基于线性规划的无线网络中最小化总发射功率的干扰对齐问题求解示例
问题描述
考虑一个无线多用户MIMO（多输入多输出）网络，其中有K对通信用户（例如K个发送端和K个对应的接收端）。每个发送端都配备M根天线，每个接收端配备N根天线。每对用户希望在没有相互干扰的情况下传输d个独立的数据流（d ≤ min(M, N)）。为了实现这个目标，我们可以设计每个发送端的“预编码矩阵”（用于在发送前对数据流进行预处理）和每个接收端的“干扰抑制矩阵”（用于在接收后滤除干扰）。我们的目标是：在所有用户对都能成功传输其d个数据流的前提下，最小化所有发送端的总发射功率。这个问题通常被建模为一个非凸的优化问题，但我们可以通过将其分解为两个交替的子问题，并利用线性规划（或更常见的凸优化）技术来近似求解。
核心挑战
- 耦合变量：预编码矩阵和干扰抑制矩阵相互耦合，目标函数和约束条件是非凸的。
- 干扰对齐条件：为了完全消除用户间的干扰，需要满足一组复杂的方程，这些方程通常是多变量的高次多项式方程。
- 功率约束：每个发送端有最大功率限制，总功率也需要最小化。
常用求解框架：交替优化
一个经典的处理方法是将原问题分解为两个交替求解的子问题：
- 固定预编码矩阵，优化干扰抑制矩阵：此时问题转化为一个最小二乘或特征值问题，通常是凸的。
- 固定干扰抑制矩阵，优化预编码矩阵：此时可以将其转化为一个二阶锥规划（SOCP）或线性规划（在简化模型中）问题。
为了让讲解更聚焦于线性规划的应用，我们考虑一个高度简化的模型：假设每个数据流是标量（d=1），并且我们只优化发送端的功率分配（即预编码矩阵退化为功率系数），而干扰抑制矩阵是固定的（例如采用迫零接收机）。在这个简化场景下，“干扰对齐”条件简化为对信干噪比（SINR）的约束。
简化问题建模
设：
- 共有K个用户对（即K个发送端，K个接收端）。
- 发送端i到接收端j的信道增益为 \(h_{ij}\)（假设为已知常数）。
- 发送端i的发射功率为 \(p_i\)（决策变量，连续非负）。
- 接收端的噪声功率为 \(\sigma^2\)（所有接收端相同）。
- 每个用户对要求达到的最小信干噪比（SINR）为 \(\gamma_{target}\)。
目标： 最小化总发射功率 \(\sum_{i=1}^{K} p_i\)。
约束：
- SINR约束：对于每个用户i（期望接收来自发送端i的信号），其SINR必须不低于目标值 \(\gamma_{target}\)：
\[ \frac{h_{ii} p_i}{\sum_{j \neq i} h_{ij} p_j + \sigma^2} \ge \gamma_{target}, \quad \forall i = 1, \dots, K \]
分母中，\(\sum_{j \neq i} h_{ij} p_j\) 表示来自其他发送端的干扰总和。
2. 功率非负约束：\(p_i \ge 0, \quad \forall i\)。
线性规划转化
上述SINR约束是非线性的（因为变量p_i在分式的分子和分母中）。但我们可以通过代数变换将其线性化：
将SINR不等式两边同时乘以分母，并移项：
\[h_{ii} p_i \ge \gamma_{target} \left( \sum_{j \neq i} h_{ij} p_j + \sigma^2 \right) \]
整理得：
\[h_{ii} p_i - \gamma_{target} \sum_{j \neq i} h_{ij} p_j \ge \gamma_{target} \sigma^2, \quad \forall i \]
这是一个关于变量 \(p_i\) 的 线性不等式。
因此，简化后的问题可以写成一个标准的线性规划：
线性规划模型：
\[\begin{aligned} \min_{p_1, \dots, p_K} \quad & \sum_{i=1}^{K} p_i \\ \text{s.t.} \quad & h_{ii} p_i - \gamma_{target} \sum_{j \neq i} h_{ij} p_j \ge \gamma_{target} \sigma^2, \quad \forall i = 1, \dots, K \\ & p_i \ge 0, \quad \forall i = 1, \dots, K \end{aligned} \]
解题步骤（以单纯形法为例）
假设我们有一个具体的微小实例来演示计算过程：
实例参数：
- 用户数 K=2。
- 信道增益：\(h_{11}=1.0, h_{12}=0.2, h_{21}=0.3, h_{22}=1.0\)。
- 目标 SINR：\(\gamma_{target}=2\)。
- 噪声功率：\(\sigma^2=0.1\)。
步骤1：写出线性规划的具体形式
将参数代入线性不等式约束：
对于 i=1：
\[1.0 \cdot p_1 - 2 \cdot (0.2 \cdot p_2) \ge 2 \cdot 0.1 \implies p_1 - 0.4 p_2 \ge 0.2 \]
对于 i=2：
\[1.0 \cdot p_2 - 2 \cdot (0.3 \cdot p_1) \ge 2 \cdot 0.1 \implies -0.6 p_1 + p_2 \ge 0.2 \]
加上非负约束：\(p_1 \ge 0, p_2 \ge 0\)。
目标函数：\(\min p_1 + p_2\)。
步骤2：转化为标准型（引入松弛变量）
