非线性规划中的序列凸近似信赖域反射-代理模型-混合整数规划-自适应屏障混合算法进阶题：高维混合整数非凸优化问题

题目描述

考虑一个高维、非凸的混合整数非线性规划（MINLP）问题，其数学形式如下：

\[\begin{aligned} \min_{x, y} \quad & f(x, y) \\ \text{s.t.} \quad & g_i(x, y) \leq 0, \quad i = 1, \dots, m, \\ & h_j(x, y) = 0, \quad j = 1, \dots, p, \\ & x \in \mathbb{R}^{n_c}, \quad y \in \mathbb{Z}^{n_i}, \\ & l_x \leq x \leq u_x, \quad l_y \leq y \leq u_y. \end{aligned} \]

其中，决策变量分为连续变量 \(x\) 和整数变量 \(y\)。目标函数 \(f\) 和约束函数 \(g_i, h_j\) 均为高维、非凸、非光滑函数，且计算代价高昂。我们的目标是在可接受的计算资源下，找到一个高质量（可行且目标值较低）的解。

解题过程循序渐进讲解

第一步：问题分析与算法框架选择

1. 挑战识别：

   • 高维与非凸：直接求解原问题极其困难。连续变量部分 \(x\) 的非凸性可能导致标准局部优化算法陷入局部最优。
   • 整数变量：存在离散决策变量 \(y\)，将问题从连续优化转变为组合优化，搜索空间离散化，复杂性指数级增加。
     *.
   • 计算成本：\(f, g, h\) 计算昂贵（例如，调用一次需要运行复杂的仿真程序），限制了我们评估目标函数和约束的次数。
   • 约束处理：大量非凸、非线性约束使得可行域的识别困难。

2. 混合算法框架设计：
   为应对上述挑战，我们设计一个混合算法，其核心思想是分解、近似、迭代。

   • 分解：将混合整数问题分解为“连续子问题”和“整数决策生成”两部分，但通过序列迭代紧密耦合。
   • 近似：为昂贵的真实函数构建计算廉价的代理模型，以指导搜索。
   • 序列优化：采用序列凸近似思想，在每次迭代中，用一系列更简单的凸子问题来近似原非凸问题，并逐步逼近最优解。
   • 信赖域反射：用于求解连续变量子问题，保证每次迭代的步长可控，并能处理边界约束。
   • 自适应屏障函数：将不等式约束转化为目标函数的一部分，并动态调整屏障参数，确保迭代点始终在可行域内部或附近。
   • 整数处理：采用外逼近或局部分支策略来处理整数变量，与连续子问题的求解交替进行。

   算法主流程如下：

   1. 初始化：给定初始点 (x0, y0)，构建初始代理模型，设置信赖域半径、屏障参数等。
   2. While (未满足收敛条件)：
       a. 【整数环】在当前连续点 x_k 附近，基于代理模型探索/固定整数决策 y_k。
       b. 【连续环】固定 y = y_k，构建关于 x 的凸近似子问题（使用代理模型和SCA）。
       c. 用信赖域反射法结合自适应屏障函数，求解步骤b中的连续凸子问题，得到新的 x_{k+1}。
       d. 用新点 (x_{k+1}, y_k) 处的真实函数值更新代理模型。
       e. 根据模型近似精度和优化进展，自适应调整信赖域半径、屏障参数和代理模型。
       f. 检查收敛条件（如步长变化、目标函数改进、约束违反度等）。
   3. 输出最优解 (x*, y*)。
   

第二步：核心组件详解

1. 代理模型的构建与更新：

   • 目的：用廉价可计算的模型 \(\tilde{f}, \tilde{g}_i, \tilde{h}_j\) 来近似昂贵函数 \(f, g_i, h_j\)。常用方法包括Kriging（高斯过程） 或径向基函数。
   • 初始化：在设计空间内（连续变量和整数变量的组合）选取一组初始样本点，计算真实函数值，训练初始代理模型。
   • 更新策略：在每次算法迭代产生新点后，加入该点的真实函数值到样本库，重新训练或增量更新代理模型，以提高其在当前感兴趣区域（如信赖域内）的近似精度。

2. 序列凸近似处理非凸约束：

   • 对于固定整数变量 \(y_k\) 的当前迭代，连续子问题在点 \(x_k\) 处将原非凸约束线性化或凸近似。
   • 具体做法：对于非凸约束 \(g_i(x) \leq 0\)，在 \(x_k\) 处进行一阶泰勒展开或更保守的凸上近似。例如，如果 \(g_i\) 是光滑的，但非凸，可构造其凸的近似函数 \(g_i^{cvx}(x; x_k)\)，使得在 \(x_k\) 处与原函数值和梯度匹配，且在局部区域内是 \(g_i\) 的凸上估计。
   • 目标函数 \(f\) 也可能需要类似处理。这样就得到了一个在 \(x_k\) 附近、定义在信赖域 \(\|x - x_k\| \leq \Delta_k\) 内的凸优化子问题。

3. 自适应屏障函数处理不等式约束：

   • 将经过序列凸近似后的不等式约束 \(\tilde{g}_i^{cvx}(x) \leq 0\) 通过对数屏障函数整合到目标中，形成无约束子问题。

\[ \min_x \quad \tilde{f}^{cvx}(x; x_k) - \mu_k \sum_{i=1}^{m} \log(-\tilde{g}_i^{cvx}(x; x_k)) \quad \text{s.t.} \quad \|x - x_k\| \leq \Delta_k, \quad l_x \leq x \leq u_x. \]

