \(f(x_m)\) 在 \(x_1\) 处展开（注意 \(x_m = x_1 + (m-1)h\)），建立方程组解出系数：

\[e_0 = -\frac{1}{4}, \quad e_1 = -\frac{5}{6}, \quad e_2 = \frac{3}{2}, \quad e_3 = -\frac{1}{2}, \quad e_4 = \frac{1}{12} \]

误差也为 \(O(h^4)\)。同理可得 \(x_{n-1}\) 的公式。

第五步：利用 Richardson 外推提升精度

对于内部点五点中心差分公式，其误差可写为：

\[D_h = f'(x_k) + C_4 h^4 + C_6 h^6 + \dots \]

其中 \(D_h\) 是步长为 \(h\) 时的近似值。若取步长减半为 \(h/2\)，则有：

\[D_{h/2} = f'(x_k) + C_4 \left(\frac{h}{2}\right)^4 + C_6 \left(\frac{h}{2}\right)^6 + \dots \]

通过组合 \(D_h\) 和 \(D_{h/2}\)，可消去 \(h^4\) 项：

\[f'(x_k) \approx \frac{16 D_{h/2} - D_h}{15} \]

这得到一个新的近似，其误差为 \(O(h^6)\)。此即 Richardson 外推，可进一步减少离散化误差。

第六步：实际应用与注意事项

  1. 步长选择：步长 \(h\) 不能太小，否则舍入误差会放大（因函数值差除以小步长）。通常需在截断误差与舍入误差间权衡。
  2. 端点公式的使用：当节点数足够时（\(n \ge 4\)），可用五点公式处理所有节点：\(x_0, x_1\) 用前向型，\(x_{n-1}, x_n\) 用后向型，内部用中心差分。
  3. 高精度要求：可结合 Richardson 外推，通过计算不同步长的近似值进行外推。