标准型要求所有约束为等式，且右端非负。引入松弛变量 \(s_1, s_2 \ge 0\)：
\[\begin{aligned} p_1 - 0.4 p_2 - s_1 &= 0.2 \\ -0.6 p_1 + p_2 - s_2 &= 0.2 \\ p_1, p_2, s_1, s_2 &\ge 0 \end{aligned} \]
目标函数：\(\min p_1 + p_2\)。
步骤3：构造单纯形表并求解
由于约束右端已非负，我们直接列出初始单纯形表。将等式用非基变量表示基变量较为繁琐，更直接的方法是使用两阶段法或大M法处理初始基可行解。这里我们观察：如果我们令 \(s_1, s_2\) 为初始基变量，需要将等式变形为：
\[\begin{aligned} -s_1 &= 0.2 - p_1 + 0.4 p_2 \\ -s_2 &= 0.2 + 0.6 p_1 - p_2 \end{aligned} \]
这会导致基变量 \(s_1, s_2\) 初始为负（因为右端有常数0.2，但系数为-1），不满足可行性。因此，我们需要引入人工变量。
采用两阶段法：
第一阶段：引入人工变量 \(a_1, a_2 \ge 0\)，解辅助问题最小化人工变量和。
\[\begin{aligned} \min \quad & a_1 + a_2 \\ \text{s.t.} \quad & p_1 - 0.4 p_2 - s_1 + a_1 = 0.2 \\ & -0.6 p_1 + p_2 - s_2 + a_2 = 0.2 \\ & p_1, p_2, s_1, s_2, a_1, a_2 \ge 0 \end{aligned} \]
初始表（将目标函数用非基变量表示）：
| Basis | p1 | p2 | s1 | s2 | a1 | a2 | RHS |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| a1 | 1 | -0.4 | -1 | 0 | 1 | 0 | 0.2 |
| a2 | -0.6 | 1 | 0 | -1 | 0 | 1 | 0.2 |
| z' | -0.4 | 0.6 | 1 | 1 | 0 | 0 | -0.4 |
为了清晰，我们直接计算最优解而不展开全部迭代，因为这是一个很小的问题，我们可以用图形法或简单代数求解。
步骤4：图形法（对于K=2可直观求解）
约束：
- \(p_1 - 0.4 p_2 \ge 0.2\)
- \(-0.6 p_1 + p_2 \ge 0.2\)
- \(p_1 \ge 0, p_2 \ge 0\)
可行域是这两个半平面在第一象限的交集。
找到两条边界线的交点（同时取等号）：
\[\begin{cases} p_1 - 0.4 p_2 = 0.2 \\ -0.6 p_1 + p_2 = 0.2 \end{cases} \]
解这个线性方程组：
由第一个方程：\(p_1 = 0.2 + 0.4 p_2\)。
代入第二个：\(-0.6(0.2 + 0.4 p_2) + p_2 = 0.2 \implies -0.12 - 0.24 p_2 + p_2 = 0.2 \implies 0.76 p_2 = 0.32 \implies p_2 = 0.32/0.76 \approx 0.421\)
然后 \(p_1 = 0.2 + 0.4 \times 0.421 \approx 0.368\)。
检查该点是否满足所有约束（显然，因为是在边界上）。目标函数值：\(p_1 + p_2 \approx 0.789\)。
由于目标函数是线性且可行域是一个无界凸集（但被约束限制在一个顶点处），最小值必然在顶点处达到。检查其他顶点：
- 与p1轴交点：设p2=0，由约束1得 p1 ≥ 0.2；约束2得 -0.6p1 ≥ 0.2 ⇒ p1 ≤ -0.333，矛盾，故无交点。
- 与p2轴交点：设p1=0，由约束1得 -0.4p2 ≥ 0.2 ⇒ p2 ≤ -0.5，矛盾。
- 两条约束线的交点即上面计算的点，是唯一可行域顶点。
因此，最优解为 \(p_1^* \approx 0.368, p_2^* \approx 0.421\)，最小总功率约为0.789。
步骤5：解读结果
在这个高度简化的模型中，我们找到了满足每个用户对目标SINR所需的最小功率分配。如果目标SINR设置得过高，或者干扰系数（h_{ij}）太大，线性约束可能无可行解，意味着无法满足所有用户的QoS要求。
扩展讨论
- 完整干扰对齐问题：在实际的干扰对齐问题中，我们还需要联合优化预编码矩阵和干扰抑制矩阵。常用的算法是“迭代最小二乘法”，即固定一端优化另一端，交替进行直到收敛。当固定接收端矩阵时，优化发送端功率和预编码方向的问题可以转化为一个二阶锥规划（SOCP），这是线性规划的推广。
- 鲁棒性考虑：信道增益可能是不确定的，此时可以使用鲁棒优化方法，将信道建模属于某个不确定集（如椭球集），然后求解最坏情况下的最小功率问题，这通常可以转化为一个半定规划或线性规划。
- 分布式求解：对于大规模网络，集中式求解可能不现实。可以基于对偶分解等技巧，设计分布式功率控制算法，每个用户只根据本地信息调整自己的功率。
通过这个简化示例，你看到了如何将无线网络中一个复杂的干扰管理问题，通过合理假设和模型变换，转化为一个线性规划问题，并利用经典算法求解。虽然真实场景更复杂，但线性规划作为基础工具，在建模和求解子问题中扮演着核心角色。