*   **自适应机制**：参数 $\mu_k > 0$ 称为屏障参数。初始时 $\mu_0$ 较大，将搜索推向可行域内部。随着迭代进行，逐渐减小 $\mu_k$（例如，$\mu_{k+1} = \tau \mu_k, \tau \in (0, 1)$），使得解逐步逼近原约束问题的边界。如果约束违反度增加，可以适当增大 $\mu_k$ 或减慢其减小速度。

4. 信赖域反射法求解连续子问题：

   • 子问题：求解上述带屏障项和信赖域约束的凸子问题。
   • 反射技巧：当迭代点靠近变量边界 \(l_x\) 或 \(u_x\) 时，标准信赖域步可能越界。信赖域反射法通过“反射”越界的试探步，使其折回可行域内，从而有效处理边界约束，同时保持收敛性。
   • 信赖域半径调整：根据子问题的模型预测改进值与真实函数实际改进值的比值 \(\rho_k\) 来调整 \(\Delta_k\)。
     • 若 \(\rho_k\) 接近1，模型拟合好，下一次扩大信赖域 \(\Delta_{k+1} = \gamma_{inc} \Delta_k\)。
     • 若 \(\rho_k\) 很小（甚至为负），模型拟合差，缩小信赖域 \(\Delta_{k+1} = \gamma_{dec} \Delta_k\)。
     • 否则，保持信赖域不变。

5. 整数变量的处理（混合整数部分）：

   • 外逼近/固定整数环：这是一个简化的策略。在算法主循环中，我们设置一个“整数环”。在此环中：
     • 可以固定连续变量 \(x_k\)，利用代理模型在整数变量空间 \(y\) 中进行局部搜索（如邻域搜索、圆整启发式），找到一个能使代理模型目标值改善的整数配置 \(y_{k+1}\)。
     • 或者，在算法开始时，可以先用启发式或全局搜索方法（如遗传算法、粒子群优化）在代理模型上优化整数变量，得到一个较好的初始整数配置，然后在连续优化环中微调。
   • 更复杂但更精确的做法是在连续子问题求解后，基于分支定界或外部近似框架，将整数约束作为切割平面加入，逐步收紧对整数可行集的逼近。在本进阶题中，我们采用相对高效的“固定整数-优化连续”交替迭代，这适用于整数变量维度 \(n_i\) 不是特别高的情况。

第三步：算法迭代步骤与收敛

1. 完整迭代步骤：
   • 步骤1：给定当前点 \((x_k, y_k)\)，信赖域半径 \(\Delta_k\)，屏障参数 \(\mu_k\)。
   • 步骤2：整数决策。固定 \(x = x_k\)，在 \(y_k\) 的离散邻域内，基于当前代理模型 \(\tilde{f}(x_k, y), \tilde{g}(x_k, y)\) 评估若干候选整数点，选择使代理模型目标值最小且满足约束的 \(y_{temp}\)。如果改进显著，则令 \(y_{k+1} = y_{temp}\)，否则 \(y_{k+1} = y_k\)。
   • 步骤3：连续子问题构建。固定 \(y = y_{k+1}\)。在点 \(x_k\) 处，利用代理模型 \(\tilde{f}(x, y_{k+1}), \tilde{g}_i(x, y_{k+1})\) 构建其凸近似函数 \(\tilde{f}^{cvx}(x; x_k), \tilde{g}_i^{cvx}(x; x_k)\)。构造带屏障项的信赖域子问题。
   • 步骤4：连续子问题求解。使用信赖域反射法求解步骤3的子问题，得到试探步 \(s_k\) 和新的连续点候选 \(x_{k+1}^{temp} = x_k + s_k\)。
   • 步骤5：真实性评估与接受判断。在真实函数上计算 \(f(x_{k+1}^{temp}, y_{k+1})\) 和约束违反度。计算比率 \(\rho_k = \frac{\text{实际改进}}{\text{模型预测改进}}\)。
   • 步骤6：更新。
     • 如果 \(\rho_k > \eta_1\)（例如，\(\eta_1 = 0.01\)），接受该点：\(x_{k+1} = x_{k+1}^{temp}\)。
     • 更新代理模型：将新点 \((x_{k+1}, y_{k+1})\) 的真实函数值加入样本库，重新训练模型。
     • 根据 \(\rho_k\) 更新信赖域半径 \(\Delta_{k+1}\)。
     • 根据约束违反度和迭代进程更新屏障参数 \(\mu_{k+1}\)。
   • 步骤7：收敛检查。如果满足以下条件之一，则终止：
     • 信赖域半径 \(\Delta_k\) 小于预设容差 \(\epsilon_{\Delta}\)。
     • 连续两次迭代的目标函数值相对变化小于容差 \(\epsilon_f\)。
     • 最大迭代次数达到。
     • 约束违反度小于容差 \(\epsilon_c\)。

第四步：总结与特点

本混合算法巧妙地将多种技术融合：

1. 序列凸近似 和 代理模型 处理了高维、非凸、计算昂贵的目标和约束。
2. 自适应屏障函数 内化处理了不等式约束，并结合序列凸近似保证了子问题的凸性和可解性。
3. 信赖域反射法 鲁棒地求解了带有边界约束的连续凸子问题，并提供了步长控制机制。
4. 混合整数处理 通过交替优化和基于代理模型的整数决策生成，为高维MINLP问题提供了一种可行的求解路径。

这个算法的“进阶”之处在于其高度的集成性和自适应性。它需要动态协调代理模型的精度、序列凸近似的保守性、屏障参数的衰减速度、信赖域半径的大小以及整数决策的生成策略，以在有限的计算预算下，尽可能逼近高维混合整数非凸问题的满意解。实际应用中，各模块的参数调优和协同工作是算法成功的关键。