总结

  • 内部点五点中心差分公式：系数为 \([\frac{1}{12}, -\frac{2}{3}, 0, \frac{2}{3}, -\frac{1}{12}]\)，精度 \(O(h^4)\)。
  • 端点附近五点前向/后向公式：通过解线性方程组得到系数，同样达到 \(O(h^4)\) 精度。
  • 精度提升：利用 Richardson 外推可将误差阶提高到 \(O(h^6)\)。
  • 应用场景：适用于需要较高精度导数值且函数足够光滑的情况，尤其适合处理等距网格数据。
数值微分五点公式的高精度构造与端点处理技巧 题目描述 数值微分旨在通过函数在某些离散节点上的值来近似计算其导数值。给定区间 \([ a, b]\) 上的一组等距节点 \(x_ i = a + i \cdot h\)，\(i = 0, 1, \dots, n\)，步长 \(h = (b - a)/n\)，以及对应的函数值 \(f(x_ i)\)，如何利用这些信息构造五点数值微分公式（即用到五个节点的公式），以高精度近似计算函数在某个节点 \(x_ k\) 处的一阶导数 \(f'(x_ k)\)？特别地，对于靠近区间端点（如 \(x_ 0, x_ 1, x_ {n-1}, x_ n\)）的节点，常规的中心差分公式无法直接使用，需要专门的端点处理技巧。本题目将详细推导内部点的五点中心差分公式，并构造适用于端点附近的五点前向/后向差分公式，分析其截断误差，并讨论如何通过 Richardson 外推进一步提升精度。 解题过程 第一步：问题分析与基本思路 数值微分公式通常基于多项式插值：用一个多项式 \(P(x)\) 在节点上插值 \(f(x)\)，然后对 \(P(x)\) 求导作为 \(f'(x)\) 的近似。利用 Taylor 展开可以系统化地推导公式并分析误差。五点公式利用五个相邻节点，能获得较高精度（对于等距节点，通常可以达到 \(O(h^4)\) 阶的截断误差）。对于内部点，可使用对称的中心差分；对于端点，则需使用非对称的前向或后向差分。 设节点 \(x_ k\)，定义相邻节点：\(x_ {k-2}, x_ {k-1}, x_ k, x_ {k+1}, x_ {k+2}\)（步长均为 \(h\)）。目标是得到 \(f'(x_ k)\) 的近似表达式。 第二步：推导内部点的五点中心差分公式（\(k=2,3,\dots,n-2\)） 利用 Taylor 展开 ：将 \(f(x_ {k+m})\) 在 \(x_ k\) 处展开，\(m = -2, -1, 0, 1, 2\)： \[ f(x_ {k+m}) = f(x_ k) + m h f'(x_ k) + \frac{(m h)^2}{2!} f''(x_ k) + \frac{(m h)^3}{3!} f'''(x_ k) + \frac{(m h)^4}{4!} f^{(4)}(x_ k) + \frac{(m h)^5}{5!} f^{(5)}(x_ k) + O(h^6) \] 构造线性组合 ：设近似公式为： \[ f'(x_ k) \approx \frac{1}{h} \sum_ {m=-2}^{2} c_ m f(x_ {k+m}) \] 目标是通过选择系数 \(c_ m\) 使公式对尽可能高阶的多项式精确成立。 建立方程组 ：代入 Taylor 展开并匹配 \(f(x_ k), f'(x_ k), f''(x_ k), \dots\) 的系数： 对于常数项 \(f(x_ k)\)：\(\sum c_ m = 0\) 对于一阶导项 \(h f'(x_ k)\)：\(\sum m c_ m = 1\) 对于二阶导项 \(\frac{h^2}{2} f''(x_ k)\)：\(\sum m^2 c_ m = 0\) 对于三阶导项 \(\frac{h^3}{6} f'''(x_ k)\)：\(\sum m^3 c_ m = 0\) 对于四阶导项 \(\frac{h^4}{24} f^{(4)}(x_ k)\)：\(\sum m^4 c_ m = 0\) 代入 \(m = -2, -1, 0, 1, 2\)，得到线性方程组： \[ \begin{cases} c_ {-2} + c_ {-1} + c_ 0 + c_ 1 + c_ 2 = 0 \\ -2c_ {-2} - c_ {-1} + 0 \cdot c_ 0 + c_ 1 + 2c_ 2 = 1 \\ 4c_ {-2} + c_ {-1} + 0 \cdot c_ 0 + c_ 1 + 4c_ 2 = 0 \\ -8c_ {-2} - c_ {-1} + 0 \cdot c_ 0 + c_ 1 + 8c_ 2 = 0 \\ 16c_ {-2} + c_ {-1} + 0 \cdot c_ 0 + c_ 1 + 16c_ 2 = 0 \end{cases} \] 求解系数 ：解得： \[ c_ {-2} = \frac{1}{12}, \quad c_ {-1} = -\frac{2}{3}, \quad c_ 0 = 0, \quad c_ 1 = \frac{2}{3}, \quad c_ 2 = -\frac{1}{12} \] 因此，五点中心差分公式为： \[ f'(x_ k) \approx \frac{1}{h} \left[ \frac{1}{12} f(x_ {k-2}) - \frac{2}{3} f(x_ {k-1}) + 0 \cdot f(x_ k) + \frac{2}{3} f(x_ {k+1}) - \frac{1}{12} f(x_ {k+2}) \right ] \] 截断误差分析 ：检查五阶导项系数：\(\sum m^5 c_ m = -\frac{1}{5}\)，不为零。因此，局部截断误差的首项为： \[ E = \frac{h^4}{5!} \left( \sum m^5 c_ m \right) f^{(5)}(x_ k) = -\frac{h^4}{30} f^{(5)}(x_ k) + O(h^5) \] 故该公式具有 \(O(h^4)\) 精度。 第三步：推导端点附近的五点前向差分公式（以左端点 \(x_ 0\) 为例） 对于左端点 \(x_ 0\)，只能使用右侧节点：\(x_ 0, x_ 1, x_ 2, x_ 3, x_ 4\)。 设近似公式 ： \[ f'(x_ 0) \approx \frac{1}{h} \sum_ {m=0}^{4} d_ m f(x_ m) \] Taylor 展开 ：将 \(f(x_ m)\) 在 \(x_ 0\) 处展开，\(m=0,1,2,3,4\)。 建立方程组 （匹配前五项）： \(f(x_ 0)\) 项：\(d_ 0 + d_ 1 + d_ 2 + d_ 3 + d_ 4 = 0\) \(h f'(x_ 0)\) 项：\(0\cdot d_ 0 + 1\cdot d_ 1 + 2 d_ 2 + 3 d_ 3 + 4 d_ 4 = 1\) \(h^2 f''(x_ 0)/2\) 项：\(0^2 d_ 0 + 1^2 d_ 1 + 2^2 d_ 2 + 3^2 d_ 3 + 4^2 d_ 4 = 0\) \(h^3 f'''(x_ 0)/6\) 项：\(0^3 d_ 0 + 1^3 d_ 1 + 2^3 d_ 2 + 3^3 d_ 3 + 4^3 d_ 4 = 0\) \(h^4 f^{(4)}(x_ 0)/24\) 项：\(0^4 d_ 0 + 1^4 d_ 1 + 2^4 d_ 2 + 3^4 d_ 3 + 4^4 d_ 4 = 0\) 求解系数 ： \[ d_ 0 = -\frac{25}{12}, \quad d_ 1 = 4, \quad d_ 2 = -3, \quad d_ 3 = \frac{4}{3}, \quad d_ 4 = -\frac{1}{4} \] 因此，左端点的五点前向差分公式为： \[ f'(x_ 0) \approx \frac{1}{h} \left[ -\frac{25}{12} f(x_ 0) + 4 f(x_ 1) - 3 f(x_ 2) + \frac{4}{3} f(x_ 3) - \frac{1}{4} f(x_ 4) \right ] \] 截断误差 ：检查五阶导项系数，可得首项误差为 \(\frac{h^4}{5} f^{(5)}(x_ 0) + O(h^5)\)，也是 \(O(h^4)\) 精度。 类似地，可推导右端点 \(x_ n\) 的五点后向差分公式（利用节点 \(x_ n, x_ {n-1}, x_ {n-2}, x_ {n-3}, x_ {n-4}\)），系数符号对称。 第四步：处理次端点 \(x_ 1\) 和 \(x_ {n-1}\) 对于 \(x_ 1\)，左侧只有一个节点 \(x_ 0\)，右侧可用 \(x_ 2, x_ 3, x_ 4\)。仍用五点（非对称）： 节点：\(x_ 0, x_ 1, x_ 2, x_ 3, x_ 4\)，求 \(f'(x_ 1)\)。 设公式： \[ f'(x_ 1) \approx \frac{1}{h} \sum_ {m=0}^{4} e_ m f(x_ m) \] 将 \(f(x_ m)\) 在 \(x_ 1\) 处展开（注意 \(x_ m = x_ 1 + (m-1)h\)），建立方程组解出系数： \[ e_ 0 = -\frac{1}{4}, \quad e_ 1 = -\frac{5}{6}, \quad e_ 2 = \frac{3}{2}, \quad e_ 3 = -\frac{1}{2}, \quad e_ 4 = \frac{1}{12} \] 误差也为 \(O(h^4)\)。同理可得 \(x_ {n-1}\) 的公式。 第五步：利用 Richardson 外推提升精度 对于内部点五点中心差分公式，其误差可写为： \[ D_ h = f'(x_ k) + C_ 4 h^4 + C_ 6 h^6 + \dots \] 其中 \(D_ h\) 是步长为 \(h\) 时的近似值。若取步长减半为 \(h/2\)，则有： \[ D_ {h/2} = f'(x_ k) + C_ 4 \left(\frac{h}{2}\right)^4 + C_ 6 \left(\frac{h}{2}\right)^6 + \dots \] 通过组合 \(D_ h\) 和 \(D_ {h/2}\)，可消去 \(h^4\) 项： \[ f'(x_ k) \approx \frac{16 D_ {h/2} - D_ h}{15} \] 这得到一个新的近似，其误差为 \(O(h^6)\)。此即 Richardson 外推，可进一步减少离散化误差。 第六步：实际应用与注意事项 步长选择 ：步长 \(h\) 不能太小，否则舍入误差会放大（因函数值差除以小步长）。通常需在截断误差与舍入误差间权衡。 端点公式的使用 ：当节点数足够时（\(n \ge 4\)），可用五点公式处理所有节点：\(x_ 0, x_ 1\) 用前向型，\(x_ {n-1}, x_ n\) 用后向型，内部用中心差分。 高精度要求 ：可结合 Richardson 外推，通过计算不同步长的近似值进行外推。 总结 内部点五点中心差分公式 ：系数为 \([ \frac{1}{12}, -\frac{2}{3}, 0, \frac{2}{3}, -\frac{1}{12} ]\)，精度 \(O(h^4)\)。 端点附近五点前向/后向公式 ：通过解线性方程组得到系数，同样达到 \(O(h^4)\) 精度。 精度提升 ：利用 Richardson 外推可将误差阶提高到 \(O(h^6)\)。 应用场景 ：适用于需要较高精度导数值且函数足够光滑的情况，尤其适合处理等距网格数据。